Wat is modelleren? - Chapter 1

Modelleren een proces beschrijft waarin je de essentie van een reëel probleem abstract maakt in bijvoorbeeld een model of in een werkblad.

Hoe ziet een rekenkundig model eruit?

Een rekenkundig model is een idealisatie of een kwantitatieve representatie van een reëel probleem. Dit kan een expressie zijn, zoals een vergelijking of een ongelijkheid, of dit kan een serie van ongerelateerde cellen in een werkblad zijn. We zullen voornamelijk de focus leggen op de spreadsheet modellen. Een wiskundig model wordt gebruikt om een probleem in een beknopte vorm te presenteren. Het gebruik van een wiskundig model heeft verschillende voordelen zoals dat managers makkelijker problemen kunnen begrijpen hierdoor. Het helpt vooral om de omvang, de mogelijke oplossingen en de vereisten van de gegevens te bepalen. Daarnaast, kunnen analisten hierdoor verschillende soorten wiskundige oplossingsprocedures gebruiken. Voor deze wiskundige oplossingsprocedures worden vaak computers gebruikt en ze zijn erg duur. Ten slotte, helpt het modelleringsproces vaak bij het verkopen van het systeem.

Wat is het verschil tussen beschrijvende modellen en optimalisatiemodellen?

Er bestaan verschillende modellen. Beschrijvende modellen (descriptive models) zijn modellen die alleen de situatie omschrijven. Optimalisatie modellen (optimalisation models) zijn daarentegen modellen die een bepaalde actie suggereren. Wanneer wordt nou een wiskundig model gemaakt? Dit wordt bijvoorbeeld gemaakt wanneer klanten in een winkel te lang moeten wachten op hulp. Het gevolg is dat klanten niet meer terug komen en/of negatieve reclame maken. Een wiskundig model kan gemaakt worden om het probleem duidelijk in kaart te brengen. De manager kan het model gebruiken om de huidige situatie in de winkel te reflecteren. Tevens geeft het model oplossingen voor het probleem, in dit geval de lange wachtrijen in de winkel.

Wat is de definitie van een beschrijvend model (queuing)?

Een voorbeeld van een beschrijvend model is een wachtrij, zoals hierboven beschreven. Dit wachtrij probleem noemen we ook wel queuing. Als eerste stap wil de manager een model bouwen dat inzicht geeft in de huidige situatie in bijvoorbeeld een winkel of bij een pretpark. Twee zaken zijn belangrijk bij het beschrijven van de huidige situatie, namelijk het aantal potentiële klanten dat arriveert (arrival rate) in een winkel per tijdseenheid en de ratio van het aantal mensen die geholpen kunnen worden door één enkele kassière. Dit zijn allebei de inputs van het wiskundige model. De outputs zijn de hoeveelheden: de lengte van de wachtrijen, de wachttijd in de rij per klant, het aantal mensen dat de winkel niet binnengaat enzovoorts. De manager wil de relatie tussen de input en de output onderzoeken.

Een van de makkelijkste beschrijvende modellen is het volgende:

W = A / (S (S – A)

In dit model is W de gemiddelde tijd dat een klant in de rij moet wachten tot hij/zij aan de beurt is. A is hoeveel klanten er arriveren per minuut. S is de service ratio van klanten per minuut. Aan de hand van deze vergelijking kunnen meerdere relaties beschreven worden. Als de service ratio van klanten per minuut stijgt, zal de gemiddelde wachttijd van een klant in de rij dalen. Als het aantal klanten dat per minuut arriveert toeneemt, zal de gemiddelde wachttijd van een klant in de rij ook stijgen.

Wat wordt bedoeld met een optimalisatie model?

Het nadeel van een beschrijvend model is dat het geen economische informatie weergeeft. Voorbeelden van economische informatie zijn de kosten van het versnellen van de service, de kosten die onstaan door het verlies van klanten of de kosten die optreden wanneer klanten wachten in een rij. Het beschrijvende model dat eerder ontwikkeld is wordt uitgebreid zodat economische informatie erin kan worden opgenomen. Aan de hand van het nieuw ontwikkelde model kunnen rationele beslissingen genomen worden. Een manager kan drie dingen doen: het systeem laten zoals het is, een nieuw kassysteem introduceren zodat het service proces versneld wordt of extra personeel inhuren zodat de werkdruk voor de ene kassière verlaagd wordt. Bij het maken van deze keuze moet de manager kijken naar drie verschillende kosten, namelijk de kosten van het aannemen van een nieuwe medewerker/ het implementeren van een nieuw kassysteem, de kosten die ontstaan als klanten moeten wachten, en de ‘opportunity cost’ van klanten die de winkel niet betreden.

Wat is het verschil tussen modelleren en modellen?

Management science kan worden gezien als een collectie van wiskundige modellen. Onder deze wiskundige modellen vallen lineaire programmeer modellen, voorraad modellen, queuing modellen etc. We zullen ons vooral richten op modelleren en niet zozeer op de modellen zelf. De reden is dat modelleren een proces beschrijft waarin je de essentie van een reëel probleem abstract maakt in bijvoorbeeld een model of in een werkblad. Echter, zullen er wel verschillende modellen worden besproken.

Wat zijn de zeven stappen van het modelleringsproces?

Modelleren kan worden gezien als een proces dat verloopt in zeven stappen. Deze zeven stappen zijn:

1. Het definiëren van het probleem
2. Het verzamelen van data
3. Het ontwikkelen van een model
4. De verificatie van het model
5. De optimalisatie en besluitvorming
6. De communicatie van model naar management
7. De implementatie van het model

De eerste stap lijkt een eenvoudige stap, maar het definiëren van het probleem is lang niet altijd eenvoudig. Vaststellen wat het exacte probleem is, is van noodzakelijk belang om het probleem daadwerkelijk op te kunnen lossen.

De tweede stap, het verzamelen van data, neemt over het algemeen de meeste tijd in beslag.

De derde stap is het ontwikkelen van een daadwerkelijk model om het probleem op te lossen. De meest bruikbare modellen zijn de modellen die de essentie van het probleem weten weer te geven zonder te verzanden in minder belangrijke details. Een model moet dan ook zo eenvoudig mogelijk zijn. De grootste uitdaging in de derde stap is dan ook het vinden van de juiste balans tussen een te eenvoudig model en een te complex model.

De vierde stap is de verificatie van het model. Dit is belangrijk omdat een klant het model eerder zal accepteren als de analist een verificatie van het model heeft.

De vijfde stap is vaak de moeilijkste stap vanuit wiskundig standpunt gezien. In deze fase gaat het model gebruikt worden om beslissingen en strategieën te kiezen.

In de zesde stap communiceert de analist het model en zijn aanbevelingen naar de klant. Managers snappen vaak weinig van wiskundige modellen en daarom moet de analist het model zo presenteren dat ook de niet wiskundige managers het begrijpen.

De laatste stap is het implementeren van het model. Het model kan alleen worden geïmplementeerd als de managers het model goed begrijpen en er vertrouwen in hebben dat het gaat werken.

Wat houdt het begrip heuristiek in?

Een oplossingsmethode die doorgaans wordt gezien als een relatief simpel model dat goede maar niet altijd optimale oplossingen biedt, is de heuristische methode. Een heuristiek is vooral gebaseerd op gezond verstand, intuïtie en proberen.

Waarom is modelleren belangrijk?

Werkbladbenadering is de beste manier om een model te ontwikkelen omdat deze benadering een beroep doet op het grote publiek. De schrijvers zijn ervan overtuigd dat modelleren binnen de management wetenschap van belang is. Ze geven daarvoor vier redenen:

• Het geeft de mogelijkheid om over een probleem in het algemeen na te denken en dwingt tot logisch denken.
• Het helpt bij het ontwikkelen van iemands kwantitatieve vaardigheden omdat het primair gaat over nummers en de onderlinge relaties van nummers.
• Werken met werkbladen is mogelijk voor iedereen en niet alleen voor technische mensen.
• Het helpt bij het ontwikkelen van de intuïtie en het geeft een indicatie wanneer intuïtie alleen soms te wensen overlaat.

Wat is belangrijke software om te onthouden?

Naast Excel zijn er nog enkele andere softwareprogramma’s die kunnen worden gebruikt:

1. Solver Add-in. Dit is een softwareprogramma dat wordt gebruikt om een spreadsheet optimalisatie uit te voeren. Het programma maakt gebruik van sterke algoritmes. Het is ontwikkeld door Frontline Systems en dus niet door Microsoft.

2. SolverTable Add-in. Dit softwareprogramma wordt gebruikt bij het maken van een gevoeligheidsanalyse. Data tabellen werken niet in optimalisatie modellen en daarom wordt gebruik gemaakt van een SolverTable Add-in om te zien hoe de optimale oplossing verandert wanneer de input verandert. Het softwareprogramma is ontwikkeld door Albright.

3. Palisade Decision Tools Suite. Dit houdt in dat er programma’s opgenomen zijn in Excel die betrekking hebben op educatie. Deze 7 programma’s worden hieronder besproken.

4. @RISK. Deze tool maakt het mogelijk zoveel replicaties te maken van een spreadsheet simulatie als je zelf bepaalt. Deze add-in houdt automatisch de gekozen output in de gaten. Het is bovendien ook mogelijk met deze tool een gevoeligheidsanalyse uit te voeren Hierbij wordt gekeken welke input de meeste invloed heeft op de output.

5. StatTools. Dit is een statistische add-in en verbetert de statistische mogelijkheden van Excel. StatTools vult aan wanneer de tools van Excel niet voldoende zijn. Deze tool wordt verder besproken in het laatste hoofdstuk wanneer de regressie analyse en ‘forcasting’ besproken wordt.

6. PrecisionTree. Deze tool wordt gebruikt bij het analyseren van beslissingsproblemen met onzekerheid. Het maken van een ‘beslissingsboom’ is de methode die het meest wordt gebruikt. Dit is echter moeilijk te implementeren in Excel. PrecisionTree doet dit op een makkelijke manier.

