Hoofdstuk 1: Inleiding Multivariate analyse

Dit boek gaat over multivariate analyse. Bij deze analyse wordt gekeken naar meerdere (‘multi’) variabelen (‘variate’) tegelijk. Multivariate methoden worden veel gebruikt in sociaalwetenschappelijk onderzoek om bepaalde fenomenen te verklaren. Hierbij is het vaak van belang om meerdere factoren mee te nemen in de verklaring ervan. Bij de verklaring van bijvoorbeeld gewelddadig gedrag volsta je niet als je alleen leeftijd als factor meeneemt. Zo zou je ook rekening moeten houden met geslacht, sociale achtergrond enzovoort.

Om onderzoek te kunnen doen heb je gereedschap nodig zoals methoden en technieken. Deze stellen je in staat een onderzoek gedegen uit te voeren. Voor het kunnen beantwoorden van onderzoeksvragen is statistische analyse van belang met betrekking tot bijvoorbeeld de voorspellingswaarde van een onderzoek. Het stelt ons in staat te beoordelen of een bepaalde theorie ook in de werkelijkheid van toepassing is. Dit boek doet een poging inkijk te geven in de manieren waarop analyse aangepakt kan worden.

Er wordt veel gebruik gemaakt van criminologische voorbeelden in dit boek, dit komt voornamelijk omdat de eerste auteur een criminologische achtergrond heeft. De inhoud van de technieken en methoden zijn echter veel breder toepasbaar dan alleen de criminologische wetenschap. Voor de criminologische wetenschap in het bijzonder zijn er natuurlijk wel verschillen qua inhoud en problemen met andere vormen van wetenschap. Er bestaan drie specifieke criminologische problemen wat betreft statistische analyse. Allereerst is de populatie niet bekend en deze populatie wil liever ook niet onderzocht worden. De criminelen houden hun daden het liefst verborgen. Hierdoor wordt er in de criminologie meer gebruik gemaakt van kwalitatief onderzoek, waardoor de onderzoekers meer te weten kunnen komen over het gedrag van criminelen. Ten tweede zijn niet alle criminelen bekend. Het is moeilijk een representatief onderzoek te doen omdat veel criminelen niet gepakt worden en zelfs bepaalde daden niet geregistreerd worden. Als laatste zijn veel gegevens scheef verdeeld. De ene misdaad verschilt veel van de ander en de ene crimineel is de andere niet. Sommige criminelen plegen in hun leven maar één bekend delict terwijl anderen recidiveren. Dit betekent dat er veel uitschieters zijn aan alle kanten indien er statistisch onderzoek gedaan moet worden wat de analyse bemoeilijkt.

Multivariate technieken voor analyse zijn ingewikkelder dan univariate en bivariate varianten. Univariate technieken worden gebruikt om te kijken naar één variabele, bijvoorbeeld: Hoe veel moorden worden er gepleegd in Nederland? Bivariate technieken worden gebruikt om het verband tussen twee variabelen te onderzoeken, bijvoorbeeld: Het verband tussen haarlengte en lichaamslengte. Multivariate technieken worden gebruikt bij het verklaren van het verband tussen drie of meer variabelen.

Kenmerken van multivariate analyse

Multivariate analyse heeft een aantal kenmerken, die bepalen wat voor soort methode van multivariate analyse er gebruikt dient te worden. Deze kenmerken kunnen eigenschappen van de gegevens zelf zijn (bijvoorbeeld meetniveau of verdeling) of kunnen kenmerken van de vraagstelling zijn (willen we kijken naar samenhang of willen we voorspellen?).

Kwalitatieve of kwantitatieve analyse: de multivariate analyse zoals in dit boek gedefinieerd is over het algemeen een kwantitatieve analyse waarbij gerekend wordt met statistieken. Er bestaat echter ook een manier om een kwalitatieve multivariate analyse te doen.

Toetsende of explorerende analyse: als er hypotheses getoetst moeten worden dan is een toetsende analyse geboden. Is er een uitspraak die geverifieerd moet worden, dan is er sprake van een toetsende analyse. Wil je slechts de data verkennen, dan kan er met een exploratieve analyse worden volstaan. De exploratieve analyse geeft een meer statische uitspraak, terwijl er bij toetsende analyse een sluitend antwoord op de hypothese gegeven dient te worden.

