Leer- en onderwijsproblemen - College 13

“Is woordenschat een betere voorspeller voor begrijpendlezen, dan taalstatus?”

De groepen L2 doen het slechter dan de groep L1. Maar de L2 groepen hebben een hogere stijging tussen T2 en T3 dan de groep L1. De woordenschat profielen laten beter de individuele groei zien.

Algemene definitie van gecijferdheid:

              Gecijferdheid is het vermogen van een individu om zich zelfstandig en adequaat te redden in situaties in de maatschappij waarin getallen, patronen en structuren een rol spelen.

Uit: Hoogland, Kees en Marja Meeder, Gecijferdheid in beeld. APS, Utrecht, 2007

Protocol ERWD: functionele gecijferdheid

Iemand die gecijferd is, kan:

• Rekenstrategieën gebruiken (kent de rekenregels en kan ermee omgaan)
• Kiezen uit rekenmanieren (weet wanneer je uit het hoofd, op papier of met de rekenmachine moet rekenen, weet wanneer schattend kan en wanneer het precies moet)
• Omgaan met de rekenmachine (vooraf uitkomst schatten, achteraf uitkomst controleren)

Definitie

Rekenen is een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe is te kwantificeren en die toelaat om er logische operaties op uit te voeren dan wel uit af te leiden (Ruijssenaars, 1992; Ruijssenaars, Van Luit & Van Lieshout, 2004).

Domeinen rekenontwikkeling

• Getallen en bewerkingen (G&B)
• Verhoudingen (V)
• Meten en meetkunde (MM)
• Informatieverwerking (IV)

(Protocol Ernstige Reken Wiskundeproblemen en Dyscalculie, 2011)

Soorten Kennis (Danhof et al., 2012)

• Declaratieve kennis (feitenkennis): je moet weten wat het cijfer 7 inhoudt
• Procedurele kennis (stappenkennis): je moet weten wat je moet doen om 21/7 te doen
• Metacognitieve kennis (reflecteren op kennis): reflecteren op je eigen rekenen

Rekenfeiten

• Termen: teller, noemer, quotiënt
• Symbolen: 3 % > ~ ≠χ2
• Notaties: 1+ (5 x 6)(1 + 5) x 6
• Uitkomsten: 12 x 12
• Afspraaksystemen: 1, 2, 3, … ; 346
• Formules: a2+ b2= c2 )
• Automatisering rekenfeiten is nodig
• Procedures goed uitvoeren

Vóór basisschool – ontluikende gecijferdheid:

Een proces waarbij kinderen grotendeels op eigenkracht geleidelijk meer besef krijgen van verschillende betekenis en gebruiksaanwijzing van getallen, en de samenhang daartussen.

Telontwikkeling

• tellen via herkennen (vanaf 2½ jaar)
• akoestisch tellen (vanaf 3½ jaar)
• asynchroon tellen (vanaf 4 jaar) verschillende getallen na elkaar noemen
• ordenend tellen (vanaf 4½ jaar) hoeveelheden structureren
• resultatief tellen (vanaf 5 jaar) structuur aanbrengen in het tellen
• verkort tellen (vanaf 5½ jaar) tellen met sprongen van 2

Groep 1-2

• G&B Getallen tot 20 kennen, automatisch hoeveelheden herkennen, telrij tot 10 in erbij- en erafsommen benutten.
• V: Begrippen: meer/minder, dubbel, de helft
• MM: Eerste kennismaking met maten, construeren, ruimtelijke begrippen
• Algemene voorwaarde: concentratie

Groep 3

Doel getallen (en operaties):

• G&B:
  • Kinderen kunnen de telrij tot 20 kunnen opzeggen en vanaf ieder getal daaronder kunnen door- en terugtellen.
  • Getallen kunnen ‘contextualiseren’, door ze een reële betekenis te kunnen geven.
  • Getallen tot 20 plaatsen op de lege getallenlijn
  • Optellingen en aftrekkingen tot 20 vlot en mentaal kunnen uitrekenen
• V: Dubbelen van vijf- vijf tien

