Deze samenvatting is gebaseerd op collegejaar 2012-2013. Bekijk hier ons huidige aanbod.

Inhoudsopgave

H 1 Differentialen

H 2 Elasticiteiten

H 3 Homogene functies

H 4 Differentialen (2 variabelen)

H 5 Elasticiteiten

H 6 Impliciete functies

H 7 De Lagrange multiplier

H1 Differentialen

Een differentieerbare functie ziet er als volgt uit: y=f(x). De afgeleide van functie y is: dy = f’(x) dx. dy is de afhankelijke differentiaal en is een functie van twee variabelen,x en de onafhankelijke differentiaal dx. Normaal wordt een getal gekozen voor x, bijvoobeeld x=3, x=6 enz.

De afgeleide heeft een simpele formule. Stel je hebt y= a . x ⁿ dan is het afgeleide van deze formule: f’( x)= n·a·x^n-1

Voorbeeld 1

• Y= x⁴ dan geldt: dy= 4x³ dx ( dit is de afgeleide van functie y)

• Stel we kiezen nu x=3 dan krijgen we: dy= 108 dx ( dy= 4*3³=108)

• Stel dx= 12 dan is dy= 1296

Als we de differentiaal dx de betekenis van een kleine verandering (ongelijk aan nul ) geven dan noteren we dat met Δx en is de differentiaal dy een benadering van de verandering Δy die de

y-waarde krijgt.

De werkelijke verandering van een functiewaarde wordt benaderd door de verandering langs de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt (x₀, f(x₀)). Hiermee bereken je de helling van de grafiek.

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie f(x)= 4x² + 2x

Er geldt: f(2)=16 en f’(x) = 8x +2.

Voor dy geldt dan: dy= (8x+2) dx

Voor x=1 wordt het dy= 10 dx

Bij benadering geldt dus Δy=10 Δx

Kiezen we Δx= 0.2 dan wordt Δy ≈ 10 * 0.2= 2

De lineaire benadering van een functie f in een omgeving van het punt x₀ is:

F(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀) (x-x₀) voor x dichtbij x₀

Een lineaire vergelijking heeft altijd dezelfde vorm: y = ax+b

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie f in het punt (x₀, f(x₀)) is:

Y= f(x₀) + f’(x₀) ( x-x₀)

Voorbeeld 3

Stel de functie is: f(x)= e^x

De lineaire benadering in een omgeving van het punt 1 is:

e^x ≈ e + e(x-1)

de vergelijking van de raaklijn in het punt (1.e) is dan:

y=e + e(x-1)

Kwadratische benaderingen

Als een functie tweemaal differentieerbaar is, kunnen we de formule voor de lineaire benadering van die functie in een bepaald punt uitbereiden tot een formule voor een kwadratische benadering. Deze formule krijgt een tweedegraads term erbij, die ervoor zorgt dat de benadering nauwkeuriger de functiewaarden van f benadert dan de lineaire benadering. Bij deze formule spreek je van een “raakparabool”.

F(x) ≈ f(x₀) + f’(x₀) (x-x₀) + ½ f” ( x₀)(x-x₀)^2 voor x dichtbij x₀.

F’(x₀) betekent de eerste afgeleide van functie f(x₀)

F”(x₀) betekent de tweede afgeleide van functie f(x₀)

Een kwadratische vergelijking heeft altijd de volgende vorm: y = ax² + bx + c

H 2 Elasticiteiten

De hoeveelheid q van een bepaald goed dat door de consument wordt gekocht is afhankelijk van de prijs p, die door de producent wordt vastgesteld.

Dus: q= q(p)

Bij normale goederen zal bij toename van de prijs de vraag afnemen.

Stel dat een kleine prijsverandering Δp een verandering van de vraag Δq ten gevolge heeft.

Voor normale goederen zal het differentiequotiënt Δq/Δp negatief zijn.

Een goede manier om de quotiënt uit te rekenen:

Relatieve (of procentuele) verandering van de vraag / Relatieve (of procentuele) verandering van de prijs.

De bovengenoemde formule is onafhankelijk van de gebruikte eenheden,dus maakt niet uit of je kg of pond gebruikt.

De prijselasticiteit van de vraag geeft de relatieve (procentuele) verandering van de gevraagde hoeveelheid aan als gevolg van een relatieve (procentuele) prijsverandering van dat goed. Met deze uitkomst kan een inschatting worden gemaakt of een prijsverandering leidt tot een stijging van de omzet of juist tot een omzetdaling.

De prijselasticiteit van de vraag: Eq (p) = (dq/dp )* (p/q)

Voorbeeld 4

<

p>De vraagfunctie is q= wortel 1200-p met 0

1200

De marginale vraagfunctie wordt: dq/dp= - en dus voor p=1100 geldt q’(1100) =

-0,05.

