Hoorcollege 9: factoranalyse

1. Beoordelen dimensionaliteit van test: Vinden we het aantal theoretisch veronderstelde dimensies (= factoren) binnen de verzameling van testitems? -> confirmerende factoranalyse (CFA). We hebben namelijk een verwachting, en willen we dit ook bevestigen. 
2.  Realiseren van datareductie, Kunnen we informatie uit groot aantal variabelen samenvatten in kleiner aantal nieuw te construeren variabelen (= factoren)? -> explorerende factoranalyse (EFA). Je komt dus tot nieuwe variabelen. We hebben item variabelen en test (scores) variabelen. We hebben hier geen verwachting, maar we willen nagaan hoe iets zit. 

• Stap 1: welk model? Hier wordt gekeken naar factormodellen: Hoofdcomponentenanalyse (PCA) en Principal axis factoring (PAF) zijn de 2 meest gebruikte modellen
• Stap 2: aantal factoren? Eigenwaarde criterium en Knikcriterium
• Stap 3: interpretatie factor(en)? Doen we door een van de 2 te kiezen: Orthogonale rotatie en Oblique rotatie
• Stap 4: kwaliteit factoroplossing? Simple structure, Correlatie tussen factoren, Proportie verklaarde variantie factoren en Communaliteit

• Hoofdcomponentenanalyse (Principal Components Analyses). Hierbij woorden de A’s berekend. De sterke van de invloed van de factor op de afzonderlijke variabale/observaties. 
• Factoranalyse (Principal Axis Factoring); met U(nieke factor). Is een iets uitgebreider model. Ze hebben ook andere invloeden. 

• Geobserveerde variabele (X , Zx ) 
• X = individuele score op variabele en Zx = X getransformeerd naar z-score
• Factorlading (a) Correlatie van variabele met factor. NB. De factorladingen a worden 
• geschat. Dus hoe goed/slecht de is factor op een item. Het zijn achterliggende verklaringen.  Factor (F ) Achterliggende verklaring voor variatie (variantie) in en samenhang (correlaties) 
• tussen de variabelen. NB. In PCA spreekt men van componenten in plaats van factoren. 
• Unieke factor (u) Unieke factor voor verklaring van specifieke en error variantie.

• Voor ieder individu een score op (elke) factor. 
• Voor persoon i is Fji de gewogen som (lineaire combinatie) van k naar Z gestandaardiseerde  variabelen. 
• F is een nieuwe variabele, die meerdere variabele 
• samen pakken. 
• Voor verdeling van factorscores geldt: gemiddelde M = 0 en standaardafwijking SD =1

• Aantal mogelijke factoren: Maximaal aantal factoren is gelijk aan totaal aantal variabelen (k) in de analyse. Hebben we 11 variabele in de analyse, kunnen we 11 factoren krijgen. 
• Doel factoranalyse: Met zo weinig mogelijk factoren zo veel mogelijk variantie in variabelen verklaren (datareductie). Dus hoe goed die test zijn gemaakt. 
• Verklaarde variantie factoren
  • Factor 1: verklaart zo groot mogelijk deel van testvariantie. Heeft de meeste invloed/gewicht
  • Factor 2: verklaart zo groot mogelijk deel van restvariantie. Dus ook factor 3,4 etc 
  • Factor k: verklaart zo groot mogelijk deel van restvariantie.
• Voorlopige keuze aantal factoren: Gebaseerd op verklaarde variantie (eigenwaarde) door factoren (= statistisch criterium).

• Totale variantie in variabelen: per variabele: variantie = s2 = 1 totale variantie = variantie van variabelen = k 
• Eigenwaarde van factor: Eigenwaarde is de verklaarde variantie in k variabelen door een factor. Dus alle gekwadrateerde factorlandingen bij elkaar opgeteld. 
•  Eigenwaarde-criterium (Kaiser-Guttman criterium) Kies, in eerste instantie (= initieel), voor aantal factoren met eigenwaarde groter dan 1 (= vuistregel). Groter dan 1, dan is hij zinvol. 

• Roteren (orthogonaal of oblique) van de factoroplossing. (Soort manipulatie) 
  • Gebruik vervolgens ladingen a van variabelen op de factoren en de inhoud van de variabelen. 
  • Variabele met hoogste lading is meest kenmerkend voor factor. 
  • Loop variabelen in aflopende lading af. 
  • Gebruik de variabelen met hoge lading: |a| > .3 (of .4 of .5 of .6 …) is een vuistregel. 
• Orthogonale en oblique rotatie (de rechte en scheve rotatie) 
  • Resultaat orthogonale (rechte) rotatie: Na rotatie ongecorreleerde factoren, assen staan na rotatie loodrecht op elkaar. De factoren zijn ongecorreleerd, dus geen samenhang. 
  • Interpretatie factorladingen na rechte rotatie: ’Correlaties’ tussen factoren en variabelen in de analyse. Dus de samenhang. 
  • Resultaat oblique (scheve) rotatie: Na rotatie meer of minder gecorreleerde factoren, assen niet loodrecht op elkaar (zie in SPSS de factor correlatiematrix). 
  • Interpretatie factorladingen na scheve rotatie: (Partiële) regressiegewichten in plaats van correlaties. 
  • Ondanks de rotatie: de ladingen geven aan hoe sterk de relatie tussen de factor en de variabele

• Roteren is een hulpmiddel bij interpretatie van de factoren die in stap 2 zijn geselecteerd. 
• Assen (factoren) draaien zodat ze beter door clusters van variabelen gaan. 
• Twee vormen: orthogonale (rechte) rotatie en oblique (scheve) rotatie. 
• Na rotatie laadt, in de regel, elke variabele hoog op de ene factor en laag op andere factor 
• (‘simple structure’). 
• Gebruik ladingen na rotatie en inhoud variabele bij interpretatie van factoren.

• Op elke factor klein aantal variabelen met sterke lading. 
• Op elke factor groot aantal variabelen met zwakke lading.
• Elke variabele heeft op één factor een sterke lading.

• Bij Beoordeling van kwaliteit kijken we naar: 
  • Eenvoud van structuur (simple structure). 
  • Correlatie tussen factoren. 
  • Verschillen tussen geschatte en geobserveerde correlaties. Niet behandeld college. 
• Proportie verklaarde variantie in alle variabelen door factoren:
  • ‘matig’ bij ≈ 30% verklaarde variantie door factoren. 
  • ‘goed’ bij ≈ 50% verklaarde variantie door factoren. 
• Proportie verklaarde variantie in afzonderlijke variabelen door alle factoren in het model (communaliteit). Het is een variabele of test kenmerk. 

• Totale variantie variabelen: Som gestandaardiseerde varianties is gelijk aan k x 1 = k. Je doet dus de eigenwaarde delen door aantal variabelen. 
• Proportie verklaarde variantie door een factor: Proportie door één factor verklaarde variantie in alle variabelen. 
• Proportie verklaarde variantie meerdere factoren: Tel proporties verklaarde variantie van factoren op. Communaliteit h2 (kwadraat) 
• De proportie door alle factoren gezamenlijk verklaarde variantie van één variabele (h2). 
• Is de uitkomst laag, dan is het een slechte representatie. Als h2 kleiner is dan 1, worden ze slecht gerepresenteerd door de factoroplossing.