![Image](https://www.worldsupporter.org/sites/default/files/styles/medium/public/bundle/wereldbol_summaries_joho_single_boek_1_150x190px_0.png?itok=PgQm9J5z)
Deze samenvatting is gebaseerd op collegejaar 2012-2013. Bekijk hier ons huidige aanbod.
Inhoudsopgave
H 1 Differentialen
H 2 Elasticiteiten
H 3 Homogene functies
H 4 Differentialen (2 variabelen)
H 5 Elasticiteiten
H 6 Impliciete functies
H 7 De Lagrange multiplier
H1 Differentialen
Een differentieerbare functie ziet er als volgt uit: y=f(x). De afgeleide van functie y is: dy = f’(x) dx. dy is de afhankelijke differentiaal en is een functie van twee variabelen,x en de onafhankelijke differentiaal dx. Normaal wordt een getal gekozen voor x, bijvoobeeld x=3, x=6 enz.
De afgeleide heeft een simpele formule. Stel je hebt y= a . x ⁿ dan is het afgeleide van deze formule: f’( x)= n·a·xn-1
Voorbeeld 1
Y= x⁴ dan geldt: dy= 4x³ dx ( dit is de afgeleide van functie y)
Stel we kiezen nu x=3 dan krijgen we: dy= 108 dx ( dy= 4*3³=108)
Stel dx= 12 dan is dy= 1296
Als we de differentiaal dx de betekenis van een kleine verandering (ongelijk aan nul ) geven dan noteren we dat met Δx en is de differentiaal dy een benadering van de verandering Δy die de
y-waarde krijgt.
De werkelijke verandering van een functiewaarde wordt benaderd door de verandering langs de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt (x₀, f(x₀)). Hiermee bereken je de helling van de grafiek.
Voorbeeld 2
Gegeven is de functie f(x)= 4x² + 2x
Er geldt: f(2)=16 en f’(x) = 8x +2.
Voor dy geldt dan: dy= (8x+2) dx
Voor x=1 wordt het dy= 10 dx
Bij benadering geldt dus Δy=10 Δx
Kiezen we Δx= 0.2 dan wordt Δy ≈ 10 * 0.2= 2
De lineaire benadering van een functie f in een omgeving van het punt x₀ is:
F(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀) (x-x₀) voor x dichtbij x₀
Een lineaire vergelijking heeft altijd dezelfde vorm: y = ax+b
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie f in het punt (x₀, f(x₀)) is:
Y= f(x₀) + f’(x₀) ( x-x₀)
Voorbeeld 3
Stel de functie is: f(x)= e^x
De lineaire benadering in een omgeving van het punt 1 is:
e^x ≈ e + e(x-1)
de vergelijking van de raaklijn in het punt (1.e) is dan:
y=e + e(x-1)
Kwadratische benaderingen
Als een functie tweemaal differentieerbaar is, kunnen we de formule voor de lineaire benadering van die functie in een bepaald punt uitbereiden tot een formule voor een kwadratische benadering. Deze formule krijgt een tweedegraads term erbij, die ervoor zorgt dat de benadering nauwkeuriger de functiewaarden van f benadert dan de lineaire benadering. Bij deze formule spreek je van een “raakparabool”.
F(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀) (x-x₀) + ½ f” ( x₀)(x-x₀)^2 voor x dichtbij x₀.
F’(x₀) betekent de eerste afgeleide van functie f(x₀)
F”(x₀) betekent de tweede afgeleide van functie f(x₀)
Een kwadratische vergelijking heeft altijd de volgende vorm: y = ax² + bx + c
H 2 Elasticiteiten
De hoeveelheid q van een bepaald goed dat door de consument wordt gekocht is afhankelijk van de prijs p, die door de producent wordt vastgesteld.
Dus: q= q(p)
Bij normale goederen zal bij toename van de prijs de vraag afnemen.
Stel dat een kleine prijsverandering Δp een verandering van de vraag Δq ten gevolge heeft.
Voor normale goederen zal het differentiequotiënt Δq/Δp negatief zijn.
Een goede manier om de quotiënt uit te rekenen:
Relatieve (of procentuele) verandering van de vraag / Relatieve (of procentuele) verandering van de prijs.
De bovengenoemde formule is onafhankelijk van de gebruikte eenheden,dus maakt niet uit of je kg of pond gebruikt.