De prijselasticiteit wordt dan : Eq (1100)= -0.05 * (1100/10)= -5.5

Dit betekent dat als de prijs met 1% verhoogd wordt, de vraag met ongeveer 5.5% zal dalen.

Indien |Eq| > 1 dan noemt men de vraag elastisch

Indien |Eq|niet elastisch

De elasticiteit van een continue en differentieerbare functie wordt als volgt genoteerd:

Ey(x)= *

Voorbeeld 5

stel f (x)= x²+2x dus f (2)=8

f’ (x)= 2x+2 dus f’ (2)=6

De elasticiteit van f in het punt (2,8) wordt: E f(2)= 6 * = 1.5

Als we x met 1% vergroten zal de functiewaarde met ongeveer 1.5% toenemen.

Een functie heeft een constante elasticiteit als f(x)=C* x^a (x>0, C en a reële constanten) dat E^ f (x)= a

Ook geldt voor alle t>0: f(tx)= t^a * f(x)

Men noemt deze functies met deze eigenschap homogeen van de graad a.

Wanneer een functie homogeen van graad is dan geldt: E^f(x)= f ’(x)* = a

H 3 Homogene functies

Een functie f (x,y) heeft homogeen van de graad n als geldt:

F (ta,tb)= tⁿ * f (a,b) voor elk getal t>0

Voorbeeld 6

Stel f (x,y) = x² y

Er geldt: f (1,2)= 2 en f(10,20)= 2000

In het algemeen geldt: stellen a en b twee gekozen waarden van x en y voor, en t een vermenigvuldigingsfactor, dan:

F (ta,b)= (ta)² tb= t³ * a²b= t³ * f (a,b).

Als we de beide gekozen warden van de variabelen x en y met dezelfde factor t vermenigvuldigen, dan wordt de functiewaarde met t³ vermenigvuldigd. Zo een functie noemen we homogeen van de graad 3.

Voorbeeld 7

De functie f (x,y)= x² y is homogeen van de graad 3.

De partiële afgeleiden zijn: fx (x,y)= 2xy ( Hier ga je afleiden naar x, dit betekent dat je y als een constante moet zien dus y blijft staan en ga je alleen x² afleiden), Fy(x,y)= x².

X * fx (x,y) + y * fy (x,y)= x.(2xy) + y.(x²)= 3x²y= 3f (x,y)

H 4 Differentialen (2 variabelen)

De differentialen dx en dy geven we de betekenis van een kleine verandering. Dit wordt als volgt genoteerd: Δx en Δy.

Voorbeeld 8

Gegeven is: z = f(x,y) = 3x² + 5xy – 2y² met f(1,2) = 5

Dan geldt dz = (6x+5x) dx + (5x-4y) dy

In het punt (1,2) geldt dus:

dz = 16 dx + (-3) dy

Bij benadering geldt Δz ≈ 16 * Δx + (-3) * Δy

Stellen we nu Δx = 0,2 en Δy = 0,1 dan krijgen we:

Δz ≈ 16 (0,2) + (-3) (0,1) = 2.9

De functiewaarde verandert dus met 2.9, deze tel je op bij 5. Totaal wordt het 7.9

Om aan deze antwoord te komen heb je de onderstaande formule nodig:

Δz ≈ fx (x₀,y₀)* Δx + fy (x₀,y₀)* Δy

Is de vraag naar een goed (goed 1) afhankelijk van de prijs p1 van dat goed en de prijs van een ander goed p2 dan kunnen we schrijven:

q₁ = q₁ (p₁,p₂)

stel de functie q₁ is differentieerbaar dan wordt een kleine verandering Δq₁ in de vraag door een kleine prijswijziging Δp₁ en Δp₂ benaderd door de differentiaal dq₁:

Δq₁ ≈ Δp₁ + Δp₂

Stel je hebt een productiefunctie waarin a (arbeid) en k (kapitaal) in voorkomt.

Zoals: q(a,k) = 10 = 10(ak) ^0.5= 10 a^0,5 k^0,5

Dus q(25,64) = 400 (invullen in bovenstaande formule, voor a=25 en k= 64)

Voor de partiële afgeleiden geldt: qa (a,k) = (5a^-0,5) (k ^0,5) dus qa (25,64)= 8

De partiële afgeleiden naar a bereken je als volgt: je houdt k^0,5 constant en je gaat a^0,5 afleiden. Uiteindelijk krijg je dus (5a^-0,5)( k ^0,5).