Telontwikkeling

• Van tellend naar niet tellen (7+3 mag eerst tellend, stapjes van 1. Maar op een gegeven moment moet dat uit het hoofd kunnen)
• Van structurerend rekenen naar mentaal rekenen (automatisch weten welke oplossing hoort bij bepaalde rekensommen)

Groep 4

• G&B:
  • De telrij tot 100 kunnen opzeggen en daarbinnen vanaf ieder getal kunnen door- en terugtellen, zowel in enen als in tienen.
  • Getallen positioneren op de lege getallenlijn
  • Structureren in tientallen en eenheden
  • Contextualiseren in zinvolle situaties (Is het normaal 30 taarten te eten? Is het normaal dat een shirt €100 kost?)
  • Naast optellen en aftrekken ook vermenigvuldigen en delen
  • Optellingen en aftrekkingen tot 10 gememoriseerd.

Meten/meetkunde: tijd, geld, klokkijken

Groep 5-8

Doelen getallen en operaties

• G&B: Grotere getallen, komma’s, breuken, rekenmachine
• MM: Decimale stelsel
• V: combineren van bewerkingen (hoe vermedigvuldigen en optellen combineren)
• Ook informatieverwerking
• Elementaire gecijferdheid
• Voorbereiding voortgezet onderwijs

Rekendomeinen

• Getallen (en bewerkingen)
  • Getalbegrip
  • Bewerkingen met getallen (+ / - / x / :)
  • Nadruk op hoofdrekenen

Voorbeeld (groep 1 t/m 4):

• Begrip van getallen vormt de basis voor het leren rekenen. Daarom wordt aan dit gebied in de loop van groep 1 t/m 4 intensief aandacht besteed.
  • Elementair getalbegrip en resultatief tellen (gr. 1/2);
  • Getallen tot 20 (gr. 3);
  • Getallen tot 100 (gr. 4).

• Verhoudingen
  • Omvat veel toepassingsproblemen uit het dagelijks leven
  • Verhoudingentaal (“1 op de 10 Nederlanders”)
  • Breukentaal (“driekwart van de inwoners”)
  • Procenten (70 % van de mensen…)

Voorbeeld(groep 6/7):

• • Een stuk regenpijp van 4 m kost €20,-. Wat moet een stuk van 3 m kosten?
  • Wat kost een stuk kaas van 400 g als de kiloprijs €16,- is?
• Meten / Meetkunde
  
  • Tijd & geld
  • Lengte – oppervlakte – metriek maatstelsel (decimalen)
  • Ruimtelijke oriëntatie
  • Vormen en figuren (cilinder / cirkel / vierkant / hexagon)

Voorbeeld:

• • “Hoeveel stappen is het van hier tot de zandbak? En tot ...? ”
  • Wat is de oppervlakte van het klaslokaal?
• Verbanden / informatieverwerking
  
  • omgaan met tabellen, grafieken, formules en vuistregels.

Voorbeeld:

• • grafieken schetsen op basis van een beschrijving in woorden of tekenen op basis van een gegevenstabel.
  • een gegevenstabel maken op basis van een beschrijving in woorden of een grafiek.

Gecijferdheid

• Schatten:

              a. schatten van berekeningen (ongeveer rekenen, kan ik 4 stokbroden van 2,45 euro per stuk voor een tientje kopen?)

              b. Schatten van afmetingen met behulp van referentiematen (hoe ver is het lopen naar de sporthal?)

• Mathematiseren (som uit de context halen) verhaaltjessommen
• Uitkomsten beoordelen (kan dit er inderdaad uitkomen? Past dat in deze situatie?)
• Getallen kritisch beschouwen (is dit getal onzin of kan het kloppen?) Is het veel of weinig
• Vormen en patronen herkennen (met welk blokje kan ik een rol tapijt tegenhouden?)
• Zich oriënteren in de ruimte (Kaart lezen)
• Meten en meetresultaten interpreteren en gebruiken (hoeveel behang moet ik kopen voor deze kamer?)

