Hoorcollege 9

Voor een schaalscore wil je eendimensionaliteit.

Factoranalyse gaat alleen over relaties binnen een test.

• Meerdimensionaliteit: clusters van items die samenhangen.
• Eendimensionaliteit: alle items hangen samen.

Factoranalyse helpt ons iets daarover te zeggen. Een of meer achterliggende verklaring voor de verzameling van items. Dan kan je uiteindelijk 1 schaalscore gebruiken voor een onderwerp.

Doelen factoranalyse:

1. Beoordelen dimensionaliteit van test
2. Realiseren van datareductie

Aantal variabelen is hier items. Kan ook testscores zijn. Die tests bevatten weer meerdere items. 

• Boven is een verwachting proberen te bevestigen: het klopt.
• Onder is zonder verwachtingen en kijken hoe het zit.
• Test is tweede factoranalyse
• Items is eerste factoranalyse.

De tien opgaven kunnen vervangen worden door twee scores. --> datareductie. De eerste 5 voor F1 (factorscore) en de laatste 5 voor F2. Dit is dus van 10 naar 2 variabelen, dus dat is datareductie.

Stappen in factoranalyse:

Stap 0 is: zijn mijn data überhaupt wel geschikt om een factoranalyse uit te voeren.

Stap 1: Keuze factormodel

• We doen een confirmerende factoranalyse.
• We onderzoeken of die tweedimensionaliteit van intelligentie klopt. Of we inderdaad twee factoren hebben.
• Zijn deze twee achterliggende factoren te vinden in deze verzameling van variabelen?
• Keuze factormodel nu. We veronderstellen twee clusters van testscores.
• Je werkt met z-scores, want het is gestandaardiseerd, waardoor je ze kan vergelijken.
• We veronderstellen twee achterliggende factoren.

F1 en F2 hebben op alle items een invloed. De sterkte van de invloed wordt aangegeven met een a. Dat wordt een resultaat van de analyse.

Testscores zijn de variabele X

z-score heeft een standaardafwijking van 1.

Dit is een transformatie.

• Factorlading = samenhang tussen de factor en de afzonderlijke observatie.
• Hoe goed zo’n factor van invloed is op  zo’n afzonderlijk item.
• Factor is niet observeerbaar. Wat we wel kunnen zien zijn die antwoorden van de respondent (de items).

Voor ieder individu krijg je een andere F omdat er voor ieder individu een andere combinatie van z-scores is gerealiseerd. Niet iedereen heeft dezelfde scores op de test en dus ook niet dezelfde z-scores, en dus ook niet dezelfde Factorscore. De a’tjes zijn wel allemaal hetzelfde. Factorscores hebben een verdeling, een gemiddelde en en een standaardafwijking.

• Gemiddelde is 0 en de standaardafwijking is 1, omdat we hier te maken hebben met z-scores.
• Factorscore van 0, dan heeft hij een score op de 10 items gelijk aan het gemiddelde van de groep.
• +  en - betekent boven of onder het gemiddelde. En het wordt uitgedrukt in standaardafwijkingen.
• We hebben van tevoren een idee over het aantal achterliggende factoren.

Stap 2: Bepalen aantal factoren

• Eigenwaarde criterium
• Knikcriterium
• Hoe goed is de factor in staat spreiding in items te verklaren en te representeren.
• Als je geen idee hebt, dan ga je kijken hoeveel het er zijn.
• Conformerend is wat je verwacht of dat ook wordt gevonden.
• Dit is interne structuur van de begripsvaliditeit.
• Voor elke test een lading op factor 1 en factor 2.
• Hoe groter in absolute zin (verder van 0, dus -1 en +1) hoe sterker de variabele samenhangt met een factor.
• Het is zinvol als deze factor spreiding in de afzonderlijke items verklaart. Dat is de eigenwaarde van de factor.
• Het maximaal aantal mogelijke factoren is gelijk aan het totaal aantal variabelen (k) in de analyse. We willen er twee, want we willen ook datareductie.
• Factor k is de laatste factor die je kan onderscheiden bij 11 items is dit factor 11.
• Met minder factoren dan 11, minder dan k factoren. Dan wordt er ook minder variantie verklaard.
• Je wil zo min mogelijk factoren vinden die zoveel mogelijk variantie verklaren.
• Verklaarde variantie is de eigenwaarde en dat is een statistisch criterium.
• Elke afzonderlijke variabele is naar z-scores omgezet. Daar is gemiddelde gelijk aan 0 en SD gelijk aan 1.
• S kwadraat is de variantie, dus die is ook 1, omdat S (SD) gelijk is aan 1.
• 11x is de variantie gelijk aan 1, want we hebben 11 items. Som van de varianties is dus gelijk aan k, dus 11 in dit geval.
• Dat is alle spreiding die we hebben voor de variabelen die we gebruiken.

Eigenwaarde is de variantie die door de factor verklaard wordt.

• De som van de gekwadrateerde ladingen is de eigenwaarde van de factor. 
• Eigenwaarde groter dan 1? Dan is de factor statistisch gezien te onderscheiden.
• Eerste factor is groter dan 1, dus statistisch zinvol te onderscheiden.
• Tweede factor is niet zinvol te onderscheiden.
• Op basis van deze analyse selecteren we 1 achterliggende factor.
• Vaak krijg je veel meer factoren dan zinvol bij eigenwaarde manier.