Datareductie versus modeltoetsing: bij multivariate analyse worden verschillende manieren gebruikt om grote aantallen gegevens terug te brengen tot een kleiner aantal. Dit wordt datareductie genoemd. Zo kan men 100 variabelen nemen en die bundelen om er beter mee te kunnen rekenen, combivariabelen. Als men geïnteresseerd is in de relaties van variabelen onderling, dan wordt er gebruik gemaakt van modeltoetsing. Hier wordt meer een onderzoeksrichting veronderstelt.

Hoog en laag meetniveau: meetniveaus kunnen verschillen in verklaringskracht, het ene meetniveau geeft slechts een label terwijl een ander meetniveau het daadwerkelijke aantal van variabelen kan weergeven.

Voorspelling en samenhang, symmetrisch en asymmetrisch: bij voorspellend onderzoek wordt er gekeken in hoeverre het ene leidt tot het andere. Dit is asymmetrisch onderzoek, omdat de rol van de ene variabele anders is dan de andere. Het tegenovergestelde hiervan is symmetrisch onderzoek, onderzoek naar samenhang. Hier hebben beide variabelen dezelfde rol en zijn dus gelijkwaardig, ze worden namelijk met elkaar vergeleken.

Hoofdstuk 2: Inleiding in de methodologie

Meetniveaus

Er zijn verschillende manieren waarop er gerekend kan worden met variabelen. De variabelen kunnen labels zijn, maar ook daadwerkelijke getallen. De verschillende meetniveaus zijn belangrijk omdat ze bepalen met wat voor methoden een bepaalde uitkomst berekend dienen te worden.

1. Nominaal meetniveau: dit zijn labels, ze geven bepaalde variabelen een naam. Bij de variabelen man en vrouw wordt de man benoemd als label 1 en de vrouw als label 2. Belangrijk hierbij is dat de variabelen niet geordend zijn. Een ander voorbeeld is religie.

2. Ordinaal meetniveau: dit meetniveau lijkt op het nominaal meetniveau met het verschil dat er een rangorde is tussen de verschillende getallen. Een voorbeeld: als er een vraag is in een enquête die beantwoord moet worden met een schaal van 1 tot 5 waar 1 zeer tevreden en 5 zeer ontevreden betekent. Er kan sprake zijn van een transformatie: het veranderen van de getallen, met als eis dat de ordening van de getallen hetzelfde blijft.

3. Interval meetniveau: bij dit meetniveau is er ook sprake van rangschikking, hier hebben de verschillen tussen getallen echter een vaste betekenis. Neem bijvoorbeeld het meten van temperatuur, de graden geven een vaste waarde aan, indien het 30 graden is is het twee keer zo warm indien het 15 graden is. Dit in tegenstelling tot het ordinaal niveau waar er alleen sprake is van een rangschikking. De toegestane transformatie is lineair: f (x) = a + bx

4. Ratio meetniveau: hier ligt nog meer informatie in de metingen besloten, er is sprake van een vast nulpunt. Indien een boek twee keer zo duur is als een tijdschrift geldt dat voor alle munteenheden. De toegestane transformatie is: f (x) = ax.

5. Absoluut meetniveau: alle informatie die gegeven is ligt vast. Als de respondent 7 delicten pleegt betekent dat ook dat die 7 delicten aangegeven worden. De toegestane tranformatie is: f (x) = x.

Afhankelijke en onafhankelijke variabelen

De afhankelijke variabele is de variabele die verklaard wordt aan de hand van een andere variabele. De afhankelijke variabele zouden we het gevolg kunnen noemen en de onafhankelijke variabele de oorzaak. Als we willen weten in hoeverre agressief gedrag voortkomt uit impulsiviteit bestaat er de volgende indeling: impulsiviteit is de onafhankelijke variabele, agressief gedrag de afhankelijke, die willen we immers verklaren.

Modellen

We maken veel gebruik van modellen bij wetenschappelijk onderzoek. Modellen zijn versimpelde weergaven van de werkelijkheid aan de hand waarvan situaties onderzocht kunnen worden. Het model moet onafhankelijk zijn, makkelijker waarneembaar zijn en overeenkomen met de werkelijkheid. De mate waarin het model bij de werkelijkheid past noemt men de ‘model fit’. Men moet wel uitkijken voor modelmisspecificatie, dit is het geval indien het model geen rekening houdt met belangrijke variabelen waardoor het geval ten onrechte ‘fit’ lijkt.