Cognitieve elementen van rekenontwikkeling

Terug naar ontluikende gecijferdheid

Een proces waarbij de kinderen grotendeels op eigen kracht geleidelijk meer besef krijgen van verschillende betekenissen en gebruikswijzen van getallen, en de samenhang daar tussen.

(TAL, 1998, p. 9)

Number sense (getalbegrip)

Number sense (Dehaene, 2001): Het vermogen om numerieke hoeveelheden te verwerken, begrijpen en te schatten. NS vormt de basis voor het latere rekenen (zie ook Gersten et al., 2005; Moeller et al., 2012).

Ontwikkeling getalbegrip

Kolkman et al. 2013

Non symbolic: hoeveelheden (berg knikkers, stapel papier)

Symbolic (cijfer representatie van hoeveelheid)

Mapping (hoe die twee verbonden zijn)

Triple Code Model

Arabiesche code: het schrijven van het getal (de symbolen)

Analoge code: representatie van hoeveelheid, bij benadering weten hoeveel iets is

Verbale code: hardop kunnen tellen, (geautomatisernde) sommen opnoemen

Getallenlijn

Basisvaardigheden

Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen

• Begrip, strategiegebruik

Voorbeeld optellen (3 + 5):

•Counting all – sum procedure (tellen van 1-8)

•Counting on from first – max procedure (tellen vanaf drie)

•Counting on from larger – min procedure (tellen vanaf vijf)

•Handige strategie – decomposition (snappen uit welke delen een getal bestaat: 362 (300 – 60 – 2)

•Rekenfeiten (uit het hoofd) - retrieval

Strategiegebruik vermenigvuldigen: (van der Ven et al., 2012)

Tellen

Herhaald optellen

Handige strategie: Derived facts

Direct retrieval

Definitie – theoretische achtergrond

Werkgeheugen van Baddeley & Hitch

Informatieverwerkingstheorie.

Eerst komt het in het korte termijn geheugen, het werkgeheugen moet hier iets mee doen. Het werkgeheugen bestaat uit: visuospacieel schetsblok (visueel-ruimtelijke informatie), fonologische lus (auditieve informatie) en de episodische buffer (belangrijke rol van integreren informatie korte en lange termijn geheugen. Het centrale executieve stuurt dit aan.

Executieve functies en rekenen

• Executieve functies spelen een rol bij het rekenen, vooral tijdens het leerproces
• Elke executieve functie speelt een andere rol, o.a.:
• Inhibitie:

•Onderdrukken van een ‘oude’ strategie (bijvoorbeeld op vingers tellen)

• Shifting:

•Kunnen wisselen tussen strategieën (eerst moeten delen, en vervolgens vermedigvuldigen

•Stappenplan kunnen maken

• Updating:

•Vasthouden (werkgeheugen) en op het juiste moment ophalen van deeloplossingen

Van der Ven et al. (2012)

• Updating à strategiekeuze en aantal goed
• Conclusie
• kinderen met beter werkgeheugen gebruiken meer geavanceerde strategieën – die dus minder werkgeheugen vereisen
• Kinderen met beperkt werkgeheugen gebruiken strategieën waar ze juist meer werkgeheugen voor nodig hebben à meer kans op fouten

Parallel met lezen?

• Welke overeenkomsten en verschillen zie je in de cognitieve voorwaarden tussen rekenen en lezen?
• Fonologisch bewustzijn: het helpt als je symbolische cijfers kan koppelen aan een klank
• Snel benoemen: informatie automatisch kunnen ophalen uit het geheugen

Voorwaarden voor rekenontwikkeling

Cognitief: (informatieverwerkingstheorie)

• Number sense
• Werkgeheugen
• Fonologisch bewustzijn
• Snel benoemen

Sociaal-emotioneel

• Motivatie
• Competentiebeleving (zelfvertrouwen

Onderwijs! > daarover meer volgend college

Samengevat

• Vier domeinen:
  • Getallen en bewerkingen (G&B)
  • Verhoudingen (V)
  • Meten en meetkunde (MM)
  • Informatieverwerking (IV)
• Declaratieve en procedurele kennis
• Getalbegrip/Number Sense
• Triple Code Model
• Informatieverwerkingstheorie