Dan heb je een andere procedure. Om te komen op minder zinvolle factoren. Gebaseerd op een Scree-plot.

• De eigenwaarde voor elke factor.
• Zo veel factoren kun je onderscheiden als dat er variabelen zijn.
• Je ziet een aflopende hoeveelheid van eigenwaardes.
• Duidelijk 1 belangrijke factor en daarna loopt het af. Wat doen we dan. We trekken een lijn. En we trekken een lijn van de hoogste eigenwaarde naar de eerste van de langzaam aflopende lijn. Dan heb je een knik. En we tellen het aantal factoren met een eigenwaarde boven die knik.

• Dat is er dus 1. Kijk dus naar vóór de knik.
• Conclusie: Je moet dus 1 factor selecteren.

Stap 3: Interpretatie van de factoren

• Orthogonale rotatie
• Oblique rotatie
• De manipulatie is rotatie. Dat roteren zorgt ervoor dat de factorladingen gewijzigd worden. Zodat het makkelijker te interpreteren is.
• Na roteren hebben we weer factorladingen. Hoge lading is grote samenhang.
• Hoogste lading is het meest representatief voor de factor die daarop van invloed is.
• Dan kunnen we een criterium gebruiken: hij is goed vanaf .3 of vanaf .4
• Ladingen zijn veranderd door de rotatie.
• Hierdoor hoge lading op 1 factor en lage lading op een andere factor.
• We kijken naar hoge lading na rotatie hoger dan .30

Orthogonale is recht

• Na rotatie assen nog steeds loodrecht op elkaar. Twee factoren zijn onafhankelijk, niet gecorreleerd.

Oblique is scheef

• Hier is samenhang, assen buigen naar elkaar toe. Dat ontstaat door naar elkaar toe buigen.
• De factorladingen die uit de rechte rotatie komen, kan je beschouwen als de correlatie. Samenhang tussen de factor en de variabelen.

Die scheve rotatie moet je iets anders interpreteren.

• De ladingen geven de sterkte van de relatie tussen de factor en de variabelen.
• Sterke samenhang tussen de twee factoren, dan moet je misschien gaan denken om er toch maar uit te gaan van 1.
• Wenselijk: interpretatie is het eenvoudigst als op 1 factor de ene helft sterke lading en de andere helft kleine lading. En andersom voor factor 2.
• Zo een eenvoudig mogelijk model wil je hebben, maar het moet wel werken.
• Factoroplossing: het interpreteren. Maar wat is de kwaliteit hiervan?

Factoroplossing = 

• Definitieve keuze voor aantal factoren
• Gekozen rotatie (orthogonaal of oblique)

Je hebt altijd wel beetje van beide: slachtoffer en dader. Er is dus altijd wel samenhang tussen de factoren. Kleine samenhang. Dus de twee factoren zijn losse individuele factoren.

Stap 4: Kwaliteit factoroplossing

• Simple structure
• Correlatie tussen factoren
• Proportie verklaarde variantie
• Communaliteit

We kijken naar de eenvoud van de structuur. De structuur die het gevolg is van de rotatie.

• Zag er goed uit, maar sommige variabelen pasten toch niet onder een factor.
• De correlatie tussen factoren was niet al te groot.
• Verschillen tussen geschatte en geobserveerde correlaties boeit niet.

Hoe goed zijn de afzonderlijke items verklaard door de factoroplossing.

• De items moeten gerepresenteerd worden door de factoren. Als hij geen goede verklaarde variantie heeft dan moet je misschien het item weghalen.
• Eigenwaarde is verklaarde variantie door een factor in alle items
• Communaliteit is de verklaarde variantie in een variabele door de factoroplossing.
• Eigenwaarde is een factor kenmerk
• Communaliteit is een variabele kenmerk
• Verklaarde variantie door een factor is de eigenwaarde
• Proportie verklaarde variantie van de factor is de eigenwaarde delen door de totale variantie.
• Totale variantie is gelijk aan het aantal variabelen in de analyse.
• Eigenwaarde delen door die 11 (totaal aantal items)

Hier tel je dus de verklaarde variantie van de factoren op. Dus als je twee factoren hebt is het de een + de ander.

• De eigenwaarde van factor 1 en de eigenwaarde van factor 2 optellen en delen door de totale variantie.
• 36,2% verklaarde variantie door de factor oplossing van alles wat we aan spreiding hebben in die 41 variabelen in onze analyse.

Hoe worden de afzonderlijke items verklaard door de twee factoren. Het kan zijn dat de factoren sommige items niet goed representeren en die komen dan in aanmerking om verwijderd te worden.

Je moet nu factorladingen van de horizontale kwadrateren.Voor elke variabele zijn er twee factorladingen. Die twee factorladingen kwadrateren en optellen, dan krijg je de communaliteit. Dat is de proportie verklaarde variantie in de betreffende variabele door de factoroplossing.

• Als de communaliteit laag is, wordt de variabele slecht gepresenteerd door de factoroplossing en kan hij verwijderd worden.
• Factorladingen die horen bij een variabele worden gekwadrateerd en opgeteld. Dit wordt gedaan met ongeroteerde factorladingen.
• Verklaarde variantie is dan onder de 10% dus dan sluit de factoroplossing niet goed aan bij de variabele.
• Sommige vragen kunnen dus verwijderd worden.