De prijselasticiteit van de vraag geeft de relatieve (procentuele) verandering van de gevraagde hoeveelheid aan als gevolg van een relatieve (procentuele) prijsverandering van dat goed. Met deze uitkomst kan een inschatting worden gemaakt of een prijsverandering leidt tot een stijging van de omzet of juist tot een omzetdaling.
De prijselasticiteit van de vraag: Eq (p) = (dq/dp )* (p/q)
Voorbeeld 4
<
p>De vraagfunctie is q= wortel 1200-p met 0
1200
De marginale vraagfunctie wordt: dq/dp= - en dus voor p=1100 geldt q’(1100) =
-0,05.
De prijselasticiteit wordt dan : Eq (1100)= -0.05 * (1100/10)= -5.5
Dit betekent dat als de prijs met 1% verhoogd wordt, de vraag met ongeveer 5.5% zal dalen.
Indien |Eq| > 1 dan noemt men de vraag elastisch
Indien |Eq|niet elastisch
De elasticiteit van een continue en differentieerbare functie wordt als volgt genoteerd:
Ey(x)= *
Voorbeeld 5
stel f (x)= x²+2x dus f (2)=8
f’ (x)= 2x+2 dus f’ (2)=6
De elasticiteit van f in het punt (2,8) wordt: E f(2)= 6 * = 1.5
Als we x met 1% vergroten zal de functiewaarde met ongeveer 1.5% toenemen.
Een functie heeft een constante elasticiteit als f(x)=C* x^a (x>0, C en a reële constanten) dat E^ f (x)= a
Ook geldt voor alle t>0: f(tx)= t^a * f(x)
Men noemt deze functies met deze eigenschap homogeen van de graad a.
Wanneer een functie homogeen van graad is dan geldt: E^f(x)= f ’(x)* = a
H 3 Homogene functies
Een functie f (x,y) heeft homogeen van de graad n als geldt:
F (ta,tb)= tⁿ * f (a,b) voor elk getal t>0
Voorbeeld 6
Stel f (x,y) = x² y
Er geldt: f (1,2)= 2 en f(10,20)= 2000
In het algemeen geldt: stellen a en b twee gekozen waarden van x en y voor, en t een vermenigvuldigingsfactor, dan:
F (ta,b)= (ta)² tb= t³ * a²b= t³ * f (a,b).
Als we de beide gekozen warden van de variabelen x en y met dezelfde factor t vermenigvuldigen, dan wordt de functiewaarde met t³ vermenigvuldigd. Zo een functie noemen we homogeen van de graad 3.
Voorbeeld 7
De functie f (x,y)= x² y is homogeen van de graad 3.
De partiële afgeleiden zijn: fx (x,y)= 2xy ( Hier ga je afleiden naar x, dit betekent dat je y als een constante moet zien dus y blijft staan en ga je alleen x² afleiden), Fy(x,y)= x².
X * fx (x,y) + y * fy (x,y)= x.(2xy) + y.(x²)= 3x²y= 3f (x,y)
H 4 Differentialen (2 variabelen)
De differentialen dx en dy geven we de betekenis van een kleine verandering. Dit wordt als volgt genoteerd: Δx en Δy.
Voorbeeld 8
Gegeven is: z = f(x,y) = 3x² + 5xy – 2y² met f(1,2) = 5
Dan geldt dz = (6x+5x) dx + (5x-4y) dy
In het punt (1,2) geldt dus:
dz = 16 dx + (-3) dy
Bij benadering geldt Δz ≈ 16 * Δx + (-3) * Δy
Stellen we nu Δx = 0,2 en Δy = 0,1 dan krijgen we:
Δz ≈ 16 (0,2) + (-3) (0,1) = 2.9
De functiewaarde verandert dus met 2.9, deze tel je op bij 5. Totaal wordt het 7.9
Om aan deze antwoord te komen heb je de onderstaande formule nodig:
Δz ≈ fx (x₀,y₀)* Δx + fy (x₀,y₀)* Δy
Is de vraag naar een goed (goed 1) afhankelijk van de prijs p1 van dat goed en de prijs van een ander goed p2 dan kunnen we schrijven:
q₁ = q₁ (p₁,p₂)
stel de functie q₁ is differentieerbaar dan wordt een kleine verandering Δq₁ in de vraag door een kleine prijswijziging Δp₁ en Δp₂ benaderd door de differentiaal dq₁:
Δq₁ ≈ Δp₁ + Δp₂
Stel je hebt een productiefunctie waarin a (arbeid) en k (kapitaal) in voorkomt.