Operationalisatie

Op het moment dat we onderzoek willen doen zal duidelijk moeten worden gespecificeerd wat de onderzochte begrippen daadwerkelijk zijn. Er moet een conceptuele definitie van de gebruikte begrippen gegeven worden om het onderzoek uit te kunnen voeren. Indien er onderzoek gedaan wordt naar bijvoorbeeld intelligentie zal heel duidelijk geoperationaliseerd moeten worden waar het eigenlijk om gaat. Of het bijvoorbeeld om emotionele intelligentie gaat en of er bijvoorbeeld naar het IQ gekeken wordt.

Nadat de begrippen gedefinieerd zijn zal er aandacht besteed moeten worden aan hoe deze begrippen gemeten zullen worden. Het onderzoek zal in de operationalisatie duidelijk inzichtelijk maken wat er nou daadwerkelijk onderzocht wordt en hoe het zal geschieden. Indien de onderzoeker niet in staat meer is om het onderzoek af te ronden kan iemand anders aan de hand van de operationalisatie de draad op pikken.

Hoofdstuk 3: Enkele univariate en bivariate technieken

Als er statistisch onderzoek gedaan wordt is het handig om de resultaten compact weer te kunnen geven. Indien er bijvoorbeeld 100 respondenten onderzocht zijn is het niet handig die in één grote tabel te zetten, daarom hebben we spreidingsmaten en maten van centrale tendentie.

Maten van centrale tendentie; gemiddelde, mediaan en modus

Het gemiddelde is een veel gebruikte maat voor centrale tendentie, dit berekenen we door de som van alle waarnemingen te delen door het aantal waarnemingen. Dit is echter niet genoeg om een goede indruk te krijgen van de populatie daar er extreme waarden kunnen zijn die voor het gemiddelde een vertekend beeld opleveren. Daarom hebben we de mediaan, dit is het getal waarvan 50% van de waarnemingen boven en onder zitten. Het is het middelste getal in de oplopende rij van waarnemingen, deze is dus ongevoelig voor extreme waarden. Als laatste hebben we de modus, dit is het getal dat het meest voorkomt in de waarnemingen.

Maten voor spreiding; variantie en standaarddeviatie

Om aan te geven hoeveel getallen van elkaar verschillen hebben we drie maten. Eerst is er de range, die geeft aan tot hoe ver de waarnemingen strekken. In een reeks 18-2-4-5-16 is de range dus van 2 t/m 18. Soms om het beeld tegen vertekening te beschermen wordt het eerste en laatste getal weggelaten, hetgeen dus zou betekenen hier dat de range 4 t/m 16 zou zijn. Variantie () is de gemiddelde som van de gekwadrateerde afwijkingen van de individuele scores van het gemiddelde. De schaal van de oorspronkelijke metingen kan hierdoor echter door het kwadrateren zoek zijn. Daarom hebben we de standaarddeviatie (s). De standaarddeviatie is de wortel van de variantie.

Steekproeven en populaties

In het doen van onderzoek wordt vaak gebruik gemaakt van een steekproef. Zo`n steekproef is een afspiegeling van een groter geheel, de populatie. Als ieder lid uit de populatie een even grote kans heeft om in de steekproef terecht te komen, dan noemen we de steekproef representatief voor de populatie; de resultaten van het onderzoek mogen dan gegeneraliseerd worden naar de betreffende populatie. De leden uit de populatie zijn gekozen via een toevalssteekproef. Hierdoor bestaan er geen systematische verschillen (bias) meer tussen de populatie en de steekproef, maar er kunnen wel nog steeds gemiddelde verschillen bestaan. Men moet bij een steekproef wel oppassen voor uitval; leden uit een populatie die om een bepaalde reden worden overgeslagen.

