9. Deductieve argumenten I

Hoe kan je argumenten analyseren?

Er zijn twee technieken voor het maken en evalueren van deductieve argumenten. In dit hoofdstuk gaat het vooral over categorische logica. Dit is logica die gebaseerd is op de verbanden van insluiting en uitsluiting tussen categorieën in categorische beweringen. Categorische logica is bruikbaar bij het verduidelijken en analyseren van deductieve argumenten. Wanneer we begrijpen hoe dit werkt, kunnen we kritischer en preciezer zijn ten opzichte van stellingen en argumenten en ambiguïteit vermijden.

Categorische claims

Een categorische claim zegt iets over categorieën van objecten. Een standaard-vorm categorische claim is een claim die ontstaat wanneer namen of beschrijvingen worden toegevoegd aan categorieën. Hier zijn vier soorten van:

• De A-claim: ‘Alle … zijn …’. Voorbeeld: ‘Alle protestanten zijn christenen’.
• De E-claim: ‘Geen … zijn …’. Voorbeeld: ‘Geen atheïsten zijn christenen’.
• De I-claim: ‘Sommige … zijn …’. Voorbeeld: ‘Sommige christenen zijn Arabisch’.
• De O-claim: ‘Sommige … zijn niet …’. Voorbeeld: ‘Sommige christenen zijn niet katholiek.’

Met ‘sommige’ bedoelen we ‘minstens één’.

Termen

De woorden die op de bovenstaande stippellijnen komen te staan worden termen genoemd. Het woord dat op de eerste stippellijn in een claim komt te staan, wordt de ‘subject term’ genoemd. Het woord dat op de tweede stippenlijn komt te staan wordt de ‘predicate term’ genoemd.

De woorden die als ‘subject term’ en als ‘predicate term’ dienen in een zin, worden samen ook wel klassen genoemd. De bovenstaande claims kunnen ook in Venndiagrammen worden verwerkt en weergeven. Zo'n Venn diagram is een grafische voorstelling van alle mogelijke hypothetische logische relaties tussen een eindige verzameling van statements. Visueel neergezet is dit een cirkel voor elke categorie, die overlappen op het moment dat zij een gemeenschap hebben. Dankzij de overlap tussen sommige beweringen kan je conclusies trekking uit de beweringen; er zijn verhoudingen zichtbaar.

De claim ‘sommige honden bijten’, zou dus gerepresenteerd worden door twee overlappende cirkels – één cirkel voor ‘honden’, en één cirkel voor ‘bijten’. De overlap is dan dus ‘honden die bijten’. Omdat het in deze claim hier gaat om alle honden, maar om sommige honden zet je een kruisje in het overlappende stuk om aan te geven dat minimaal één hond bijt.

De A- en I-claims worden bevestigende claims genoemd, omdat ze een deel van een andere klasse insluiten. De E- en O-claims worden negatieve claims genoemd, omdat ze een deel van een klasse van een ander uitsluiten.

Omvormen

Het is belangrijk om een claim om te kunnen zetten in een standaard-vorm categorische claim die hetzelfde betekent. We zeggen dat twee claims hetzelfde zijn (‘equivalent claims’), wanneer ze allebei in precies elke situatie hetzelfde zijn. Deze omzetting moet precies gebeuren, zodat er niets aan de betekenis van de claim wordt veranderd. Voor sommige claims is dat gemakkelijk. De claim ‘Elke roos is een bloem’, kan makkelijk omgevormd worden tot een A-claim, namelijk: ‘Alle rozen zijn bloemen’. Soms is het echter lastiger om een claim om te vormen tot één van de vier standaard-vorm categorische claims. Het is daarom belangrijk om als eerst de termen vast te stellen die in een claim voorkomen.

Vuistregels

Omdat het omvormen van claims soms lastig kan zijn, kan er gebruik gemaakt worden van een aantal vuistregels:

• Alle claims van het soort ‘Alleen X-en zijn Y-en’ kunnen omgevormd worden tot ‘Alle Y-en zijn X- en’. In dit geval is er dus sprake van een A-claim.
• Alle claims van het soort ‘X-en zijn de enigen die Y-en zijn’ kunnen omgevormd worden tot ‘Alle X-en zijn Y-en’.
• Wanneer het woord ‘alleen’ wordt gebruikt in een claim, dan volgt er een predicate term van een A-claim.
• Als het zinsdeel ‘de enige’ wordt gebruikt, dan komt er waarschijnlijk de subject term van een A-claim.
• Claims waar een enkel individu in voorkomt, kunnen als een A-claim of een E-claim gezien worden. De claim ‘Aristoteles is een filosoof’ kan daarom omgevormd worden tot ‘Alle mensen die hetzelfde zijn als Aristoteles zijn filosofen’. De claim ‘Aristoteles is niet linkshandig’ wordt een E-claim: ‘Mensen die hetzelfde zijn als Aristoteles zijn niet linkshandig’.
• Claims waar veel zelfstandige naamwoorden in voorkomen en over een “soort” gaan, kunnen behandeld worden als een A-claim of een I-claim. De claim ‘Gekookte haai is te vies om te eten’ wordt dan ‘Alle voorbeelden van gekookte haaien zijn dingen die te vies zijn om te eten’. De claim ‘De meeste gekookte haaien zijn te vies om te eten’ wordt dan ‘Sommige voorbeelden van gekookte haai zijn dingen die te vies zijn om te eten.’

Wat is het vierkant van oppositie?

We zeggen dat twee categorische claims corresponderen wanneer ze dezelfde subject term en dezelfde predicate term hebben. Dus de claim ‘Alle protestanten zijn christenen’ correspondeert met ‘Sommige protestanten zijn christenen’. In beide claims is ‘protestanten’ de subject term, terwijl ‘christenen’ de predicate term is. De claim ‘Sommige christenen zijn niet protestants’ correspondeert niet met de bovenstaande twee claims, omdat de plaatsen van de subject term en de predicate term verwisseld zijn in deze claim. Logische verbanden tussen A-, E-, I-, en O-claims kunnen uiteengezet worden in een figuur: het vierkant van oppositie (‘square of opposition’ zie blz. 263).

• A-claims en E-claims worden ‘contrary claims’ genoemd, omdat ze allebei onwaar kunnen zijn, maar niet allebei waar kunnen zijn.
• I-claims en O-claims worden ‘subcontrary claims’ genoemd, omdat ze allebei waar kunnen zijn, maar niet allebei onwaar kunnen zijn.
• De A- en de O-claims en de E- en I-claims worden samen ‘contradictory claims’ genoemd, omdat ze nooit allemaal (even) waar kunnen zijn, en dus tegenstrijdig moeten zijn.

Met behulp van het vierkant van oppositie kunnen we de waarheidswaarden van de claims vaak aflezen. Er zit hier wel een aantal beperkingen aan vast:

• Wanneer de A- en/of E-claim waar is(zijn), of wanneer de I en/of O-claim onwaar is(zijn), kunnen we de waarheidswaarden van de overgebleven claims afleiden.
• Wanneer de A- en/of E-claim onwaar is(zijn), of wanneer de I-en/of O-claim waar is(zijn), kunnen we alleen de waarheidswaarde van de ‘contradictory claim’ bepalen.

Welke categorische uitvoeringen kunnen gedaan worden?

1. Omzetten (‘conversion’)

Het omzetten (‘converse’) van een standaard-vorm categorische claim kan gedaan worden door de positie van de subject term en de predicate term om te draaien. Alleen de E- en I-claims bevatten dezelfde informatie als hun omzettingen. Daarom is de conclusie: Alleen E- en I-claims, maar niet de A- en O-claims, zijn gelijk aan hun conversen. Schematisch gezien; P = Q, Q = P

Voorbeelden zijn:

• E-claim: ‘ Geen Chinezen zijn Afrikanen’ en ‘Geen Afrikanen zijn Chinezen’. Deze claims zijn dus gelijk aan elkaar.
• I-claim: ‘Sommige hoofdsteden zijn grote steden’ en ‘Sommige grote steden zijn hoofdsteden’.

2. Omdraaien – (‘obversion’)

Naast omzetten is obversion een tweede categorische uitvoering. Voordat dit concept uitgelegd wordt, moeten eerst twee andere concepten begrepen worden:

• Universe of discourse: de claims die we maken zijn context gebonden. Wanneer een docent de klas binnenloopt en zegt dat iedereen is geslaagd, dan weten studenten dat het niet gaat om iedereen in de hele wereld, maar om mensen in de klas zelf. De context van de claimbepaald in principe dus de populatie van de claim.
• Complementary class: voor elke categorie binnen een universe of discourse is er een complementaire categorie, bijvoorbeeld ‘studenten’ en ‘niet-studenten’. Dit worden complementaire termen genoemd. Vaak is dit simpel genoeg te doen door ergense ‘niet-’ voor te plakken, hoewel er in een enkel geval specifieke woorden voor zijn.