Zoals: q(a,k) = 10 = 10(ak) ^0.5= 10 a^0,5 k^0,5
Dus q(25,64) = 400 (invullen in bovenstaande formule, voor a=25 en k= 64)
Voor de partiële afgeleiden geldt: qa (a,k) = (5a^-0,5) (k ^0,5) dus qa (25,64)= 8
De partiële afgeleiden naar a bereken je als volgt: je houdt k^0,5 constant en je gaat a^0,5 afleiden. Uiteindelijk krijg je dus (5a^-0,5)( k ^0,5).
En qk= (a,k) =( 5^0,5)( k^-0,5) , dus qk (25,64)= 3,125
Als benadering van de verandering Δq ≈ 8 Δa + 3,125 Δk
Neemt a met 0,5 toe en k met 1, dan verandert q met ongeveer:
Δq ≈ 8 *(0,5) + 3,125 *(1)= 7,125.
De formule voor de lineaire benadering van f in een omgeving van het punt (x₀,y₀) heeft de volgende vergelijking:
F(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fx (x₀,y₀) *(x-x₀) + fy (x₀,y₀) (y-y₀)
De onderstaande formule wordt het raakvlak genoemd aan de grafiek van de functie in het punt (x₀,y₀, f(x₀,y₀)).
Z= f(x₀,y₀) + fz (x₀,y₀) * (x-x₀) + fy (x₀,y₀) *(y-y₀).
Voorbeeld 9
We stellen de lineaire benadering op met behulp van de bovenstaande formule.
De functie: f(x,y) = x² e^xy in een omgeving van het punt (1,1).
F(1,1)= e
Fx(x,y)= 2x (e^xy )+ x² y 9e^xy) dus fx(1,1)= 3e
Fy (x,y) = x³ (e^xy) dus fy(1,1)= e
Dus f(x,y) ≈ e + 3e(x-1) + e(y-1) voor (x,y) dichtbij (1,1) (zie formule van de lineaire benadering)
De vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van de functie in het punt (1,1,e) is :
Z = e + 3e(x-1) + e(y-1) (zie vergelijking voor het raakvlak)
Kwadratische benadering
voor functies van twee variabelen zullen we de formule voor de kwadratische benadering geven.
Heeft een functie f(x,y) continue partiële afgeleiden van de tweede orde dan geldt in een omgeving van (x₀,y₀) :
F(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fx (x₀,y₀) (x-x₀) + fy (x₀,y₀) (y-y₀) + ½ fxx (x₀,y₀) (x-x₀)² + fxy (x₀,y₀) (x-x₀) (y-y₀) + ½ fyy (x₀,y₀) (y-y₀)²
Voorbeeld 10
hier bepalen we de kwadratische benadering van f (x,y) = xe^xy in een omgeving van (1,1)
f (1,1) = e
fx (x,y) = e^xy + xy * e^xy fx(1,1)=2e
fy (x,y) = x² e^xy fy (1,1)= e
fxx(x,y) = 2y e^xy + xy² e ^xy fxx(1,1) = 3e
fxy(x,y) = 2x e^xy + x² ye^xy fyy( 1,1)= 3e
fyy(x,y)= x³e^xy fyy(1,1) = e
Dus:
f(x,y) ≈ e + 2e (x-1) + e(y-1) + 3/2 e (x-1)² + 3e (x-1)(y-1) + ½e (y-1)²
H 5 Elasticiteiten
Stel dat er twee (substitueerbare of complementaire) goederen 1 en 2 gegeven zijn, waarvan de gevraagde hoeveelheden door q₁ en q₂ en de prijzen door p₁ en p₂ worden aangegeven.
Een vraagfunctie naar goed 1 ziet er als volgt uit:
q₁ = q₁ (p₁,p₂)
De marginale vraagfuncties worden dan:
en
De verandering van de vraag naar goed 1 als gevolg van prijsverandering Δp₁ en Δp₂ kunnen we benaderen door:
Δq₁ ≈ Δp₁ + Δp₂
De partiële prijselasticiteiten voor de vraag naar goed 1 zijn:
( p₁, p₂) = .