Onzekerheid bij het toetsen

Het kan voorkomen dat het gevonden resultaat toevallig is. Omdat de steekproef op grond van toeval is getrokken bestaat er nog steeds enige onzekerheid over de conclusies; er is namelijk niet gekeken naar de gehele populatie maar naar een deel daarvan. Om deze onzekerheid te voorkomen wordt er getoetst. Bij het toetsen wordt gebruik gemaakt van de en de hypothese. De hypothese is de nulhypothese die zegt dat er niks aan de hand is, de hypothese is de alternatieve hypothese. Is de kans heel klein dat de nulhypothese waar is, dan wordt de verworpen en de aangenomen. De bevinding is significant als de kans op het resultaat onder de grenswaarde ligt. Deze grenswaarde is meestal 5%.

De kans bestaat dat de geaccepteerd wordt terwijl de waar is. Dit wordt ook wel een type I fout genoemd. De kans hierop wordt aangeduid met α. Ook kan het gebeuren dat er iets aan de hand is, maar dat het niet ontdekt wordt. Dit wordt een type II fout genoemd; het verwerpen van de terwijl de waar is. Deze kans wordt aangeduid met β.

Er zitten een aantal nadelen aan het gebruik maken van toetsen. Allereerst wordt de kans op een type II fout groter bij een kleinere steekproef. Het is dus belangrijk dat de N (het aantal personen) zo groot mogelijk is. Ten tweede kan het ook zo zijn dat een bestaande samenhang verdwijnt in de ruis van de data. Als laatste kan het zo zijn dat de gegevens niet normaal verdeeld zijn, terwijl dat wel wordt aangenomen.

De steekproef mag dus niet te klein zijn, maar ook niet te groot. Wordt een steekproef namelijk te groot, dan is elke bevinding significant, waardoor het zijn waarde verliest. Dit hangt samen met een te kleine correlatiecoëfficiënt en wordt praktische significantie genoemd.

Schatten en betrouwbaarheidsintervallen

Het gemiddelde in een steekproef is niet hetzelfde als het gemiddelde van een populatie, dit wordt een schatting genoemd. Deze schatting van de populatie wordt ook wel de puntschatting van µ genoemd. In de multivariate analyse wordt gebruik gemaakt van een Griekse letter als het gaat om eigenschappen van een populatie, en een Latijnse letter als het gaat om eigenschappen van een steekproef.

• Gemiddelde populatie: µ

• Variantie populatie:

• Gemiddelde steekproef: M

• Variantie steekproef:

Bij hypotheses worden dus altijd de Griekse letter gebruikt. Een betrouwbaarheidsinterval geeft de nauwkeurigheid aan van de schatting van de populatie. Hiervoor wordt vaak 95% gebruikt. Hoe breder het betrouwbaarheidsinterval, hoe meer onzekerheid er kan bestaan en andersom.

Normale verdelingen

In de statistiek wordt vaak gebruik gemaakt van standaardnormale verdelingen. Met zo`n standaardnormale verdeling kan er worden gekeken hoeveel procent van de respondenten zich binnen bepaalde waarden vindt. De metingen worden omgezet in standaardscores, die de z-scores worden genoemd. Deze z-scores kunnen zo vergeleken worden met de standaardnormale verdeling.

Om te bepalen of er sprake is van een standaardnormale verdingen kan er gebruik worden gemaakt van de Kolmogorov-Smirnov-toets.

Symmetrisch bivariate technieken

De Pearson product-momentcorrelatiecoëfficiënt is een manier om de correlatie van variabelen te berekenen. Deze toets geeft een coëfficiënt die inzichtelijk maakt in welke mate er samenhang is tussen verschillende variabelen. Deze toets kan gebruikt worden bij twee kwantitatieve variabelen die lineair te vergelijken zijn. Het meetniveau is interval of hoger. Indien de correlatiecoëfficiënt 1 bedraagt is er sprake van een perfect verband, van 0 tot 1 is er een positief verband. Andersom is -1 een perfect negatief verband en is 0 tot -1 een negatief verband. Het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt geeft aan in welke mate het coëfficiënt de correlatie verklaart. Als de relatie tussen X en Y 0,7 is verklaart deze 0,49 dus bijna 50% van de variantie van Y uit X. Indien deze waarden lager liggen dan 0,3 is er een zwak verband, indien deze boven 0,7 liggen is er sprake van een sterk verband. Nadeel van het gebruik van deze coëfficiënt is dat deze alleen bruikbaar is bij lineaire vergelijking. Een ander nadeel is de mate waarin de resultaten gevoelig zijn voor extreme waarden. Extreme waarden beïnvloeden de correlatie hetgeen afdoet aan de bruikbaarheid van deze manier van vergelijken.

