Onderwijs- en Leerproblemen: Rekenen

Samenvattingen rond het thema 'Rekenen' binnne de onderwijs- en leerproblemen

Artikel Hofstetter - Geschiedenis van het rekenonderwijs

In de jaren vijftig en zestig ging rekenen op de lagere school op traditionele wijze. Maar er was ontevredenheid, zowel nationaal als internationaal, er was sprake van inhoudelijke en didactische verstarring en onvoldoende resultaten.

1957 Lancering Spoetnik door Sovjet-Unie

1959 conferentie OEEC in Parijs: er was een drastische hervorming van het wiskundeonderwijs. De nadruk lag op wiskunde als structuur. Economische en technische vooruitgang als maatschappelijk belang. Verzamelingenleer, logica moesten de kern van het curriculum worden (New Math). Deze conferentie heeft grote invloed gehad op wiskundeonderwijs in Europa en Amerika. Beleidsmakers, politici en lerarenorganisaties schaarden zich achter deze ontwikkelingen.

1961: De Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde (CMLW) werd opgericht, die de ideeën van de conferentie in Parijs moesten vertalen in leerplanwijzigingen. Binnen de CMLW werd de werkgroep Wiskobas (wiskunde basisschool) opgericht voor verbetering van het rekenonderwijs.

1971 Wiskobas wordt onderdeel van een nieuw Instituut voor Ontwikkeling van Wiskunde-Onderwijs (IOWO), hoogleraar: prof. Dr. Hans Freudenthal. Opdracht: ontwikkelen van een nieuw leerplan voor de basisschool, een nieuw programma voor de Pabo en het opzetten van bijscholing van leraren basisonderwijs. Het Wiskobas-team ontwikkelde een nieuw leerplan, dat werd neergelegd in elf leerplanpublicaties (1975-1980)

Aanvankelijk was in dit programma de invloed van New Math nog merkbaar, maar al spoedig sloegen de ontwikkelaars een eigen weg in. Basisvaardigheden van het rekenen bleven een belangrijk doel, hoewel voor de cijferalgoritmen gedifferentieerde doelen werden aanbevolen. Nieuwe elementen waren handig rekenen, schattend rekenen, meten en meetkunde.

In 1979 voerde prof. Dr. Adri Treffers de term ‘realistisch reken- en wiskundeonderwijs’ in, omdat in dit nieuwe rekenen het leren veelal begon in contexten waar de leerlingen zich iets bij konden voorstellen. Deze contexten moesten de kinderen in staat stellen zelf kennis te construeren en het rekenen betekenisvoller maken.

Gevolgen:

• Leerboekauteurs startten met het omzetten ideeën in nieuwe leerboeken
• Leraren moesten zich bekwamen door middel van een uitgebreid nascholingsprogramma
• Leraren aan de toenmalige Pabo’s moesten de nascholing gaan verzorgen

Het bleek echter voor leraren niet eenvoudig om de ambitieuze idealen in de praktijk toe te passen, er werden vraagtekens gezet bij de haalbaarheid.

Er waren verschillende ontwikkelingen in het onderwijs die de invoering van het realistisch rekenen beïnvloedden:

• Eind jaren zeventig: wijziging structuur basisonderwijs. 1984: fusie lager onderwijs en kleuteronderwijs tot basisonderwijs; Op Pabo veranderde rol en waardering voor vakdocenten. Leraar pedagogiek werd de spil van de opleiding. Lesbezoek op stagescholen door vakleraren verdween nagenoeg en de beschikbare tijd voor rekenen en andere vakken verminderde sterk

• Op basisschool: aandacht van de leraren werd door een grotere diversiteit van leerlingen voor een breder scala aan problemen meer gevraagd dan voorheen. Aandacht voor het vak rekenen verdween daardoor soms naar de achtergrond.

• Intrede zelfstandig werken: verzamelnaam voor onderwijsvernieuwingen waarbij leerlingen individueel en zelfstandig hun leertraject afleggen.

• De opkomst van de rekenmachine: zeer verschillende opvattingen, van niet meer hoeven cijferen tot verbieden van rekenmachine.

• Er werden kerndoelen geformuleerd, waaraan het traditionele rekenonderwijs niet voldeed. Scholen die met een traditionele methode lesgaven zagen zich genoodzaakt hun methoden aan te passen.

• Er verschenen steeds meer nieuwe rekenboeken, alle met het predicaat ‘realistisch’, maar met onderling grote verschillen.