7. TopRank. Dit is een ‘wat-als’ add-in die gebruikt wordt bij een gevoeligheidsanalyse. TopRank laat zien welke inputs het meest en het grootste effect hebben op de gewenste output. Het kan bijvoorbeeld aangeven welke input het meest van invloed is op de gewenste winst na belasting: het belastingspercentage, het percentage risicovrije rente voor de investering, het inflatiepercentage of de verandering van de prijs.

8. RISKOptimizer. Deze tool combineert optimalisatie met simulatie. Hier wordt gebruik gemaakt van het ‘trial and error’ principe. Dit houdt in dat verschillende waarden van de beslissingsvariabelen ingevoerd worden om te kijken wat de beste uitkomst oplevert

9. NeuralTools. De lineaire regressie is een krachtige tool, maar is niet in staat alle best mogelijke relaties te vinden. Deze tool add-in doet het menselijk brein na om zo de ‘neural networks’ te kunnen vinden.

10. Evolver. Deze tool gebruikt genetische algoritmen om moeilijke problemen op te lossen. Deze tool wordt echter niet gebruikt in het boek dus hier wordt verder niet op in gegaan.

Wat is werkbladmodelleren? - Chapter 2

Wat wordt bedoeld met een regressie- en voorspellingsmodel? - Chapter 3

Regressiemodellen worden gebruikt om de relatie tussen verschillende variabelen te verklaren. Extrapolatiemethoden relateren tijdserie variabele aan eerdere waardes van dezelfde variabele. Er wordt gezocht naar patronen in de geschiedenis om vervolgens hiermee de toekomst te voorspellen.

Waar ligt de focus op in dit hoofdstuk?

Er zijn verschillende applicaties voor het maken van beslissingen. Voor veel van deze applicaties is het nodig om een voorspelling te maken van een bepaalde variabele. Een aantal voorbeelden:

• Wanneer een service organisatie een werkschema maakt voor het personeel voor een bepaalde periode, moet de vraag van de klant voorspeld worden.
• Wanneer een onderneming moet bepalen wanneer bepaalde producten geproduceerd en/of besteld moeten worden, moet duidelijk zijn wat de vraag van de klant is voor een bepaalde periode.
• Wanneer een onderneming wil gaan investeren in obligaties, aandelen of andere financiële instrumenten, worden de veranderingen in prijzen en percentages geschat.
• Wanneer de overheid een nieuw beleid wil invoeren, worden de veranderingen in de macro economische variabelen geschat. Een voorbeeld van een macro-economische variabele is de werkgelegenheid.

Er zijn veel voorspellingsmethoden die kunnen worden gebruikt. Niet iedereen heeft de voorkeur voor dezelfde methode. Toch is er enige overeenstemming over wat de beste voorspellingsmethodes zijn. Deze methodes kunnen in drie groepen verdeeld worden:

1. Beoordelingsmethoden (judgemental).
2. Regressiemethoden (ook wel causale modellen genoemd). Dit is een statistische methode die een vergelijking schat van de ene variabele in relatie tot één of meerdere verklarende variabelen.
3. Extrapolatiemethoden (ook wel tijdseries methoden genoemd). Dit is een statistische methode die een tijdserie variabele relateert aan eerdere waardes van dezelfde variabele. Er wordt gezocht naar patronen in de geschiedenis om vervolgens hiermee de toekomst te voorspellen.

Wat is een regressiemodel en hoe ziet deze eruit?

Regressieanalyses worden gebruikt om de relaties tussen variabelen te onderzoeken. Dit is omdat deze methode in veel verschillende situaties kan worden toegepast. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om de relatie tussen het loon van de werknemer en zijn ervaring te bepalen. Regressieanalyses kunnen op verschillende manier worden ingedeeld:

• Op basis van het type data dat wordt geanalyseerd: Kruispuntdata (cross sectional data) of tijdreeksen data (time series data)
• Op basis van het aantal verklarende variabelen dat aanwezig is in de regressievergelijking

Cross sectional data is meestal data die verzameld wordt van ongeveer dezelfde periode van een deel van de bevolking. Time series onderzoeken hebben betrekking op één of meer variabelen die geobserveerd worden op verschillende tijdstippen in een bepaalde periode.

Een regressie gebruikt één of meerdere verklarende (explanatory) variabelen om een afhankelijke (dependent) variabele te verklaren. Met een regressie analyse probeer je een bepaalde variabele te voorspellen en te verklaren. Deze variabele wordt de afhankelijke variabele genoemd, ook wel de respons variabele. Deze variabele heeft meestal het symbool Y. Er worden meerdere verklarende variabelen gebruikt om de afhankelijke variabele te verklaren. De verklarende variabelen worden onafhankelijke variabelen of voorspellende variabelen genoemd. Deze variabelen hebben meestal het symbool X. Wanneer er sprake is van één enkele verklarende variabele in het regressiemodel dan wordt dit een simpele regressie genoemd. Een meervoudige regressie wordt gedefinieerd als een regressiemodel met meerdere verklarende variabelen. De berekeningen in de simpele regressie zijn eenvoudiger dan in de meervoudige regressie. Bovendien is de interpretatie van de output bij een simpele regressie makkelijker te begrijpen en zullen er minder complicaties optreden dan bij een meervoudige regressie.

In dit hoofdstuk zullen de volgende regressiemodellen worden besproken:

• De ‘least-squares line’
• De ‘prediction’ en de ‘fitted values’
• De ‘measures of goodness-of-fit’
• De ‘multiple R’ en de ‘R-square’

Wat is een least-squares line?

Als je een scatterplot maakt van variabele Y versus variabele X dan kan je de relatie tussen deze twee kwantificeren door de best passende lijn door alle punten te tekenen. Om deze best passende lijn te bepalen wordt de least-squares lijn gebruikt. Een least-squares line is een regressielijn die de som van de gekwadrateerde residuen minimaliseert. Dit is een resultaatlijn vanuit een typische regressieanalyse. De maatstaf die hier meestal gebruikt wordt is de som van de gekwadrateerde residuen. Een residu is het verschil tussen de Y-waarde die je observeert en de waarde die de regressievergelijking voorspelt. Het wordt ook wel gedefinieerd als de verticale afstand tussen de lijn en het punt in de scatterplot. Het creëren van een scatterplot is dus handig om de relatie tussen twee variabelen te identificeren. Wanneer een data punt boven de lijn komt is het residu positief en wanneer het data punt onder de lijn komt is het residu negatief.

Wat zijn de fitted values?

De least-square line kan gebruikt worden om een voorspelling te maken. De fitted value is de voorspelde waarde van Y, zoals voorspeld door de regressievergelijking. Er bestaat een relatie tussen de residuen en de fitted values. Deze relatie is als volgt:

Residu = werkelijke waarde – fitted value

Voorbeeld: de formule van een bepaalde least-square line is Y = 5 + 3X. Om Y te berekenen voor elke waarde van X moet de waarde van X gesubstitueerd worden in de regressievergelijking. Het resultaat is de fitted value voor Y. Dus wanneer X = 2, dan is Y = 5 + 3*2 = 11.

Wat wordt bedoeld met measures of goodness-of-fit?

Er kunnen ook andere maatstaven worden gebruikt om de goodness-of-fit van de regressie te meten. De Standard error of estimate is bijvoorbeeld een maatstaf. Het is in essentie de standaardafwijking van de residuen. Het is een schatting van de omvang van de voorspelde fouten die gemaakt worden in de regressievergelijking. Met n het aantal observaties, k het aantal verklarende variabelen in de regressievergelijking, dan luidt de formule als volgt:

Standard error of estimate = de wortel van ( de som van de squared residuen / (n – k – 1))

Wat wordt bedoeld met de multiple R en de R-square?

Multiple R is de correlatie tussen de actuele Ys en de gebruikte (fitted) Ys. Een correlatie is een getal tussen plus één en min één. Het meet de goodness-of-fit van de lineaire relatie tussen twee variabelen. Als de correlatie dichtbij nul is dan betekent dit dat er geen lineaire fit is. Wanneer de correlatie juist dichtbij één of min één zit is er wel sprake van lineaire fit.

De formule van de Multiple R luidt als volgt:

Multiple R = correlatie tussen de actuele Ys en de fitted Ys

De R-square wordt gedefinieerd als het variatiepercentage van Ys dat wordt verklaard door de regressievariabelen. Voorbeeld: wanneer de multiple R = 0,9 dan is de R-square = 0,81. Dit houdt in dat 81% van de variatie van Y verklaard wordt door de variabelen in de regressie.

De formule van R-square luidt als volgt:

R-square = (multiple R)^2

De waarde van de R-square kan nooit dalen als er verklarende variabelen worden toegevoegd aan het regressie model.

Wat is een eenvoudig regressiemodel?

In deze paragraaf wordt gekeken op welke manier de regressievergelijking voor de afhankelijke variabele Y geschat moet worden, met één enkele onafhankelijke variabele X. We zeggen ook wel dat Y is ‘regressed’ in X.

De vergelijking voor een eenvoudige regressie luidt als volgt: Y = a + bX

In deze formule wordt a het snijpunt genoemd en b wordt de helling van de lijn genoemd.

De formule voor een exponentiële trend ziet er als volgt uit: Y = ae^(bt)

Wanneer er sprake is van een lineaire trendlijn veranderen de variabelen met een constante hoeveelheid per periode. Wanneer er sprake is van een exponentiële trendlijn, veranderen de variabelen met een constant percentage per periode. In de exponentiële trend kan b een negatief getal zijn. In dat geval daalt Y met een bepaald percentage per periode.

Superimposing een trend line is handig om een lineaire of een exponentiële trend door middel van een ‘scatterplot’ te identificeren.

De coëfficiënt van tijd in de lineaire trendlijn vergelijking representeert de verandering in de variabele per tijdsperiode. De coëfficiënt van tijd in de exponentiële trendlijn vergelijking representeert het percentage verandering in de variabele per tijdsperiode.