Een goede manier om deze samenhang inzichtelijk te maken is het gebruik van een puntenwolk in een grafiek. We nemen bijvoorbeeld de respondent als variabele X en de score als variabele Y. In een grafiek is dan een puntenwolk te zien. Indien de punten lukraak verdeeld zijn is er geen verband, indien de punten dicht bij elkaar liggen en de vorm van een sigaar aannemen van sterk verband. Als deze ‘sigaar’ van linksonder naar rechtsboven loopt is er sprake van een sterk positief verband, als deze ‘sigaar’ zich van linksboven naar rechtsonder uitstrekt is er sprake van een sterk negatief verband. Hoe breder de ‘sigaar’ is, hoe minder sterk het verband is. Sterkte wordt dus bepaald door de mate waarin de punten bij elkaar liggen.

Voor variabelen die van ordinaal meetniveau zijn gebruiken we de Spearman’s rho. Welke methoden gebruikt kunnen worden ter berekening van correlatie tussen variabelen staan overzichtelijk in de keuzeboom voor statistisch onderzoek.

Bij de analyse van een correlatie van twee nominale variabelen wordt er vaak gebruik gemaakt van kruistabellen met behulp van de toets. Deze toets geeft aan of er wel of niet significant een van 0 verschillend verband is tussen variabelen. De geeft dus aan hoe groot de kans is dat de hypothese ten koste van de hypothese verworpen moet worden. Indien de waarde berekend is kan men samen met het aantal vrijheidsgraden opzoeken hoe waarschijnlijk deze waarde is onder de nulhypothese (geen verband tussen rij- en kolomvariabele).

Indien de variabelen dichotoom zijn wordt er gebruik gemaakt van de odds ratio. Dichtoom wil zeggen dat de variabele twee categorieën heeft (bijvoorbeeld ja of nee). De odds ratio geeft aan wanneer een variabele toeneemt en wat voor een risicoverhoging dat met zich meebrengt voor de verhoging van de andere variabele. Bijvoorbeeld: in hoeverre roken de kans op longkanker verhoogt. Er is sprake van een substantieel verschillend risico als de evaluatie van een odds ratio hoger is dan 2 of lager is dan 0,5. Heeft de score van longkanker ten gevolge van roken een odds ratio die hoger is dan 1, dan is de kans groot dat de persoon die op roken positief scoort ook op longkanker positief scoort.

Asymmetrische bivariate technieken

Deze methoden voorspellen de ene (afhankelijke) variabele uit de andere (onafhankelijke) variabele. Bij enkelvoudige regressie analyse gaat het om het voorspellen van een afhankelijke variabele Y uit één onafhankelijke variabele X. Daarbij moeten beide variabelen minstens van interval meetniveau zijn. Er wordt gekeken naar in hoeverre de voorspelde waarde van Y in de buurt komt bij de werkelijke waarde van Y. De regressie analyse is beter naar mate de verwachte Y en de werkelijke Y dichter bij elkaar komen. Regressie analyses worden vaak weergegeven in grafieken waar een lijn van verwachte Y wordt getrokken. De werkelijke punten van Y liggen meestal van de lijn af, het deel dat tussen de verwachte en werkelijke waarde ligt heet de voorspelfout.

Overlevingsduur-analyse

Een voorbeeld van overlevingsduuranalyse is het onderzoek doen naar recidive. Hoelang duurt het tot iemand recidiveert na behandeling A of B? De gebeurtenis die onderzocht moet worden, wordt een event genoemd. Dit soort onderzoek heeft als gevolg dat de afhankelijke variabele alleen positieve waarden aan kan nemen. Ook is er sprake van ‘censuur’, het onderzoek duurt bijvoorbeeld maar 5 jaar, na deze 5 jaar zullen dan voorkomende gevallen van recidive niet meer opgenomen worden in het onderzoek. Op het moment dat een event plaatsvindt stopt het onderzoek voor die betreffende respondent en wordt er verder gegaan met de rest. Ook als een respondent tijdens het onderzoek overlijdt is er sprake van censuur. Bij een overlevingsduuranalyse is men niet alleen geïnteresseerd in of een event plaatsvindt maar ook wanneer deze plaatsvindt.