En qk= (a,k) =( 5^0,5)( k^-0,5) , dus qk (25,64)= 3,125

Als benadering van de verandering Δq ≈ 8 Δa + 3,125 Δk

Neemt a met 0,5 toe en k met 1, dan verandert q met ongeveer:

Δq ≈ 8 *(0,5) + 3,125 *(1)= 7,125.

De formule voor de lineaire benadering van f in een omgeving van het punt (x₀,y₀) heeft de volgende vergelijking:

F(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fx (x₀,y₀) *(x-x₀) + fy (x₀,y₀) (y-y₀)

De onderstaande formule wordt het raakvlak genoemd aan de grafiek van de functie in het punt (x₀,y₀, f(x₀,y₀)).

Z= f(x₀,y₀) + fz (x₀,y₀) * (x-x₀) + fy (x₀,y₀) *(y-y₀).

Voorbeeld 9

We stellen de lineaire benadering op met behulp van de bovenstaande formule.

De functie: f(x,y) = x² e^xy in een omgeving van het punt (1,1).

F(1,1)= e

Fx(x,y)= 2x (e^xy )+ x² y 9e^xy) dus fx(1,1)= 3e

Fy (x,y) = x³ (e^xy) dus fy(1,1)= e

Dus f(x,y) ≈ e + 3^e(x-1) + e(y-1) voor (x,y) dichtbij (1,1) (zie formule van de lineaire benadering)

De vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van de functie in het punt (1,1,e) is :

Z = e + 3^e(x-1) + e(y-1) (zie vergelijking voor het raakvlak)

Kwadratische benadering

voor functies van twee variabelen zullen we de formule voor de kwadratische benadering geven.

Heeft een functie f(x,y) continue partiële afgeleiden van de tweede orde dan geldt in een omgeving van (x₀,y₀) :

F(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + fx (x₀,y₀) (x-x₀) + fy (x₀,y₀) (y-y₀) + ½ fxx (x₀,y₀) (x-x₀)² + fxy (x₀,y₀) (x-x₀) (y-y₀) + ½ fyy (x₀,y₀) (y-y₀)²

Voorbeeld 10

hier bepalen we de kwadratische benadering van f (x,y) = xe^xy in een omgeving van (1,1)

f (1,1) = e

fx (x,y) = e^xy + xy * e^xy  fx(1,1)=2e

fy (x,y) = x² e^xy  fy (1,1)= e

fxx(x,y) = 2y e^xy + xy² e ^xy  fxx(1,1) = 3e

fxy(x,y) = 2x e^xy + x² ye^xy  fyy( 1,1)= 3e

fyy(x,y)= x³e^xy  fyy(1,1) = e

Dus:

f(x,y) ≈ e + 2e (x-1) + e(y-1) + 3/2 e (x-1)² + 3e (x-1)(y-1) + ½e (y-1)²

H 5 Elasticiteiten

Stel dat er twee (substitueerbare of complementaire) goederen 1 en 2 gegeven zijn, waarvan de gevraagde hoeveelheden door q₁ en q₂ en de prijzen door p₁ en p₂ worden aangegeven.

Een vraagfunctie naar goed 1 ziet er als volgt uit:

q₁ = q₁ (p₁,p₂)

De marginale vraagfuncties worden dan:

en

De verandering van de vraag naar goed 1 als gevolg van prijsverandering Δp₁ en Δp₂ kunnen we benaderen door:

Δq₁ ≈ Δp₁ + Δp₂

De partiële prijselasticiteiten voor de vraag naar goed 1 zijn:

( p₁, p₂) = .

De relatieve verandering van de vraag naar goed 1, Δq₁/q₁, als gevolg van de relatieve prijswijzigingen Δp₁/p₁ en Δp₂/p₂ kan, op analoge wijze als in hoofdstuk 2 benaderd worden door:

Δq₁/q₁, ≈(. Δp₁/p₁) + (. Δp₂/p₂)

Voorbeeld 11

Een vraagfunctie is gegeven door: q₁ = 100p₂ - 2p₁p₂

De marginale vraagfuncties zijn dan:

= -2p₂ en = 100 -2p₁

Prijzen p₁ = 30 en p₂= 40 (invullen in de marginale vraagfunctie)

(30,40) = -8o en (30,40) = 40

De vraag wordt: q₁(30,40) = 100 * 40 – 2*30 * 40 = 1600

De verandering van de vraag wordt benaderd door:

Δq₁ ≈ -80 * Δp₁ + 40 * Δp₂

Worden de prijzen van beide goederen met 1 verhoogd, dan zal de vraag met ongeveer -80 * 1 + 40 * 1= -40 toenemen.