Om de goodness-of-fit te meten van een trend in de tijd kan men de MAPE berekenen. Dit wordt gedaan door eerste de APEs van de lineaire trendlijnen te berekenen.

De EXP functie wordt gebruikt om e tot de macht een getal te nemen. De afkorting EXP staat voor exponentieel. Het wordt ook wel de ‘antilog’-functie genoemd. De StatTools add-in is een krachtige en eenvoudig te gebruiken toepassing die ontwikkeld is door Palisade. Deze tool wordt gebruikt voor regressie analyses en het maken van voorspellingen.

Het begrip tijd kan onbeperkt gebruikt worden als de verklarende variabele in een eenvoudige regressie. Elke X-variabele die gerelateerd is aan de afhankelijke variabele Y kan daarvoor gebruikt worden.

Je kan een scatterplot maken van de residuen versus de fitted values. Aan de hand van deze scatterplot kan je zien of er eigenaardige punten of trends zijn. Als je geen trend ziet dan betekent dit dat de regressie veronderstellingen niet zijn geschonden.

Wat wordt bedoeld met een meervoudig regressiemodel?

Er worden vaak meerdere variabelen gebruikt om de afhankelijke variabele te verklaren. Je kan vaak kiezen uit veel verschillende verklarende variabelen. In deze paragraaf wordt de meervoudige regressie besproken.

De vergelijking van een meervoudige regressie luidt als volgt:

Y = a + b1X1 + b2X2 + … + bkXk

In deze vergelijking is a opnieuw het Y-intercept en b1 tot bk zijn de hellingen van de regressie. De a en alle b’s samen worden de regressie coëfficiënten genoemd. Een nuttige eerste stap in het meervoudige regressie model is het creëren van een scatterplot van Y versus iedere X in de regressie. De Excel Trendlijn optie kan niet gebruikt worden om de regressie vergelijking te vinden wanneer er sprake is van meerdere onafhankelijke variabelen. De interpretatie van de regressie output is vergelijkbaar met de output van de simpele regressie. De R-square, de multiple R, de standaard fout van de schatting, de fitted value en de residuen betekenen in beide gevallen precies hetzelfde.

Voorheen werd gezegd dat de R-square niet kan afnemen als er meer explanatory variabelen worden toegevoegd. Als de R-square wel afneemt na een toevoeging van een variabele dan betekent dit dat de toegevoegde variabele niet hoort in de formule, geen betekenis heeft, en dus moet worden verwijdert uit de regressie.

Met een regressie analyse probeer je goede verklarende variabelen te vinden die iets zeggen over de afhankelijke variabele Y. Vaak zijn deze variabelen kwantitatief. Wanneer er sprake is van kwalitatieve (categoriale) variabelen dan zijn dit dummy variabelen. Een dummy variabele is een variabele voor een bepaalde categorie die gelijk is aan 1 voor alle observaties in die bepaalde categorie en 0 voor alle observaties die niet tot die categorie behoren. Bijvoorbeeld wanneer op zoek gegaan wordt naar een man, wordt voor een man een 1 ingevuld en voor een vrouw een 0. Andere voorbeelden zijn geslacht, regio, land, bepaald deel van het jaar etc.

Bij het maken van regressie aannames moet je letten op de volgende dingen die kunnen optreden:

• Multicollineariteit. Dit treedt op wanneer een variabele (X) sterk gerelateerd is met een andere variabele (X). Er is dan een relatie tussen de verklarende variabelen in het model. Dit bemoeilijkt de interpretatie van de regressie coëfficiënten.
• Non-lineaire relaties
• Non-constante error variantie
• Autocorrelation of residuals. Dit treedt op wanneer bijna alle residuen gerelateerd zijn aan een ander, dit zien we vaak met tijdseries data. In dit geval is er correlatie tussen de waarde van een variabele en zijn vorige waardes.

Wat wordt bedoeld met tijdreeksmodellen?

Een regressie is zeer flexibel. Hierdoor kan het ook goed gebruikt worden voor tijdreeks variabelen en cross sectional variabelen. In deze paragraaf kijken we naar de tijdreeks variabelen en de niet regressie benaderingen worden besproken. Al deze benaderingen vallen onder extrapolatie methodes. Een extrapolatie methode is een voorspellingsmethode waarbij oude patronen van een tijdserie variabele zijn ontdekt en geëxtrapoleerd in de toekomst. Er worden geen andere variabelen gebruikt om Y te voorspellen. Alleen de oorspronkelijke waardes van Y worden gebruikt om de toekomstige waardes van Y te voorspellen. Het idee achter deze methode is dat de historie trend zichzelf herhaald en er wordt dus op zoek gegaan naar een patroon.

Een tijdreeks heeft meestal één of meerdere componenten als onderdeel. Dit zijn items die patronen produceren die gezien zijn in de meeste tijdseries variabelen. We onderscheiden er vier:

1. Trendcomponent. Een trend impliceert na een tijdje een consequente stroomopwaartse of stroomafwaartse beweging van de series. Er zijn verschillende trends mogelijk, zoals: de lineaire trend, de exponentiële trend en tot slot de S-shaped trend. Dit is bijvoorbeeld een product wat eerst moeilijk te krijgen is, dan heel veel verkocht wordt, en uiteindelijk bevindt de verkoop zich op een constant niveau.
2. Seizoensgebonden component. In sommige seizoenen wordt een product meer verkocht dan in andere seizoenen. Bijvoorbeeld bikini’s of zwembad artikelen worden voornamelijk gekocht net voor het begin van de zomer of in de zomer. Een ander voorbeeld is kerstbomen. Kerstbomen worden vrijwel alleen gekocht in de periode voor kerst en niet in andere delen van het jaar. Je kan een een serie hebben met een trend en een seizoensgebonden component of met alleen een seizoensgebonden component.
3. Cyclische component. Hieruit blijkt dat de conjunctuur cyclus eenzelfde soort effect heeft op verschillende variabelen. Bijvoorbeeld in tijden van een recessie dalen de huizenprijzen, de werkeloosheid neemt toe, de aandelenprijzen dalen enzovoorts. Er zijn verschillende cycli mogelijk, zoals een cyclus met alleen een conjunctuurcyclus component of een conjunctuurcyclus component met trend.
4. Random component. Dit wordt ook wel een noise component genoemd. Dit component is onvoorspelbaar en dit is vaak een onregelmatige of zigzaggende lijn. Ook hier kan je weer verschillende vormen hebben, zoals alleen een noise en een noise bovenop een trend en seizoensgebonden componenten.

Als je extrapolatie gebruikt om een voorspelling te maken dan kan dit leiden tot fouten. Er zijn drie maatstaven die vaak worden gebruikt om de nauwkeurigheid van een voorspelling te meten, namelijk de mean absolute error (MAE), de mean absolute percentage error (MAPE) en de root mean square error (RMSE).

Wat wordt bedoeld met de ‘moving averages’ methode?

Een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een periode het gemiddelde is van de observaties van de meest recente perioden, noemen we een ‘moving averages’ methode. Het wordt ook wel een smoothing methode genoemd. Deze extrapolatie methode is een van de makkelijkste en meest gebruikte. Om deze methode te kunnen gebruiken moet je eerste de span bepalen. Dit is het aantal termen in elk bewegende gemiddelde. Ook wel, het aantal observaties in elke gemiddelde. Hoe groter de span, hoe ''smoother'' de toekomstige series. Je moet zelf bepalen wat voor span je gebruikt en hiervoor is de eigen oordeel nodig.

Wat is een ‘exponential smoothing’ methode?

De moving average methode hecht evenveel waarde aan elke observatie. Dit is een groot nadeel van deze methode. De exponentiële smoothing voorspellingen richten zich meer op de recente observaties. De exponential smoothing methode is een voorspellingsmethode waarbij de voorspelling voor een bepaalde periode een gemiddeld gewicht is van eerdere perioden waarbij recentere perioden meer gewicht krijgen.

Er bestaan verschillende vormen van de exponential smoothing methode. We onderscheiden in deze paragraaf drie methoden:

1. De simple exponential smoothing. Deze versie van exponential smoothing kan worden gebruikt wanneer er geen duidelijke trend te zien is of als er geen sprake is van seizoensgebonden producten.
2. De methode van Holt. Deze versie van exponential smoothing kan worden gebruikt wanneer er wel een trend is maar niet duidelijk sprake is van producten die seizoensgebonden zijn.
3. De methode van Winter. Deze versie van exponential smoothing kan worden gebruikt wanneer er sprake is van seizoensgebonden producten en er mogelijk een trend bestaat.

Wat houdt simple exponential smoothing in?

Elk exponentieel model heeft minimaal één smoothing constant. Deze constante is altijd een nummer tussen één en nul is. Voor de simple exponential smoothing methode is dat de alpha (α). Daarnaast bestaat er in de vergelijking voor de simple exponential smoothing methode het symbool Lt. De L staat voor level van de serie. Level wordt gedefinieerd als een schatting waar de series nu zouden zijn wanneer er geen sprake was van een random noise. Lt staat voor het level van de series op tijdstip t. De simple exponential smoothing methode wordt aan de hand van een vergelijking als volgt gedefiniëerd:

Lt = α Yt + (1 – α) * Lt-1

De smoothing constant α kan worden gezien als de span in de moving average methode. Om dit te zien moet de bovenstaande functie van Lt herschreven worden. Hier wordt rekening gehouden met de voorspellingsfout/error (Et). Lt-1 staat voor het level van de series op tijdstip t-1. De formule wordt nu als volgt geschreven:

Lt = Lt-1 + α * Et

Et = Yt - Lt-1

Hoe kleiner de smoothing constant, hoe smoother de voorspellingsseries zullen zijn. Vaak wordt een smoothing constant van 0,1 tot 0,2 gebruikt. Een kleine smoothing constante komt overeen met een grote span in de moving average methode.