• 2002: invoering euro, er waren uitsluitend nog realistische rekenboeken op de markt.

Het hanteren van een realistisch rekenboek betekende echter niet dat het daarmee uitgevoerde rekenonderwijs realistisch was. De manier waarop leraren daarmee omgingen verschilde enorm.

2007 Panamaconferentie: prof. Dr. Jan van de Craats stelt de uitgangspunten en de kwaliteit van het realistische rekenonderwijs ter discussie. Dit maakt veel reacties los. Een maatschappelijke discussie over het rekenonderwijs wordt via de media gevoerd. Wat de uitkomst ook zal zijn, meer aandacht voor rekenvaardigheid en rekendidactiek zal op den duur gunstig zijn voor de kwaliteit van het rekenonderwijs.

Hoe staat nu ons rekenonderwijs ervoor?

2008: aangemoedigd door het ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap heeft de Akademie van Wetenschappen een commissie geïnstalleerd o.l.v. Jan Karel Lenstra, directeur van het Centrum Wiskunde & Informatica in Amsterdam. De commissie had de volgende opdracht: Breng in kaart wat er bekend is over de relatie tussen rekendidactiek en rekenvaardigheid op grond van bestaande inhoudelijke inzichten en empirisch feitenmateriaal. Geef daarbij aan hoe ruimte kan worden geschapen voor leraren en ouders om te kiezen op basis van informatie over dezelfde relatie tussen rekendidactiek en effect.

Belangrijkste conclusies:

1. De bezorgdheid over de rekenvaardigheid van basisschoolleerlingen is op zijn plaats. Nederland dreigt zijn sterke internationale positie te verliezen. Achteruitgang bij bewerkingen met grotere getallen en kommagetallen worden niet gerechtvaardigd door vooruitgang bij onderdelen als getalbegrip en schattend rekenen. Het rekenpeil kan en moet over de gehele linie omhoog.

2. Het publieke debat overdrijft de tegenstelling tussen de traditionele en de realistische rekendidactiek en gaat bovendien over het verkeerde onderwerp, namelijk een vermeend verschil in het effect van beide didactieken. Er is geen overtuigend verschil aangetoond.

3. De sleutel tot verbetering van de rekenvaardigheid ligt in het niveau van de leraar. De opleiding en nascholing van de leraar zijn in ernstige mate geërodeerd. Het Ministerie van OCW dient de pabo-opleidingen aan een grondig onderzoek te onderwerpen en nascholing in rekenvaardigheid en rekendidactiek krachtig te stimuleren.

Maar, hoe goed of slecht is het Rekenonderwijs dan?

2008 commissie Dijsselbloem: empirische, kwantitatieve onderzoek op het gebied van nationale peilingen (PPON) en internationale vergelijkingen (TIMSS) worden als richtinggevend genoemd om uitspraken te doen over onderwijsprestaties.

PPON, periodieke peiling van het onderwijsniveau: uitgevoerd door CITO sinds 1986 in opdracht van het Ministerie van OCW

TIMSS, Trends in internationalmathematics in grade 4 (groep 6) en grade 8 (2^eklas middelbare school), internationaal georganiseerd vergelijkend onderzoek naar prestaties van leerlingen o.g.v. science en mathematics. Nederland doet alleen mee met rekenen-wiskunde en natuurkunde in groep 6.

2007 TIMSS: het Nederlandse Rekenonderwijs behoort bij de top 10 van de wereld.

2004 PPON: vooruitgang bij schattend rekenen, getalbegrip, procenten en sommige onderdelen van hoofdrekenen. Achteruitgang bij alle bewerkingen met grote getallen (Janssen e.a. 2005, CITO)

Expertgroep Doorlopende leerlijnen: “Over de drempels met rekenen”.

(Commissie Meijerink) Analyse van opbrengsten eind Bao en VO.

Advies: werken met referentie niveaus op 12, 16,en 18 jarige leeftijd

Uitwerking op twee niveaus: fundamenteel en streefniveau.

Codering: 1F en 1S (12 jarigen), 2F en 2S (16 jarigen), 3F en 3S (18 jarigen).

Het advies is overgenomen en beleid geworden: naast de kerndoelen zijn de

referentieniveaus een verplicht uitgangspunt voor het inrichten van het onderwijs.

Basisonderwijs

Het rekenaanbod in de bovenbouw van het basisonderwijs dient afgestemd te worden op fundamenteel niveau ( VMBO) en streef niveau (vanaf Mavo).

Naar schatting scoort nu 20% van de kinderen beneden het fundamentele niveau.

