Hoorcollege 3

The normal distribution

De normale distributie is waarschijnlijk de belangrijkste van alle waarschijnlijkheidsdistributies. De functie van een normale random variabele wordt gegeven door de volgende formule: , −∞

Als je het gemiddelde verplaatst, verplaatst het figuur zich naar rechts of naar links. Als de standaarddeviatie groter of kleiner wordt, wordt ook de figuur groter of kleiner.

Standard normal distibution

Een normale distributie met µ=0 en σ=1 wordt de standaard normale distributie genoemd. De formule hiervan is zoals eerder gezegd:

, −∞

Standardizing normally distributed random variables

Ga ervan uit dat X normaal gedistribueerd is met gemiddelde µ en standaarddeviatie σ. 

De formule is normaal gedistibueerd met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Elke normale distributie kan geconverteerd worden tot een standaard normale distributie met behulp van deze methode. Hierdoor worden berekeningen gemakkelijker. Probabilities van Z kunnen gevonden worden in Appendix Table 1 in de collegeslides. Deze tabel staat ook achter in je boek.

Sampling

Een probleem is vaak dat de populatie erg groot is. Om dit op te lossen kan er een steekproef genomen worden. We kunnen zo conclusies trekken uit de populatieparameters op basis van deze steekproef, die genomen wordt uit de populatie. Om een populatieparameter te schatten kunnen we een steekproef statistiek (spample statistic) berekenen.

Simple Random Sample: een steekproef geselecteerd op een manier dat elke observatie dezelfde kans heeft om gekozen te worden.

Een steekproef wordt weergegeven als. Dit is een random variabele met een probability distribution.

Vervolgens kun je deze gegevens afleiden:

• Gemiddelde van : E() =μ = μ

• Variantie van :

• Standaarddeviatie van :

Two major theorems:

• Law of Large Numbers: Hoe groter de steekproef is, hoe meer waarschijnlijk deze is en hoe dichter het bij het populatiegemiddelde zal liggen. Voorbeeld: roulette Wheel bij het casino.

• Central Limit Theorem: Wanneer je statistiek uitrekent op basis van (steekproef)gemiddelde, is deze normaal verdeeld, onafhankelijk van de distributie waaruit je de sample trekt.

De estimater van de population proportion of successes p is de sample proportion . Dit is het aantal successen X in een steekproef van steekproefgrootte n.

Het aantal successen X is binominaal verdeeld met parameters n en p (ga uit van een onafhankelijke steekproef).

Estimination

Accuratie vs preciezie

Je kunt heel precies zijn, maar heel verkeerd schatten. De schatter die gemiddeld in de roos zit met weinig variatie wordt geprefereerd.

Voorwaarden van een steekproef

• Unbiased: verwachte waarde is gelijk aan de populatie parameter

• Consistent: als steekproef afneemt neemt het verschil ook af

• Efficient: een kleine variatie is beter dan een grote variatie

De betrouwbaarheidsinterval betekent dat als het 95% is, de populatie in 95% van de gevallen hier in zit. Bij 99% zit de populatieparameter hier 99% in.