Het omgekeerde (‘obverse’) van een claim vinden, kan op twee manieren: (1) verander een affirmatieve claim in een negatieve claim of omgekeerd, dus maak van een A-claim een E-claim of maak van een O-claim een I-claim en (2) vervang de predicate term met de complementaire term.

Schematisch gezien; ~P = Q, P = ~Q

Voorbeeld:

• E-claim: ‘Geen vissen zijn zoogdieren’ verandert in A-claim: ‘Alle vissen zijn geen zoogdieren’.

Alle categorische claims, of ze nou horen in de A-, E-, I- of O- categorie, zijn gelijk aan hun tegenovergestelde vorm.

3. Omwisselen (‘contraposition’)

Een derde categorische uitvoering wordt contrapositie genoemd. Om de contrapositie van een categorische claim te vinden, moet (1) de subject term op de plaats van de predicate term gezet worden, terwijl de predicate term op de plaats van de subject term komt te staan. Daarnaast (2) moeten beide termen worden vervangen door complementaire termen. Schematisch gezien; P = Q, ~P = ~Q

Voorbeeld;

• A-claim: ‘Alle Arabieren zijn moslims’. Wanneer contrapositie wordt toegepast, wordt dat ‘Alle niet-moslims zijn geen Arabieren’.
• O-claim: ‘Sommige burgers zijn geen stemmers’. Wanneer contrapositie wordt toegepast, wordt dat ‘Sommige niet-stemmers zijn geen niet-burgers’.

Alleen A- en O-claims zijn gelijk aan hun contrapositie.

Wat zijn categorische syllogismen?

Een syllogisme is een deductief argument dat uit twee premissen bestaat. Een categorisch syllogisme is een syllogisme dat bestaat uit standaard-vorm categorische claims, waarbij drie termen van elke claim precies twee keer moeten voorkomen in twee van de claims.

Een voorbeeld:

1. 1. Alle Amerikanen zijn consumenten.
   2. Sommige consumenten zijn geen Democraten.
   3. Daarom zijn sommige Amerikanen geen Democraten.

Alle termen (‘Amerikanen’, ‘consumenten’ en ‘Democraten’) komen precies twee keer voor in twee verschillende claims.

De termen van een syllogisme krijgen de volgende label:

• Major term (P): de term die als predicate term voorkomt in de conclusie van een syllogisme. In het voorbeeld is dit ‘democraten’
• Minor term (S): de term die als subject term voorkomt in de conclusie van een syllogisme. In het voorbeeld is dit ‘Amerikanen’
• Middle term (M): de term die voorkomt in beide premissen, maar niet in de conclusie. In het voorbeeld is dit ‘consumenten’

Wanneer S en P worden verbonden door middel van M, dan is een argument valide. Een argument wordt valide genoemd als het niet mogelijk is voor de premissen om waar te zijn, terwijl de conclusie onwaar is. Met een Venndiagram kan uitgezocht worden wat de relatie tussen S, P en M is zodat gezien kan worden of een argument valide is (zie voor uitleg en voorbeelden ‘The Venn diagram method of testing for validity’ blz. 274 en 275).

Een Venndiagram bestaat uit drie cirkels: links staat de minor term, rechts staat de major term en daaronder in het midden staat de middle term. Wanneer één van de premissen een I- of O-premisse is, kan er verwarring ontstaan over waar de “X” geplaatst moet worden. Met behulp van de volgende regels kan er soms een beslissing gemaakt worden:

• Wanneer één premisse een A- of E-premisse is, en de ander een I- of O-premisse, moet eerst de A- of E-premisse in het diagram geplaatst worden. Het is dan gelijk duidelijk waar de “X” in het diagram hoort te komen.
• Een “X” die in twee ‘gebieden’ geplaatst kan worden, komt op de lijn die de twee gebieden van elkaar scheidt te staan.
• Wanneer beide premissen een A- of E-claim zijn, en de conclusie een I- of O-claim, kan het plaatsen van de premissen in de diagrammen geen conclusie opleveren. Dit is omdat de A- en E-claims gekleurde gebieden opleveren, en I- en O-claims een “X” nodig hebben die uit het diagram afgelezen kan worden. Dit wordt als volgt opgelost: wanneer een cirkel één ongekleurd gebied heeft, moet de “X” daar geplaatst worden.

Categorische syllogismen kunnen ook verborgen zijn in onuitgesproken premissen. Het is dan belangrijk om de onuitgesproken premissen te benoemen en stap voor stap de categorische syllogismen uit te schrijven.