De partiële prijselasticiteiten worden:

= (-80) . = 1,5 en = 40 . = 1

Dus: Δq₁/q₁ ≈ -1.5 . (Δp₁/p₁) + 1.( Δp₂/p₂)

Neemt p₁ met 1 % toen en p₂ met 2% dan zal de vraag toenemen met ongeveer:

Δq₁/q₁ ≈ -1.5 . (1%) + 1.(2%) = 0,5%

Productiefuncties

Voor de productie van een goed zijn bepaalde productiefactoren nodig zoals arbeid, land, machines en materiaal. In de theorie van producentengedrag werkt men soms met productiefuncties, dat zijn functies die de hoeveelheid product q aangeven bij inschakeling van de hoeveelheden productiefactoren x₁,x₂….,xn

Als we arbeid a en kapitaal k als productiefactoren nemen dan is de productiefunctie q(a,k). hiervan kunnen we dan de partiële afgeleiden bepalen.

(a,k) = . , de arbeidselasticiteit van de productie

(a,k) = . , de kapitaalelasticiteit van de productie

Verandering van de productiehoeveelheid als gevolg van de veranderingen van de hoeveelheden arbeid en kapitaal kan benaderd worden door:

Δq ≈ . Δa + . Δk

Voor relatieve of procentuele veranderingen vinden we:

≈ (a,k) . + (a,k) . 

H 6 Impliciete functies

Door een vergelijking in twee variabelen (bijv. x en y) wordt een impliciete functie van één variabele bepaald.

Voorbeeld 12

De vergelijking: 2x + 3y = 20

Bij deze vergelijking kunnen we y als impliciete functie van x opvatten maar ook omgekeerd x als impliciete functie van y.

Y = (- 2/3 )x + (20/3), y als expliciete functie van x, of

X= (-3/2) y + 10, x als expliciete functie van y.

Een ander methode om afgeleide y’ te vinden is door impliciet differentiëren.

De vergelijking: x² + y² = 5

We beschouwen y als impliciete functie van x, dus y=y (x). als we deze differentiëren naar x dan krijgen we:

2x + 2y. y’ = 0

Hierbij is de y een functie van x en het differentiëren van de term y² dus oplevert:

(y²) = (y²) . = 2y . y’ (kettingregel)

Nu kunnen we y’ opschrijven als functie van x en y=f(x)

Y’= -

Als we voor x=2 kiezen en y = 1 dan vinden we y’(2)= -2

Een ander notatie voor de afgeleide is = -2

Voorbeeld 13

Gegeven is de functie f(x,y) = x² - xy + 2y² - y

De 3-niveaukromme van deze functie heeft de vergelijking:

x² - xy + 2y² - y = 3

de punt van de kromme is (2,1), hiermee kunnen we met impliciet differentiëren y’ in dit punt bepalen: We beschouwen dan weer y als functie van x en differentiëren beide kanten van de vergelijking naar x:

2x – y - xy’+ 4y . y’- y’ = 0

Voor het differentiëren van de term xy is de productregel gebruikt:

(xy)’ = x’ y + xy’ = y + xy’ .

Dus 2x – y + (-x +4y -1) . y’ = 0 waaruit volgt:

Y’ = -

In het punt (2,1) geldt dus: y’ (2,1) = -3

De partiële afgeleiden van f (x,y) zijn:

fx (x,y) = 2x –y fy (x,y) = -x+4y -1

het verband tussen partiële afgeleide van f en y’ is als volgt:

y’ =

H 7 De Lagrange multiplier

De hulpvariabele λ wordt multiplier van Lagrange genoemd. Aan deze hulpvariabele wordt in bepaalde omstandigheden een economische betekenis toegekend.

Voorbeeld 14

De productiefunctie is gelijk aan:

q (a,k) = 3a * k

als de prijzen gelijk zijn aan p=8 , p =10 en p=2 dan is de winstfunctie:

w(a,k) = 24a* k - 10a -2k

Bij de maximale winst zijn de partiële afgeleiden gelijk aan 0

= 0 6 . a * k- 10 = 0 6a * k= 10

= 0 12 a * k- 2 = 0 12 a * k= 2

Na deling van de linkerleden en de rechterleden van de twee vergelijkingen zie het als volgt uit:

= = 5 k = 10a

12 a * k = 2 12 a * k = 2

k = 10a k = 10a a = 12,96

12 a(10a) = 2 12 (10)a= 2 k = 129,6

Met behulp van de functie D(x,y) en de partiële afgeleide van de tweede orde kunnen we aantonen dat voor deze waarden van a en k inderdaad een maximum optreedt:

D(a,k) = . - = . - =

27a. k - 9a. k= 18a. k > 0 en =

Hieruit volgt dat w(a,k) een maximum heeft voor a = 12,96 en k = 129,6.

De maximale wist is gelijk aan w(12,96. 129,6) = 129,6