De relatieve verandering van de vraag naar goed 1, Δq₁/q₁, als gevolg van de relatieve prijswijzigingen Δp₁/p₁ en Δp₂/p₂ kan, op analoge wijze als in hoofdstuk 2 benaderd worden door:
Δq₁/q₁, ≈(. Δp₁/p₁) + (. Δp₂/p₂)
Voorbeeld 11
Een vraagfunctie is gegeven door: q₁ = 100p₂ - 2p₁p₂
De marginale vraagfuncties zijn dan:
= -2p₂ en = 100 -2p₁
Prijzen p₁ = 30 en p₂= 40 (invullen in de marginale vraagfunctie)
(30,40) = -8o en (30,40) = 40
De vraag wordt: q₁(30,40) = 100 * 40 – 2*30 * 40 = 1600
De verandering van de vraag wordt benaderd door:
Δq₁ ≈ -80 * Δp₁ + 40 * Δp₂
Worden de prijzen van beide goederen met 1 verhoogd, dan zal de vraag met ongeveer -80 * 1 + 40 * 1= -40 toenemen.
De partiële prijselasticiteiten worden:
= (-80) . = 1,5 en = 40 . = 1
Dus: Δq₁/q₁ ≈ -1.5 . (Δp₁/p₁) + 1.( Δp₂/p₂)
Neemt p₁ met 1 % toen en p₂ met 2% dan zal de vraag toenemen met ongeveer:
Δq₁/q₁ ≈ -1.5 . (1%) + 1.(2%) = 0,5%
Productiefuncties
Voor de productie van een goed zijn bepaalde productiefactoren nodig zoals arbeid, land, machines en materiaal. In de theorie van producentengedrag werkt men soms met productiefuncties, dat zijn functies die de hoeveelheid product q aangeven bij inschakeling van de hoeveelheden productiefactoren x₁,x₂….,xn
Als we arbeid a en kapitaal k als productiefactoren nemen dan is de productiefunctie q(a,k). hiervan kunnen we dan de partiële afgeleiden bepalen.
(a,k) = . , de arbeidselasticiteit van de productie
(a,k) = . , de kapitaalelasticiteit van de productie
Verandering van de productiehoeveelheid als gevolg van de veranderingen van de hoeveelheden arbeid en kapitaal kan benaderd worden door:
Δq ≈ . Δa + . Δk
Voor relatieve of procentuele veranderingen vinden we:
≈ (a,k) . + (a,k) .
H 6 Impliciete functies
Door een vergelijking in twee variabelen (bijv. x en y) wordt een impliciete functie van één variabele bepaald.
Voorbeeld 12
De vergelijking: 2x + 3y = 20
Bij deze vergelijking kunnen we y als impliciete functie van x opvatten maar ook omgekeerd x als impliciete functie van y.
Y = (- 2/3 )x + (20/3), y als expliciete functie van x, of
X= (-3/2) y + 10, x als expliciete functie van y.
Een ander methode om afgeleide y’ te vinden is door impliciet differentiëren.
De vergelijking: x² + y² = 5
We beschouwen y als impliciete functie van x, dus y=y (x). als we deze differentiëren naar x dan krijgen we:
2x + 2y. y’ = 0
Hierbij is de y een functie van x en het differentiëren van de term y² dus oplevert:
(y²) = (y²) . = 2y . y’ (kettingregel)
Nu kunnen we y’ opschrijven als functie van x en y=f(x)
Y’= -
Als we voor x=2 kiezen en y = 1 dan vinden we y’(2)= -2
Een ander notatie voor de afgeleide is = -2
Voorbeeld 13
Gegeven is de functie f(x,y) = x² - xy + 2y² - y
De 3-niveaukromme van deze functie heeft de vergelijking:
x² - xy + 2y² - y = 3
de punt van de kromme is (2,1), hiermee kunnen we met impliciet differentiëren y’ in dit punt bepalen: We beschouwen dan weer y als functie van x en differentiëren beide kanten van de vergelijking naar x:
2x – y - xy’+ 4y . y’- y’ = 0
Voor het differentiëren van de term xy is de productregel gebruikt:
(xy)’ = x’ y + xy’ = y + xy’ .