Hoe kan validiteit getest worden?

Naast het uittekenen van een Venndiagram is er een makkelijkere methode om de validiteit te testen. Deze methode is gebaseerd op drie simpele regels (zie hieronder). Deze regels zijn gebaseerd op twee concepten: (1) affirmatieve en negatieve categorische claims en (2) het concept van distributie. Er is sprake van distributie wanneer een claim iets zegt over elk lid van een categorie. Er is geen sprake van distributie wanneer een claim niet over elk lid van een categorie iets zegt.

Een syllogisme is valide als wordt voldaan aan de onderstaande drie regels:

• Het aantal negatieve claims in de premissen moet hetzelfde zijn als het aantal negatieve claims in de conclusie.
• Minstens één claim moet de distributie vormen van de ‘middle term’ (M).
• Een term die gedistribueerd is in de conclusie van een syllogisme moet ook gedistribueerd zijn in de premissen.

Voorbeeld: (1) ‘Alle leerlingen zijn mensen’, (2) ‘Sommige mensen zijn geen werknemers’. Conclusie: (3) ‘Sommige leerlingen zijn geen werknemers’. De term ‘mensen’ is de M en is niet gedistribueerd in beide premissen. De eerste premisse is een A-claim en is niet gedistribueerd qua predicate term en de tweede premisse (een O-claim) is niet gedistribueerd qua subject term. Dit syllogisme voldoet dus niet aan de criteria van regel twee. Dit betekent dat dit argument niet valide is.

Oefenvragen

Vraag 1

Wat zijn categoriale beweringen? Welke vier hoofdtypen kun je onderscheiden? Geef van elk een voorbeeld.

Vraag 2

Wat is een syllogisme? Wat zijn de belangrijkste begrippen die hierbij voorkomen. Waarom zijn ze belangrijk voor de wetenschap.

Vraag 3

Welke vier claims bestaan er?

Vraag 4

Door middel van welk model kunnen deze claims worden beschreven?

Vraag 5

Wat houdt het ‘vierkant van oppositie’ in?

Vraag 6

Noem drie categorische technieken die kunnen worden gebruikt om een claim om te vormen.

Vraag 7

Wat zijn categorische syllogismen?

Antwoorden

Vraag 1

Categoriale beweringen zijn beweringen die iets zeggen over de groep (categorie) van bepaalde zaken.

Categoriale beweringen zijn statements over een bepaalde categorie. De vier hoofdtypen zijn Algemene Wetten Bevestigend (A), Algemene Wetten Ontkennend (E), Observaties Bevestigend (I) en Observaties Ontkennend (O).

Voorbeelden:

A: Alle metalen zijn geleiders. E: Geen plastics zijn geleiders. I: Sommige metalen zijn geleiders. O: Sommige metalen zijn geen geleiders.

Vraag 2

Een syllogisme is een deductief argument dat afgeleid wordt uit twee premissen.

De belangrijkste termen zijn:

• Major term: de term die dient als de predicatie term voor de conclusie van het syllogisme, deze wordt aangeduid met de letter P.
• Minor term: de term die dient als subject term van de conclusie van het syllogisme, wordt aangeduid met de letter S.
• De middelterm: de term die voorkomt in beide premissen maar niet in de conclusie, wordt aangeduid met de letter M.

Syllogismen zijn belangrijk voor de wetenschap omdat je met syllogismen uit twee argumenten die waar zijn een conclusie kan trekken die waar is. Zo kun je dus checken of een argument valide is.

Een voorbeeld:

Alle Nederlanders zijn consumenten

Sommige consumenten zijn geen VVD'ers

Sommige Nederlanders zijn geen VVD'ers (conclusie)

• Geen VVD'ers = P
• Nederlanders = S
• Consumenten = M

Vraag 3

Er bestaan vier soorten claims: A- (‘alle…zijn…’),, I- (‘sommige…zijn…’), E- (‘geen…zijn…’), en O- (‘sommige…zijn niet…’) claims.

Vraag 4

Deze claims kunnen worden beschreven door middel van Venndiagrammen.

Vraag 5

Het vierkant van oppositie laat de relaties zien tussen verschillende soorten claims.

Vraag 6

Drie categorische technieken gebruikt kunnen worden om claims om te vormen zijn: conversie, obversie en contrapositie.

Vraag 7

Categorische syllogismen zijn gestandaardiseerde deductieve argumenten.