Bij een overlevingsduuranalyse kan de overlevingskans berekend worden. Ook is het interessant om te toetsen in hoeverre verschillende groepen een event meemaken (recidiveren mannen bijvoorbeeld eerder dan vrouwen). Voor beide groepen kan dan een overlevingsduur-analyse gedaan worden. Om vervolgens hiervan de onderlinge correlatie te berekenen kan men de log-rank-toets doen, een toets die enigszins op de toets lijkt.

Variantie analyse (ANOVA)

Het doen van een t-toets voldoet voor het berekenen van verschillen indien de onafhankelijke variabele dichotoom is. Als dit niet het geval is, wordt er gebruik gemaakt van ANOVA. Deze vorm van analyse wordt gebruikt als de afhankelijke variabele van interval meetniveau is en de onafhankelijke van nominaal meetniveau.

Eerst wordt de variantie binnen en tussen de groepen bepaald. Aan de hand daarvan kunnen de groepsgemiddelden met elkaar worden vergeleken. Indien de analyse gedaan is zijn er in de analyse tabel een aantal gegevens te vinden; de door de variabelen verklaarde variantie en de door het toeval verklaarde variantie. Hieruit komt de F-waarde; een waarde die voorkomt uit de varianties en de vrijheidsgraden. Indien de F-waarde kleiner is dan 1 is het verschil tussen de variabelen niet significant, omdat dan het effect op de afhankelijke variabele door toeval is verklaard.

Hoofdstuk 6.6.1: Multipele regressie-analyse

Logistische regressie-analyse

Indien er bij regressie-analyse sprake is van een afhankelijke variabele die dichotoom is moet men deze benaderen met logistische regressie-analyse om twee redenen. Allereerst is het gewone regressiemodel additief. Stel dat 80% van de vrouwelijke respondenten en 60% van de mannelijke respondenten slaagt voor een tentamen. Van de mannen die slagen hebben 90% werkgroepen gevolgd en van de mannen die niet slagen 30%. In het additieve regressiemodel zouden we kunnen schatten dat 110% van de vrouwen die werkgroepen hebben gevolgd voor het tentamen slaagt. Dit is niet mogelijk, dus het is geen goede methode. Ten tweede liggen de kansen tussen 0 en 1, terwijl in het regressiemodel het helemaal niet vast staat dat deze tussen 0 en 1 blijven.

Ter beoordeling van het model wordt er gebruik gemaakt van een classificatietabel. In deze tabel staat hoeveel respondenten correct geclassificeerd zijn. De regressie classificeert op basis van schatting de variabelen en de tabel geeft in procenten aan in hoeverre deze classificatie van nut is. Naast deze tabel geeft ook de Nagelkerke R² een indicatie in hoeverre de variantie van de afhankelijke variabele door het model wordt verklaard. De Hosmer en Lemeshow-test toont of de residuen uit de voorspelling significant afwijken van 0.

Bij meerdere onafhankelijke variabelen is het handig om te kijken naar wat de individuele variabelen voor effect hebben op de afhankelijke variabele. Dit wordt gedaan met de Wald-test, een toets die ongeveer verdeeld is.

Hoofdstuk 11.5.1: Overige technieken

Padmodellen

Er is sprake van een padmodel als er uitsluitend geobserveerde variabelen in het model voorkomen, dus geen variabelen die latent zijn, die niet te zien zijn en wiskundig benaderd zijn. Deze padmodellen geven het verband weer tussen afhankelijke, onafhankelijke en intermediërende variabelen. De afhankelijke variabele wordt de endogene variabele genoemd; de onafhankelijke variabele de exogene variabele. Exogene variabelen kunnen onderling samenhangen maar niet voorspeld worden door andere variabelen in het model. Er wordt bij padanalyse gekeken naar in hoeverre de variabelen een invloed hebben op elkaar. Van een padcoefficient die bijna 0 is kan worden gezegd dat de endogene variabele net zo goed weggestreept kan worden als verklarende factor van de exogene variabele. Zowel directe als indirecte effecten kunnen berekend worden aan de hand van padmodellen.