Wat houdt de methode van Holt in?

In de methode van Holt wordt gekeken naar de trend term (Tt) en de corresponderende constante smoothing factor bèta (β). De trend term Tt is de schatting van de verandering in de series in een bepaalde tijdsperiode. De voorspelling voor de volgende waarde van de series, op tijdstip is t + 1, is Lt + Tt. De twee formules voor de exponentiële smoothing methode van Holt zijn als volgt:

Lt = α Yt + (1 – α) (Lt-1 + Tt-1)

Tt = β (Lt - Lt-1) + (1 – β) * Tt-1

Wat houdt de methode van Winters in?

De methode van Winters is zeer populair wanneer het gaat om methodes die rekening houden met het seizoen. Deze methode vereist series met seizoensgebonden factoren, één voor elk seizoen. Het is een directe uitbreiding van de methode van Holt. Bij deze methode is de factor die rekening houdt met het seizoen (St) toegevoegd. Met seizoen wordt meestal een maand of een kwartaal bedoeld. Iedere factor representeert een bepaald percentage waarbij het seizoen boven of onder het gemiddelde zit.

Wat is de conclusie?

Voor de besproken methodes is input nodig om een spreadsheet model te maken. Deze data wordt in de werkelijkheid vaak verkregen door middel van regressie of een extrapolatie voorspellingsmethode. Deze vaardigheden worden steeds belangrijker in de zakenwereld. Dit komt voornamelijk doordat business analisten veel variabelen moeten relateren aan elkaar, trends moeten ontdekken net als seizoensgebonden patronen en in staat moeten zijn om voorspellingen te doen.

Regressiemodellen worden gebruikt om de relatie tussen verschillende variabelen te verklaren. Extrapolatiemethoden relateren tijdserie variabele aan eerdere waardes van dezelfde variabele. Er wordt gezocht naar patronen in de geschiedenis om vervolgens hiermee de toekomst te voorspellen.

Wat is optimalisatie modellering? - Chapter 4

Hoe ziet een lineair programmeringsmodel eruit? - Chapter 5

Lineaire programmeringsmodellen kunnen worden gebruikt voor veel verschillende optimalisatie problemen. Elk model ziet er net weer ietsje anders uit en heeft een net iets ander stappenplan. Wel wordt in ieder programmeringsmodel gekeken naar de input variabelen, de beslissingsvariabelen, de objective variabelen, andere rekenkundige variabelen en de beperkingen. Aan de hand van deze variabelen wordt het model gemaakt om de output te berekenen.

Hoe ziet dit hoofdstuk eruit?

Dit hoofdstuk richt zicht op het bouwen van optimalisatiemodellen voor o.a.:

• Het aankopen van advertenties;
• Een planning maken voor medewerkers van een bezorgbedrijf.
• Een werk- en productieplan te maken voor een kledingbedrijf;
• Een algeheel plan maken om ruwe olie om te vormen in eind producten;
• Het managen van een fonds
• Het maken van een productieplan voor een farmaceutisch bedrijf;

De doelstelling van dit hoofdstuk is laten zien dat er veel mogelijkheden zijn om lineaire programmeringsmodellen toe te passen op reële situaties. Daarnaast wordt ingegaan op de vaardigheden met betrekking tot Excel. Alle modellen die in dit hoofdstuk besproken worden zijn lineaire modellen. Een constante wordt gedefinieerd als iets dat niet afhankelijk is van de changing cells en een target cell is de som van producten en constanten.

Wat wordt bedoeld met een adverteermodel?

Voor bedrijven is het belangrijk om hun producten te adverteren en daarom geven ze hier veel geld aan uit. Deze bedrijven willen zoveel mogelijk mensen bereiken uit verschillende groepen van potentiële klanten. In de praktijk houdt dat in dat ze met zo weinig mogelijk middelen en tegen zo laag mogelijke kosten een zo groot mogelijk deel van hun potentiële klanten willen bereiken.

Wat zijn de nadelen?

Voor realistische toepassingen kent het adverteermodel minimaal één zwak punt, namelijk dubbeltelling. Verschillende advertenties kunnen worden bekeken door dezelfde mensen, waardoor een bedrijf wellicht denkt een grote doelgroep te hebben aangesproken, terwijl dit in werkelijkheid steeds dezelfde mensen zijn.

Er zijn twee moeilijkheden ten aanzien van het adverteermodel:

1. Het is heel moeilijk om vast te stellen hoeveel mensen een advertentie hebben gezien, wanneer een advertentie meerdere keren tijdens hetzelfde televisieprogramma wordt getoond.
2. Zelfs wanneer een bedrijf de moeilijkheden van dit eerste punt weet te vermijden, dan nog heeft het te maken met een non-lineair model. Dit komt doordat niet meer wordt voldaan aan de conditie van evenredigheid die wordt vereist voor lineaire programmering.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor een adverteermodel besproken.

Dit adverteermodel is het tegenovergestelde van het product mix model. Het doel van een product mix model is de waarden van de beslissingsvariabelen zo groot mogelijk maken om de winst te maximaliseren. In een adverteermodel is het doel juist om de kosten te minimaliseren door de waarden van de beslissingsvariabelen zo klein mogelijk te maken. Het adverteermodel en het product mix model zijn twee veel voorkomende typen lineaire programmeringsmodellen.

Het adverteermodel kan worden uitgebreid. In het advertentie voorbeeld hebben we te maken met twee concurrerende doelstellingen: op welke manier worden er zo veel mogelijk uitzendingen uitgezonden? En op welke manier kan de onderneming de adverteerkosten zo laag mogelijk houden? Een model met twee concurrerende doelstellingen noemen we een dual objective model. Een gebruikelijke strategie beperkt één van deze twee en het optimaliseert de andere doelstelling. Vervolgens wordt de SolverTable gebruikt om de rechterkant van de beperking te variëren. In het originele model werden de totale kosten geminimaliseerd en werd gekozen om de uitzendingen te beperken tot een bepaalde hoeveelheid. Je kan er ook voor kiezen het totale aantal van overtollige uitzendingen te maximaliseren en een budget opstellen voor de totale kosten. Om dit alternatief te implementeren wordt een stappenplan gevolgd:

• Vaststellen van het overtollige aantal uitzendingen. Voor elke groep wordt het aantal overtollige uitzendingen berekend en ingevuld in de formule.
• Het budget wordt vastgesteld.
• Solver dialog box.

Range name shortcut is een snelle manier om een reeks namen te maken. Dit zijn gebruikslabels in aangrenzende cellen. De Solver integer constraints zijn de beperkingen op veranderende cellen om deze integer te maken. Met integer wordt een heel getal bedoeld. De int optie in de Solver constraintdialog box wordt gebruikt om te zorgen dat de changing cellen de beperking van integer getallen hebben. Integer constraints zijn beperkingen die (sommige) veranderende cellen limiteert tot integere waarden.

Er moet rekening gehouden worden met de volgende punten wanneer het gaat om een integere oplossing:

• De totale kosten in de target cel zijn nu hoger dan in de vorige situatie. Het object blijft hetzelfde of wordt ‘slechter’ wanneer er meer beperkingen worden toegevoegd.
• Een optimale integere oplossing is niet hetzelfde als een een afronding van een niet integere oplossing.
• Wanneer er sprake is van integere beperkingen, gebruikt de Solver een algoritme. Dit algoritme is niet hetzelfde is als de simplex methode. Door integere beperkingen wordt het vaak moeilijker om een model op de lossen. De Solver moet meer werk verrichten.
• Er moet gebruik worden gemaakt van de Simplex LP methode wanneer het model lineair is. Alleen als er integere beperkingen zijn dan niet.

Helaas zijn veel marketing modellen vaak non lineair en dit leidt tot problemen.

Wat is een roostermodel?

Veel bedrijven maken gebruik van roostermodellen om hun medewerkers in te kunnen plannen. Aan de hand van deze planning hopen ze een zo adequaat mogelijke manier te vinden om hun medewerkers te laten werken. Bij het inroosteren van werknemers kunnen er problemen ontstaan. Het probleem dat het vaakst voorkomt heeft te maken met de eisen van werknemers. Er wordt een voorspelling en een queueing analyse gemaakt om rekening te houden met de wensen van werknemers. Dit moet gedaan worden voordat een optimaal schema gemaakt kan worden.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor een roostermodel besproken.

Voor het roostermodel kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

• Input en range namen. Er moet ingevuld worden hoeveel werknemers er iedere dag van de week nodig zijn met bijbehorende namen (range names).
• Werknemers die iedere dag beginnen. Er moeten een paar proefwaarden ingevuld worden voor het aantal werknemers dat iedere dag begint met het werk. De begin dagen bepalen de mogelijke vijf dagen shifts voor de werknemers.
• Werknemers die garant staan. Het aantal werknemers dat in de changing cellen wordt opgenomen is niet gelijk aan het aantal werknemers dat daadwerkelijk die dag komt opdagen.
• Het totaal aantal werknemers. Het is belangrijk het aantal werknemers te berekenen. Zorg ervoor dat werknemers niet dubbel geteld worden.

Als je gebruikt maakt van lineair programmeren dan kan het zijn dat verschillende computers een andere oplossing bieden voor dezelfde optimale waarde van de doelstelling. Als dit het geval is dan spreken we van multiple optimal solutions. Dit komt regelmatig voor in lineair programmeringsproblemen. Echter is dit niet erg omdat het voor de manager een voordeel is: hij/zij kan kiezen tussen de optimale oplossing of een andere, mogelijk niet kwantitatieve criteria.

Om een gevoeligheidsanalyse te runnen met SolverTable, heb je het oorspronkelijke model nodig om te kijken wat het effect is van de input die telkens varieert.

Wat zijn de nadelen?