Dus 2x – y + (-x +4y -1) . y’ = 0 waaruit volgt:
Y’ = -
In het punt (2,1) geldt dus: y’ (2,1) = -3
De partiële afgeleiden van f (x,y) zijn:
fx (x,y) = 2x –y fy (x,y) = -x+4y -1
het verband tussen partiële afgeleide van f en y’ is als volgt:
y’ =
H 7 De Lagrange multiplier
De hulpvariabele λ wordt multiplier van Lagrange genoemd. Aan deze hulpvariabele wordt in bepaalde omstandigheden een economische betekenis toegekend.
Voorbeeld 14
De productiefunctie is gelijk aan:
q (a,k) = 3a * k
als de prijzen gelijk zijn aan p=8 , p =10 en p=2 dan is de winstfunctie:
w(a,k) = 24a* k - 10a -2k
Bij de maximale winst zijn de partiële afgeleiden gelijk aan 0
= 0 6 . a * k- 10 = 0 6a * k= 10
= 0 12 a * k- 2 = 0 12 a * k= 2
Na deling van de linkerleden en de rechterleden van de twee vergelijkingen zie het als volgt uit:
= = 5 k = 10a
12 a * k = 2 12 a * k = 2
k = 10a k = 10a a = 12,96
12 a(10a) = 2 12 (10)a= 2 k = 129,6
Met behulp van de functie D(x,y) en de partiële afgeleide van de tweede orde kunnen we aantonen dat voor deze waarden van a en k inderdaad een maximum optreedt:
D(a,k) = . - = . - =
27a. k - 9a. k= 18a. k > 0 en =
Hieruit volgt dat w(a,k) een maximum heeft voor a = 12,96 en k = 129,6.
De maximale wist is gelijk aan w(12,96. 129,6) = 129,6
JoHo can really use your help! Check out the various student jobs here that match your studies, improve your competencies, strengthen your CV and contribute to a more tolerant world
![Image](https://www.worldsupporter.org/sites/default/files/styles/medium/public/bundle/wereldbol_summaries_joho_single_boek_1_150x190px_0.png?itok=PgQm9J5z)
- 1 of 2159
- next ›
Online access to all summaries, study notes en practice exams
- Check out: Register with JoHo WorldSupporter: starting page (EN)
- Check out: Aanmelden bij JoHo WorldSupporter - startpagina (NL)
Using and finding summaries, study notes en practice exams on JoHo WorldSupporter
There are several ways to navigate the large amount of summaries, study notes en practice exams on JoHo WorldSupporter.
- Use the menu above every page to go to one of the main starting pages
- Starting pages: for some fields of study and some university curricula editors have created (start) magazines where customised selections of summaries are put together to smoothen navigation. When you have found a magazine of your likings, add that page to your favorites so you can easily go to that starting point directly from your profile during future visits. Below you will find some start magazines per field of study
- Use the topics and taxonomy terms
- The topics and taxonomy of the study and working fields gives you insight in the amount of summaries that are tagged by authors on specific subjects. This type of navigation can help find summaries that you could have missed when just using the search tools. Tags are organised per field of study and per study institution. Note: not all content is tagged thoroughly, so when this approach doesn't give the results you were looking for, please check the search tool as back up
- Check or follow your (study) organizations:
- by checking or using your study organizations you are likely to discover all relevant study materials.
- this option is only available trough partner organizations
- Check or follow authors or other WorldSupporters
- by following individual users, authors you are likely to discover more relevant study materials.
- Use the Search tools
- 'Quick & Easy'- not very elegant but the fastest way to find a specific summary of a book or study assistance with a specific course or subject.
- The search tool is also available at the bottom of most pages
Do you want to share your summaries with JoHo WorldSupporter and its visitors?
- Check out: Why and how to add a WorldSupporter contributions
- JoHo members: JoHo WorldSupporter members can share content directly and have access to all content: Join JoHo and become a JoHo member
- Non-members: When you are not a member you do not have full access, but if you want to share your own content with others you can fill out the contact form
Quicklinks to fields of study for summaries and study assistance
Field of study
- All studies for summaries, study assistance and working fields
- Communication & Media sciences
- Corporate & Organizational Sciences
- Cultural Studies & Humanities
- Economy & Economical sciences
- Education & Pedagogic Sciences
- Health & Medical Sciences
- IT & Exact sciences
- Law & Justice
- Nature & Environmental Sciences
- Psychology & Behavioral Sciences
- Public Administration & Social Sciences
- Science & Research
- Technical Sciences
Add new contribution