• Veel roostermodellen zijn statisch terwijl in de praktijk het juist handiger is als het model dynamisch is. In een statisch model kan het zijn dat er geen rekening is gehouden met het realistische feit dat medewerkers ook vakantiedagen opnemen en dat de vraag naar werk in de loop van de tijd kan veranderen.
• In een weekroostermodel voor bijvoorbeeld een supermarkt of een bar, kunnen de beslissingsvariabelen snel veranderen. Een optimalisatieprogramma zoals Solver, heeft vaak veel moeite om dan alsnog een optimale oplossing te geven. In soortgelijke situaties is het gebruikelijker om een heuristiek model te gebruiken. Heuristiek wordt gedefinieerd als een educatieve verwachtingsoplossing. Het is niet gegarandeerd de meest optimale oplossing, maar het is meestal snel en makkelijk te verkrijgen.
• Het kan zijn dat je te maken hebt met parttime werknemers. Het is eenvoudig om dit aspect in het roostermodel op te nemen.

Wat is een gezamenlijk planningsmodel?

In deze paragraaf wordt het productie planning model besproken. We kijken naar een situatie waarin het productie niveau wordt beïnvloed door het aantal beschikbare werknemers. Wanneer we het personeelsbestand en productieschema’s bepalen voor een langere periode, spreken we van een gezamenlijk planningsmodel. Op basis van verschillende aannames die gemaakt kunnen worden bestaan er veel verschillende soorten planningsmodellen.

Belangrijk in dit gezamenlijke productie planning model is het kiezen van de juiste changing cellen: de beslissingsvariabelen die de gehele output bepalen en vaststellen.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor een gezamenlijk productie planning model besproken:

Voor het gezamenlijke productie planning model kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Inputs en range names. De input gegevens moeten ingevuld worden en hieraan moeten namen gekoppeld worden.
2. Productie, aannemen en ontslaan plan. Mogelijke waarden moeten ingevuld worden in het Excel sheet. Dit heeft in dit voorbeeld betrekking op het aantal broeken dat per maand geproduceerd moet worden, het aantal uur dat iedere maand overgewerkt wordt, het aantal werknemers dat iedere maand ontslagen en aangenomen wordt. Deze vier punten vormen samen de changing cellen.
3. De beschikbare werknemers per maand. Hier wordt meestal het oorspronkelijke aantal ingevuld in de formule. Hierdoor is het makkelijker de eindwaarde te berekenen aan het einde van de periode met behulp van de formule.
4. Overuren capaciteit. Hier moet in de formule ingevuld worden hoeveel uur elke werknemer overwerkt per periode.
5. Productiecapaciteit. De reguliere uren moeten berekend worden per maand met behulp van de formule. De input is gebaseerd op de grootte van het personeelsbestand.
6. Voorraad per maand. Bereken na de productie in de eerste maand de voorraad met behulp van de formule.
7. Maandelijkse kosten. Bereken de verschillende kosten per maand.
8. De totalen. Het is met de SUM functie mogelijk de totale kosten te berekenen.

Excel tip: het is handig om de waardes in rijen en kolommen snel bij elkaar op te tellen. De sum shortcut zorgt ervoor dat de rij en/of kolommen aantallen (som van een rij en/of kolom) op een snelle manier uit de tabel te berekenen zijn.

De term backlogging houdt in dat op een later tijdstip voldaan wordt aan de vraag van de klant. De term backordering betekent hetzelfde. Om een backlogging model te linealiseren moeten de volgende stappen worden ondernomen:

1. Invullen van het tekort.
2. Het maken van rijen voor de hoeveelheden die in de voorraad gehouden worden en die uit de voorraad zijn weggaan.
3. Het bereken en invullen van de eindvoorraad (dit kan positief of negatief zijn). De eindvoorraad wordt geschreven als: It = Lt – St. Hier is Lt de voorraad die over is aan het einde van de maand en St het tekort aan het einde van de maand.
4. Het invullen van maandelijkse kosten.

Wat zijn de nadelen?

• Silver (1998) adviseert dat de planning horizontaal moet zijn tot na de volgende seizoenspiek als we te maken hebben met een vraag seizoengebonden is.
• Hoe meer extra uren er wordt overgewerkt hoe hoger de kosten voor het gebruik van deze uren worden. Dit is omdat medewerkers dan minder efficiënt werken. Dit type gedrag is niet verwerkt in een methode, maar het zou een model non-lineair maken.

Wat wordt bedoeld met een gemixt model?

Het kan zijn dat je, om de gewenste uitkomst te krijgen, verschillende input variabelen moet combineren. Deze modellen, waarbij een mix van inputs wordt gebruikt, worden gemixte modellen genoemd. Lineaire programma's komen hierbij van pas omdat deze de optimale combinatie van outputs en mix van inputs kunnen vinden. Dit geldt ook voor hele praktische modellen. Denk bijvoorbeeld aan een recept: verschillende ingrediënten vormen samen een eindproduct, namelijk een maaltijd. Je kan ook drie verschillende input stoffen hebben, zoals koolstof, ijzer en molybdeen, welke samen kunnen worden gebruikt om verschillende soorten ijzer te maken. Je kan ook van verschillende type olie andere soorten olie make zoals gas olie en hete olie.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor een gezamenlijk productie planning model besproken voor het maken gemixte olie:

Voor het gemixte model kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Input en range names. De prijzen, het niveau van de kwaliteit van de input, de vereiste hoeveelheid output etc. moeten worden ingevuld en benoemd in de Excel sheet.
2. Input moet samengevoegd worden tot een bepaalde output.
3. Bereken hoeveel input er gebruikt is en hoeveel en voor welke prijs de output verkocht is.
4. Het is belangrijk de kwaliteit van de inputs te checken.
5. Er moet berekend worden wat de gewenste kwaliteit is.
6. Bereken de winst.

Wat zijn de nadelen?

We zien in de praktijk vaak dat een bedrijf dat gebruikt maakt van een gemixt model zijn of haar model elke periode aanpast. Er moet steeds opnieuw worden bepaald wat het niveau van de inputs is en war de vraag en prijs zijn.

De Solver functie in Excel maakt onderdeel uit van een commercieel softwareprogramma voor optimalisatie. Deze functie heeft problemen met functies die niet lineair zijn en niet ‘smooth’ zijn. Een non-smooth probleem is wanneer je te maken hebt met een niet lineair model met ‘scherpe randjes’ of discontinuïteiten die moeilijk op te lossen zijn. Probeer functies als IF, MIN, MAX en ABS in Solver modellen te vermijden. Door het gebruik van deze functies is het moeilijker het model te optimaliseren.\

Wat is een productieproces model?

Als men de optimale methode van een productieproces wil vaststellen dan wordt vaak gebruikt gemaakt van lineair programmeren. Vooral in de olie-industrie wordt veel gewerkt met lineair programmeren. Veel olie raffinaderijen gebruiken lineair programmering om hun productie operaties goed te managen. In deze modellen zien we vaak dat sommige van de geproduceerde producten input zijn voor de productie van andere producten.

De beslissingsvariabelen moeten de kleinste set variabelen zijn die al het andere bepalen. Wanneer de onderneming besloten heeft hoeveel en wat er geproduceerd moet worden, is het andere minder belangrijk. De hoeveelheid van een product en welk product zijn de belangrijkste beslissingen die genomen moeten worden.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor een productieproces model besproken. Het gaat in dit voorbeeld over een farmaceutische onderneming die verschillende soorten medicijnen produceert.

Het is noodzakelijk in een spreadsheet model dat je alles wat geproduceerd is ergens voor gebruikt. De geproduceerde eenheden kunnen verkocht worden of het kan gebruikt worden voor de productie van een ander product. De balans vergelijking voor ieder product wordt als volgt geschreven:

de geproduceerde hoeveelheid = de hoeveelheid die gebruikt wordt om een ander medicijn te produceren + de hoeveelheid die verkocht is

Voor het productieproces model kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Input en range names invoeren.
2. Het invullen van de geproduceerde eenheden.
3. Berekenen hoeveel eenheden gebruikt worden om andere producten te produceren.

De transpose functie is een handige functie om kolomreeksen te transformeren naar rijreeksen en andersom. De array functie is een Excel functie zoals transpose, dat een hele reeks in één keer vult.

Wat is een financieel model?

Veel optimalisatieproblemen die vaak worden besproken gaan over activiteiten/operaties. Voorbeelden hiervan zijn roosters, logistiek en gezamenlijke planningen. Optimalisatie en andere wetenschappelijk managementmethoden worden ook gebruikt in financiële gebieden. Typische toepassingen van lineair programmeren in de financiële wereld hebben betrekken op investeringsstrategie en pensioenfondsmanagement.

In deze paragraaf wordt het financiële model besproken. We kijken naar een onderneming die op zoek is naar een optimale investeringsstrategie. In een investerings- of financieel model zijn er vaak meerdere (gelijkwaardige) manieren om beperkingen te constateren. Een onderneming kiest de manier die het beste bij de onderneming past.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het financiële- of investeringsmodel besproken.

Voor het financiële of investeringsmodel kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

• Input en range names invoeren.

• Het bepalen van de hoeveelheid geld die geïnvesteerd moet worden..

• De cashflows en de kasbalans worden berekend.

• De hoeveelheid kasgeld aan het einde van de periode wordt berekend.

Wat wordt bedoeld met DEA?

De afkorting DEA staat voor ‘Data Envelopment Analysis’ en het is een methode die gebruikt kan worden om te bepalen of een onderneming efficiënt opereert. Daarnaast kan men met deze methode bepalen of de input ten aanzien van de productie van de output efficiënt is. Denk bijvoorbeeld aan ziekenhuizen, universiteiten, restaurants en andere ondernemingen. DEA kan in het bijzonder goed gebruikt worden bij inefficiënte ondernemingen. ‘Benchmarking’ en ‘the best practice analysis’ zijn een algemeen geaccepteerd concept in het bedrijfsleven. Aan de had van data envelopment analysis methode kan je de de best practices identificeren. Daarnaast biedt het nieuwe inzichten die leiden tot voordelen die niet op een andere manier behaald kunnen worden.

We kijken naar een data envelopment analysis in de ziekenhuis-industrie. In dit voorbeeld wordt de efficiëntie van het ziekenhuis berekend door de waarde van de output van het ziekenhuis te delen door de waarde van de input van het ziekenhuis. De waarde van de input en de output wordt bepaald door het ziekenhuis te vergelijken met andere ziekenhuizen.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het data envelopment analysis model besproken.

Voor het data envelopment analysis model kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Input en range namen invoeren
2. Het selecteren van een ziekenhuis.
3. De kosten van de input per eenheid en de prijs van de output bepalen en invoeren.
4. De totale kosten van de input en de waarde van de output berekenen.
5. De totale kosten van de input en de waarde van de output van het geselecteerde ziekenhuis berekenen.

Wat is de conclusie?

Er zijn een aantal onderdelen die in de meeste spreadsheet optimalisatiemodellen gebruikt dienen te worden:

• Bepaal wat de veranderende cellen, de cellen die de waarden van de beslissingsvariabelen bevatten, zijn.
• Maak het spreadsheetmodel zo, dat het eenvoudig is om er berekeningen mee te maken van wat je wilt maximaliseren of minimaliseren.
• Maak het spreadsheetmodel zo, dat de relatie tussen de cellen in de spreadsheet en de probleembeperkingen duidelijk zichtbaar is.
• Zorg dat je model leesbaar is.
• Denk er aan dat lineaire programmeringsmodellen vaak uiteenvallen in verschillende categorieën.

Wat houdt een netwerk model in? - Chapter 6

Een netwerk model is een groep van optimalisatiemodellen dat grafisch kan worden weergegeven als een netwerk. Er zijn veel problemen die kunnen worden weergeven als een netwerkmodel.

Hoe ziet dit hoofdstuk eruit?

Veel optimalisatiemodellen zien er uit als een grafisch netwerk. Er zijn drie redenen waarom netwerkmodellen anders zijn dan andere lineaire programmeringsmodellen:

• Door de netwerkstructuur van deze modellen, kunnen de modellen grafisch weergeven worden zodat het intuïtief is voor de gebruikers.
• Veel problemen die bedrijven hebben kunnen weergeven worden in een netwerkmodel.
• Voor deze netwerkmodellen heeft men speciale oplossingstechnieken ontwikkeld.

Wat wordt bedoeld met een transportmodel?

De meeste bedrijven produceren hun producten op de plaats waar ze zelf gevestigd zijn, de ‘oorsprong’ genoemd. Na de productie worden de producten naar verschillende klantlocaties vervoerd, dit wordt de bestemming genoemd. Elke ‘oorsprong’ kan niet eindeloos producten vervoeren, er zit een limiet op de hoeveelheid die ze kunnen vervoeren. Naar elke klantlocatie moet een bepaalde vereiste hoeveelheid van het product ontvangen. Met behulp van een spreadsheet optimalisatiemodel kan bepaald worden tegen welke minimale kosten aan de vraag van de klant kan worden voldaan.

We gaan ervan uit dat de weg van de oorsprong naar de bestemming de enige mogelijke weg van transport is. Het is niet mogelijk om producten tussen verschillende oorsprongen of verschillende bestemmingen te vervoeren. Dit transportprobleem is al in veel andere wetenschappelijk studies uitgewerkt tot een management wetenschapsmodel.

Om het transportmodel beter te begrijpen kijken we naar een voorbeeld dat gaat over schepen die vervoerd worden van de fabriek naar bepaalde delen van een land. In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het transport model besproken.

Een transportmodel kan als een grafisch netwerk worden weergeven. Een netwerk model is een groep van optimalisatiemodellen dat grafisch kan worden weergegeven als een netwerk. Een netwerkdiagram van een transportmodel gaat vaak over het vervoer van goederen van de ene locatie naar een andere locatie tegen zo laag mogelijke kosten. Dit is echter niet altijd zo. Het model bestaat uit nodes en arcs. Nodes zijn de cirkels in een netwerk representatie en representeren vaak de geografische locaties van een transportmodel. Arcs zijn pijlen in een netwerkrepresentatie. Deze pijlen komen vaak overeen met routes die de locaties met elkaar verbinden. Bij de pijlen staan bedragen, deze worden flows genoemd. De flows zijn de beslissingsvariabelen die de bedragen langs de ‘arcs’ representeren.

Voor het transportmodel kan een spreadsheet model gemaakt worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. De input wordt ingevoerd.
2. Het plan van verzending wordt gemaakt.
3. Het aantal verzendingen per fabriek berekenen.
4. De hoeveelheid die ontvangen wordt in iedere regio berekenen.
5. De totale verzendkosten berekenen.

Wat zijn de nadelen?

• We kunnen op twee manieren kijken naar de consumentenvraag in een transportmodel: gekeken kan worden naar wat de minimale vraag van de klant is en daarnaast of de vraag van de klant gezien wordt als de een maximale verkoop kwantiteit.
• Als de vraag en het aanbod van een transportprobleem integer zijn, dan is de optimale Solver-oplossing automatisch een integere waarde.
• Transportkosten zijn meestal non-lineair en dat is te wijten aan de kwantiteitskortingen.
• Voor het oplossen van transport problemen gebruikt Excel’s Solver de simplexmethode.
• Het gebruik van de SUMIF-methode kan inefficiënt zijn voor grote modellen. Dit beweren LeBlanc en Galbreht. Zij adviseren om een macro te schrijven in VBA om de juiste stromen in en uit knooppunten samen te vatten. De SUMIF functie is de waarde van de som in één reeks die overeen komt met de cellen in een gerelateerde reeks die voldoet aan een criterium.

Wat zijn opdrachtmodellen?

Als je leden van een set één op één wil toewijzen aan leden van een andere set dan kan gebruikt gemaakt worden van toedelingsmodellen/opdrachtmodellen. Deze indeling gebeurt tegen zo laag mogelijke kosten of in zo weinig mogelijk tijd. Dit model is een optimalisatiemodel waarbij leden van één set (bijvoorbeeld medewerkers) optimaal moeten worden toegewezen aan de leden van een andere set (bijvoorbeeld banen). Het prototype van een opdrachtmodel is die van machines naar banen. We kijken naar een voorbeeld dat gaat over het toewijzen van schoolbussen op een bepaalde route. Het netwerk model wordt hier gebruikt om schoolbussen een bepaalde route toe te wijzen zodat het de stad zo min mogelijk geld kost.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het transport model besproken.

Voor dit opdrachtmodel wordt een spreadsheet model gemaakt. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. De lijst van arcs.
2. De input moet ingevoerd worden.
3. Het aantal opdrachten. Een waarde van 0 betekent dat de opdracht niet is uitgevoerd en een waarde van 1 betekent dat de opdracht wel is uitgevoerd.
4. De instromingen en de uitstromingen. Deze corresponderen met de nodes uit de diagram.
5. De vereisten per flow.
6. De totale kosten.

Bestaan er ook andere logistieke modellen?

Men wil vaak goederen vervoeren van een locatie naar een andere locatie tegen zo laag mogelijke kosten. Hiervoor worden netwerkmodellen gebruikt. Echter gaat het vervoeren van goederen niet zonder beperkingen.

Het algemene logistieke probleem is in principe hetzelfde als het transportprobleem, op twee verschillen na:

• Capaciteiten van een ‘arc’ zijn meestal opgelegd op een paar of alle op ‘arcs’. Dit worden eenvoudige bovengrens beperkingen in het model genoemd.
• De instroom en de uitstroom kunnen geassocieerd worden met een elke ‘node’. ‘Nodes’ zijn categorieën zoals de bestemming, de oorsprong en een vervoerspunt.

Een logistiek model heeft beperkingen. Een eerste type beperking is de beperkingen van de ‘arc’-capaciteit. En het tweede type gaat over de beperkingen van de stroombalans.

Deze beperkingen zijn te visualiseren aan de hand van een grafische representatie van een netwerk. Dit kan worden gedaan door te kijken naar de nodes; welke stromingen en pijlen er in en uit de node komen. We zullen dit verder uitleggen aan de hand van een voorbeeld. Het voorbeeld gaat over het produceren en verzenden van producten. Het doel is om de producten van de leveranciers naar de klanten te vervoeren tegen zo laag mogelijke kosten.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor dit model besproken.

Voor dit opdrachtmodel wordt een spreadsheet model gemaakt. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. De oorsprong locaties en de bestemmingen moeten bepaald worden.
2. De input moet ingevoerd worden.
3. De flows op een arc.
4. De capaciteiten van de arc.
5. De flow balance beperkingen.
6. De totale verzendkosten.

Flow balance constraints zijn de beperkingen die ervoor zorgen dat het aantal producten dat naar een bepaald knooppunt wordt gezonden gelijk is aan de hoeveelheid producten dat uitgezonden is, behalve de hoeveelheden die beginnen of eindigen bij het knooppunt.

De countif functie is een telwaarde in een reeks dat voldoet aan een criterium. Deze wordt gebruikt bij een gevoeligheidsanalyse. De syntax is als volgt: =COUNTIF(range,criteria).

Wat zijn de nadelen?

• Een nadeel is dat voor het oplossen van logistieke modellen, Excel’s Solver gebruik maakt van de simplexmethode. Deze methode kan dit soort logistieke modellen vereenvoudigen. De netwerk simplexmethode is meer efficiënt dan de gewone simplexmethode.
• Het model heeft een oplossing met integere stromingen als de ‘nodes’ die corresponderen met de vraag en het aanbod, en de arc capaciteiten integer zijn.

Wat wordt bedoeld met kortste weg modellen?

Een kortste weg model is een netwerk model. In dit model wil je via de kortste weg of tegen zo laag mogelijke kosten van een oorsprong naar een bestemming komen. De doelstelling is in veel toepassingen het vinden van de kortste weg tussen twee punten in een bepaald netwerk. We gebruiken een voorbeeld dat gaat over het vinden van de kortste wandelroute in een bepaalde straat.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het kortste weg model besproken.

Voor dit opdrachtmodel wordt een spreadsheet model gemaakt. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Een lijst maken van de arcs.
2. De netto uitstromen bepalen.
3. De totale afstand berekenen.

Wat zijn de nadelen?

De monetaire waardes nemen in dit model niet toe na verloop van tijd. Dit komt doordat er geen inflatie is opgenomen in dit model.

Hoe ziet het netwerk model in de luchtvaartindustrie eruit?

Ook in de luchtvaartindustrie wordt gebruik gemaakt van netwerk modellen. Zo kan er bijvoorbeeld een roostermodel worden gemaakt voor de bemanning of het wordt gebruikt om een vluchtrooster te maken. Een vluchtrooster kan worden gemaakt zoals een opdrachtmodel wordt gemaakt.

Wat is de conclusie?

We hebben verschillende netwerkmodellen besproken in dit hoofdstuk. Deze netwerkmodellen worden gebruikt om managementproblemen op te lossen. Veel van deze problemen hebben te maken met de logistiek. Denk bijvoorbeeld aan de transport van goederen van de ene locatie naar de andere. Maar de problemen kunnen ook gaan over dingen die zich niet fysiek verplaatsen. Denk bijvoorbeeld aan vervangingsproblemen ten aanzien van machines.

Er zijn twee voordelen van een probleem formuleren als een netwerk probleem:

• Snelle algoritmes met een speciaal doel zijn beschikbaar voor verschillende vormen van netwerkmodellen.
• De grafische representatie van netwerkmodellen maakt het vaak makkelijker om ze te visualiseren.

Wat zijn non-lineaire optimalisatiemodellen? - Chapter 7

Niet-lineaire optimalisatiemodellen zijn optimalisatiemodellen waarbij de beperkingen en doelstellingen niet lineair zijn.

Hoe ziet dit hoofdstuk eruit?

In dit hoofdstuk kijken we naar complexe optimalisatieproblemen. In deze modellen zijn de beperkingen en de doelstellingen vaak niet-lineair. Voor deze problemen gebruiken we non lineair programmeren, ook wel NLP afgekort.

Er zijn verschillende redenen waardoor een model non-lineair kan worden. Een aantal redenen zijn:

• De schaalopbrengsten zijn niet constant. Dit betekend dat de relatie tussen sommige input en sommige output niet lineair is.
• In prijsmodellen is de inkomst gelijk aan de prijs vermenigvuldigd met de verkochte kwantiteit. De prijs is de besluitvariabele.

Wat is het basisidee over non-lineaire optimalisatie?

1. Wanneer we een oplossing hebben die in zijn omgeving de beste oplossing is, maar misschien niet de allerbeste oplossing is, dan spreken we van een ‘local optimum’. Een oplossing die gegarandeerd de beste oplossing is, noemen we ‘global optimum’. Voor sommige non lineair programmeringsproblemen kan Solver vastlopen op een ‘local optimum’ en niet in staat zijn om het ‘global optimum’ te vinden. .
2. Een functie die een helling heeft die altijd niet-afnemend is noemen we een ‘convex function’ en een functie met een niet-toenemende helling noemen we een ‘concave function’.

De volgende functies zijn convex:

• Y = c x^a, wanneer a groter of gelijk is aan 1, c groter of gelijk is aan 0 en x groter of gelijk is aan 0.
• Y = c e^x, wanneer c groter of gelijk is aan 0.

Als we een functie hebben met één met een helling die altijd niet-toenemend is dan spreken we van een concave functie. Dit houdt in dat de lijn tussen twee willekeurige punten zich altijd onder de curve bevindt.

De volgende functies zijn concave functies:

• Y = c In(x), wanneer c groter of gelijk is aan 0 en x groter is dan 0.
• Y = cx^, a wanneer a kleiner of gelijk is aan 1 en groter is dan 0. Ook moet x groter of gelijk zijn aan 0.

Wat houdt de garantie van de Solver in?

Bij niet-lineair programmeren kan Solver de oplossing berekenen maar er kan niet gegarandeerd worden dat de oplossing zal stoppen bij het globale optimum. Dit wordt optimality guarantee genoemd.

Er zijn een aantal problemen die Solver altijd op kan lossen. Het gaat hierbij om de voorwaarden voor problemen aangaande maximalisatie en minimalisatie.

Solver vindt (indien het bestaat) de ‘global maximum’ indien er sprake is van:

• Een concave doelfunctie of als het logaritme van de doelfunctie concave is.
• De beperkingen lineair zijn.

Solver vindt (indien het bestaat) het ‘global minimum’ indien er sprake is van:

• Een convexe doelfunctie
• De beperkingen lineair zijn

De multistart optie is een nieuwe optie in Solver voor Excel 2010 die automatisch optimaliseert vanaf een getal van het startpunt en daarnaast de beste oplossing biedt.

Wat is prijsmodelleren?

Het bepalen van een prijs voor producten en diensten is voor veel bedrijven een lastig besluit. Er zijn verschillende soorten van prijszetting die gebruikt kunnen worden. We gebruiken een voorbeeld waarbij het gaat over het maken van prijsbeslissingen bij het fabriceren en het verkopen van bepaalde producten. Het doel is om de juiste prijs te vinden die de winst van een onderneming maximaliseert door gebruik te maken van een niet-lineaire vraag functie.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor prijsmodellen besproken.

De vraag functie is een functie die de relatie tussen de prijs en de vraag naar een product weergeeft. Als de prijs verandert dan heeft dit een invloed op de vraag naar het product. Hoe gevoelig de vraag reageert op veranderingen in de prijs wordt gemeten door de elasticiteit van de vraag. De constante elasticiteit vraag functie is een vraagfunctie waarbij de elasticiteit constant is voor elke prijs.

Voor dit prijsmodel kan een spreadsheet ontwikkeld worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. Input moet ingevuld worden in Excel.
2. De prijs moet bepaald worden en ingevoerd.
3. De vraag moet berekend worden met behulp van de vraagfunctie.
4. De winst kan berekend worden aan de hand van de prijs min de kosten per eenheid vermenigvuldigd met de vraag.

Als de Simplex lineair programmeringsmethode gebruikt wordt voor elk model uit dit hoofdstuk, zullen er errors optreden. Dit komt omdat de Solver automatisch deze modellen herkend die non lineair zijn.

Wat wordt bedoeld met een reclamerespons en een selectiemodel?

Eerder hebben we gekeken naar een toewijzingsmodel voor reclame. Het probleem hier was bepalen van het aantal uitzendingen van een reclame spot voor en na verschillende televisie programma’s om het vereiste aantal kijkers te bereiken. De reclamerespons wordt gedefinieerd als het aantal uitzendingen. Dit is lineair aan het aantal advertenties. Als één advertentie één miljoen keer wordt uitgezonden, zullen vijf advertenties vijf miljoen keer worden uitgezonden. Er kan een dalend marginaal effect optreden. Dit houdt in dat iedere extra advertentie leidt tot minder extra uitzendingen naarmate het aantal advertenties toeneemt. Dus de derde advertentie leidt to meer extra uitzendingen dan de vierde extra advertentie. Het maximaal aantal reclamespots dat leidt tot voordelen voor de onderneming is in dit geval bereikt.

Een bedrijf kan gebruik maken van historische data om zijn reclamerespons in te schatten. Dit is een non-lineair optimalisatiemodel. Er wordt dan een niet-lineair optimalisatie model gebruikt om een best passende response functie te bepalen op basis van de historische data. Deze data kan in een grafiek grafisch worden weergeven. De verschillende data punten in de grafiek kunnen worden verbonden door middel van een vloeiende lijn. Dit wordt een scatter chart genoemd. Als je een scatter chart maakt van een adverteermodel dan is in de grafiek te zien dat er niet-lineair patroon is.

De volgende functie wordt gebruikt voor het reclamemodel: f (n) = a (1 – e^(-bn))

n = het aantal geplaatste advertenties
a / b = constante factoren (dit zijn het aantal uitzendingen)
f(n) = de totale resulterende blootstelling

Deze vergelijking is slechts een van de vele non lineaire functies die het gedrag tentoonstelt dat men wil. De Solver kan gebruikt worden om de constanten a en b te vinden. Deze constanten minimaliseren de som van de ‘squared prediction errors’. Dit is een populaire methode om een passende curve te maken van een aantal punten. De fouten (errors) zijn de verschillen tussen de geobserveerde en de voorspelde waarden.

Wat is een faciliteit locatiemodel?

Het doel van een faciliteit locatiemodel is om de faciliteit (bijvoorbeeld een shoppingmal) zo te lokaliseren dat de totale afstand die afgelegen moet worden zo klein mogelijk is terwijl wel wordt voldaan aan de vereiste diensten. Problemen met de locaties kunnen vaak opgelost worden met behulp van een non lineair programmeringsmodel. Het doel is om de juiste locatie te vinden met behulp van een non lineair programmeringsmodel. Dit model minimaliseert de totale jaarlijkse afstand die afgelegd moet worden van de shoppingmal naar de klant.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het locatie model besproken.

Een unconstrained model is een optimalisatiemodel zonder beperkingen. Voor dit locatiemodel kan een spreadsheet ontwikkeld worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. De inputs moeten weergegeven worden.
2. De coördinaten van de shoppingmal
3. De afstand van de shoppingmal naar de klant.
4. De jaarlijkse afstand per jaar in totaal.

De SUMXMY2 functie wordt gebruikt om de afstand tussen twee punten te berekenen. In dit geval kan deze functie gebruikt worden om de afstand van de shoppingmal naar de klant te berekenen.
Wanneer het aantal verzendingen naar iedere klant toeneemt, zal de optimale locatie van de shoppingmal dichterbij de klant komen.

Er bestaat ook een model om een sportteam te beoordelen. Veel sportfans vragen zich altijd af welk team het beste is in een bepaalde sport. Het programma Solver in Excel kan gebruikt worden om uit te rekenen welk sportteam in welk sportseizoen beter is of was.

Wat is een portfolio optimalisatiemodel?

Het volgende model dat besproken wordt is het portfolio optimalisatie model. Fiscale analisten moeten bepalen welk portfolio de hoogste opbrengsten levert tegen de laagste kosten. Halverwege de vorige eeuw kwam Harry Markowitz met een manier om dit te bepalen. Voor zijn uitwerking van dit probleem kreeg hij in 1990 de Nobelprijs voor de economie. Zijn theorie is de basis voor veel ‘asset allocation’ modellen. De asset allocatie modellen worden gebruikt om te bepalen hoeveel assets geïnvesteerd kunnen worden in bijvoorbeeld obligaties. Om met asset allocatie modellen te werken is het belangrijk om eerst verschillende formules te weten die betrekking hebben op asset allocatie.

De weighted sums of random variables is een belangrijke kwantiteit in een financiële portfolioanalyse. Portfoliomodellen proberen om de verwachte teruggave te maximaliseren en de variaties in de teruggave (de risico’s) te minimaliseren. De formules hebben betrekking op de correlaties van de covariaties onder de investeringsterugkoppelingen.

Wanneer Ri = 0,20 dan is een dollar geïnvesteerd in het begin van het jaar 1,20 aan het einde van het jaar. Wanneer Ri=−0,30, dan is een doller geïnvesteerd in het begin van het jaar 0.7 aan het einde van het jaar. De variabele n is het aantal investeringen dat beschikbaar is.

We nemen aan dat al het beschikbare geld wordt geïnvesteerd. Dit leidt tot de volgende aanname dat x1 + x2 + … + xn = 1

Het jaarlijkse rendement op de investering wordt weergegeven door de random variabele Rp. De letter p staat voor portofolio. De volgende formule wordt gebruikt:

Rp = R1x1 + R2x2 + …. + Rnxn

µi is de verwachte waarde en tevens het gemiddelde van Ri. Sigma i (σi) is de variantie van Ri. Dit betekent ook dat sigma kwadraat i ()σ 2i) de standaarddeviatie is van Ri. Pij is de correlatie tussen Pi en Pj.

Investeerders kiezen portfolio’s met een hoog rendement (een hoge return) en een portfolio met een laag risico. Het rendement wordt bepaald door de verwachte waarde. Het risico wordt bepaald aan de hand van de variantie.

De werkelijke verwachte waardes, de varianties en de correlaties zijn nooit gegeven. Daarom moeten deze geschat worden. Met de historische data kan de volgende procedure gevolgd worden:

1. Schat µi aan de hand van Xi, het gemiddelde van het rendement op de investering die in de voorafgaande jaren is gedaan. De Excel functie AVERAGE kan gebruikt worden om Xi te berekenen.
2. Schat σ2i aan de hand van s2i, de variantie van het rendement op de investering. De Excel functie VAR kan gebruikt worden om s2i te berekenen.
3. Schat σi aan de hand van si, de standaarddeviatie van het rendement op de investering. De Excel functie STDEV wordt gebruikt om si te berekenen.
4. Schat Pij aan de hand van rij, de correlatie tussen het rendement van twee investeringen in het verleden. De Excel functie CORREL kan gebruikt worden om rij te berekenen.

Nu kan het gemiddelde en de variantie van het rendement op de portfolio berekend worden. De covariantie duidt de relaties tussen de variabelen aan. Covarianties worden echter in tegenstelling tot correlaties beïnvloed door de eenheden waarin de variabelen gemeten worden.

Een matrix is een rechthoekige rangschikking van nummers. Deze is meestal bruikbaar om een complexe sommering van formules te vereenvoudigen. Een matrix is een i x j matrix waarbij i de rijen zijn en j de kolommen.

Voorbeeld:

A = (6 5 4)

(4 3 6)

Dit is een 2 x 3 matrix.

B = (1 2)

(3 9)

(3 6)

Dit is een 3 x 2 matrix.

Wanneer een matrix slechts één enkele rij heeft, wordt dit een row vector genoemd. Wanneer een matrix één enkele kolom heeft, wordt dit een column vector genoemd.

Het is mogelijk om het product van twee matrixen te nemen. Dit kan alleen wanneer een matrix A hetzelfde aantal kolommen heeft als B rijden heeft. Dit product wordt geschreven als AB. Bijvoorbeeld:

A = (1 2 3)

(2 4 5)

B = (1 2)

(2 4)

(5 6)

Het product AB is de volgende 2 x 2 matrix:

2. = ( 1 (1) + 2 (3) + 3 (5) 1 (2) + 2 (4) + 3 (6) ) = (22 28)

( 2 (1) + 4 (3) + 5 (5) 2 (2) + 4 (4) + 5 (6) ) (39 50)

De MMULT functie is een reeks functies waardoor het mogelijk is om twee matrices te vermenigvuldigen in een opgeslagen Excel-reeks.

Het volgende model dat besproken wordt is het portfolio selectiemodel. Als het gaat om het opstellen van portfolios’s dan willen investeerders vaak de volgende twee dingen:

• Een zo hoog mogelijk rendement
• Een lage variantie om het risico laag te houden

We hebben hier te maken met een probleem met twee doelstellingen. Om dit op te lossen kan je een minimaal verwacht rendement vereisen en vervolgens de variantie minimaliseren. Het doel is de NLP te gebruiken om de portfolio te vinden dat het minste risico heeft, terwijl een bepaald rendement moet worden behaald. De optimale oplossing bestaat uit verschillende onderdelen die geïnvesteerd moeten worden in diverse effecten. Deze onderdelen zijn relevant los van het totaal geïnvesteerde bedrag.

In de tabel worden de variabelen en beperkingen voor het portfolio selectie model besproken.

Voor dit portfolio selectiemodel kan een spreadsheet ontwikkeld worden. De volgende stappen moeten ondernomen worden:

1. De input moet bepaald worden.
2. De waardes van de diverse onderdelen moeten vastgesteld worden.
3. Het verwachte jaarlijkse rendement moet berekend worden.
4. De covariantie matrix moet worden berekend.
5. De portfolio variantie wordt berekend.
6. De standaarddeviatie van de portfolio wordt bepaald.

Het raden van ‘the best allocation’ in portfolio optimalisatie modellen is moeilijk. Dit komt omdat de allocatie niet alleen afhankelijk is van het verwachte rendement en de standaarddeviatie van het rendement, maar ook van de correlaties tussen de verschillende rendementen.

Er kan een grafische weergave gemaakt worden van het risico versus het rendement. Financiële analisten plaatsen het risico op de horizontale as en het verwachte rendement op de verticale as. De curve in deze grafiek wordt de efficient frontier genoemd. Deze curve toont wat het grootste mogelijke verwachte portfolio rendement is voor een bepaald risico niveau. De punten die op de efficient frontier liggen zijn de portfolio's die daadwerkelijk bereikt kunnen worden. Wanneer er een punt wordt gekozen dat onder de lijn ligt dan is het verwachte portfolio rendement lager en dus is deze portfolio minder aantrekkelijk dan eentje die op de lijn ligt. Punten boven deze lijn kunnen echter niet bereikt worden. Een investeerder kiest het liefst een punt op de efficient frontier.

Hoe wordt bèta geschat?

Tot slot wordt de bèta van de voorraad geschat. Het inschatten van het rendement van een investering is voor fiscalisten van groot belang. In deze situatie is het rendement van een investering het percentage verandering in de waarde over een bepaalde tijdsperiode. Dit word beschreven in de volgende formule:

Rs = α + β rm + ε

Rs is het rendement op aandelen, rm is het marktrendement, ε is een fout term. Tot slot zijn α en β de constanten in de formule die geschat moeten worden. Het is nooit bekend wat de waarde van bèta is en daarom moet je deze waarde schatten. Als het marktrendement met 1% stijgt, dan neemt het rendement op de aandelen met β% toe. Volgens het capital asset pricing model (CAPM) zijn aandelen met een grotere bèta risicovoller. Daarom is er voor deze aandelen een grotere investering nodig.

Naar aanleiding van de formules kunnen de volgende vier criteria gesteld worden bij het kiezen van de schattingen:

• De som van de kwadraatfouten (kleinste kwadraten). Voor alle observaties willen we de som van de ‘squared errors’ minimaliseren. We willen de a en b vinden die de som van de squared errors minimaliseren. Dit kan worden gedaan met Solver.
• De gewogen som van de kwadraatfouten. In dit criteria is het zo dat de laatst gedane observaties sterker wegen dan de observaties die langer geleden zijn gedaan.
• De som van de absolute fouten (SAE). Dit is een alternatief criteria om de ‘squared errors’ bij elkaar op te tellen om de fouten klein te maken.
• De minimax. Deze functie minimaliseert de grootste fout.

Leeswijzer bij Management Science Modeling van Winston & Albright

Wat zijn de verschillen tussen de 1e en de 2e druk (custom edition)?

• De custom edition van dit boek is speciaal samengesteld voor studenten bedrijfskunde aan de Rijksuniversiteit Groningen (RUG) door J. Riezenbos, docent aan de RUG.
• Inhoudelijk zijn er geen verschillen tussen de 1e en de 2e druk, beide boeken zijn gebaseerd op de 4e druk van het originele boek (Practical Management Science).
• Beide drukken bevatten een samenstelling van de zelfde hoofdstukken uit het originele boek.
• Er zijn alleen kleine verschillen in de volgorde van de onderwerpen en de opmaak van het boek is veranderd.

Wat zijn de verschillen tussen de 2e en de 3e druk (custom edition)?

• De 3e custom editie is gebaseerd op de 6e druk van het originele boek
• De (kern van de) inhoud van de hoofdstukken zoals behandeld in de 3e custom editie is niet veranderd