De gewenste situatie is dit terug te brengen naar 10%.

“Deze leerlingen leren vanaf groep 6 te weinig, omdat zij de basale begrippen en vaardigheden uit de voorgaande jaren nog niet beheersen,terwijl het onderwijs daar wel op voortbouwt. Wij bevelen aan voor deze groep een afzonderlijk leertraject te ontwikkelen.”

Voortgezet onderwijs

“Het F–spoor loopt vanaf het basisniveau op 12 jarige leeftijd ( 1F, fundamentele kwaliteit)

naar het burgerschapsniveau op 16 jarige leeftijd ( 2F), met een mogelijke verbreding of toespitsing naar de leeftijd van omstreeks 18 jaar (3F). Niveau 2F beschouwen we als het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren”.

Parool: na het aanleren van de vaardigheden is onderhoud geboden.

“Als je rekenen wilt onderhouden dan is er een extra uur in VO nodig”.

Uitwerking van de referentie niveaus door het S.L.O. (Nooteboom) en vervolgens in de nieuwe rekenmethoden. Het CITO maakt de toetsen.

S.L.O. – Publicatie ‘Minimumdoelen Rekenen en Wiskunde’:

Uitwerking van het Fundamentele niveau F1 voor het einde van de basisschool.

In een bijlage wordt een voorstel gedaan voor de speciale doelen (compensatie) voor de zeer

zwakke rekenaars. Verdere uitwerking van de noodzakelijke differentiatie in drie routes

door het project ‘Passende perspectieven’. Uitwerking is beschikbaar.

Methoden: een nieuwe lichting

Differentiatie (vanaf groep 6 ?) gericht op fundamenteel en streefniveau. Cijferen is terug.

Groep 3/5: meer aandacht voor verlengde instructie en herhaald oefenen.

Hoofdrekenen blijft centraal staan tot groep 6. Geen uitwerking van de criteria voor de beredeneerde keuzes voor de 10 % (?) die het fundamentele niveau niet halen.

Methoden Vo: Uitwerking naar de referentieniveaus en uitbreiding met onderhoud.

Artikel Danhof ea – Leerbaarheid van hoofdrekenen, rekenachterstanden en automatiseringstekorten

Inleiding

Leerlingen die uitstromen naar VMBO/LWOO dienen over een basaal rekenniveau te beschikken. Momenteel haalt ongeveer 20% van de kinderen dit 1F-niveau niet. Volgens de Expertgroep doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen moet er gestreefd worden dat de helft van deze groep op het basale niveau gaat functioneren. Daarnaast wordt het cumulatieve karakter van rekenen benadrukt, het is in sterke mate een stapeling van kennis en vaardigheden. De andere helft van deze leerlingen beheersen vaak de basale begrippen en vaardigheden uit de voorgaande jaren nog niet terwijl het onderwijsaanbod daar wel op voortbouwt. Dit zorgt vaak voor een toenemende achterstand.

Sinds enkele jaren wordt een grootschalig longitudinaal onderzoek uitgevoerd naar de ontwikkeling van het automatiseren van het hoofdrekenen tot 100 onder kinderen in het Basisonderwijs en het Speciaal Basisonderwijs. De focus ligt hierbij voornamelijk op de optredende achterstanden en tekorten in de automatisering van het rekenen. In het verlengde van dit onderzoek worden er ook metingen gedaan bij leerlingen die instromen in het voortgezet onderwijs. Op deze manier wordt nagegaan welke prestatieverschillen er tussen leerlingen bestaan, wanneer deze beginnen op te treden en hoe die zich verder ontwikkelen. In deze bijdrage wordt in gegaan op enkele voorlopige gegevens. Er zal gekeken worden naar de gegevens die betrekking hebben op het voortgezet onderwijs.

Opzet

Vanaf 2006 zijn er elk jaar klassikaal twee typen toetsen afgenomen bij leerlingen uit het regulier en het speciaal basisonderwijs, vanaf groep 3 en groep 4. Vanaf 2010 zijn ook leerlingen in het voortgezet onderwijs onderzocht: Praktijkonderwijs (PrO), Basis Beroeps/Kader Beroeps (BB/BK), Kader Beroeps/ Theoretische Leerweg (KB/TL). De twee typen toetsen die in het voortgezet onderwijs worden afgenomen zijn:

1. Screening (power) toetsen, deze toetsen zeggen iets over het in principe behaalde niveau en over het kunnen toepassen van de juiste procedures.

2. Speed toetsen, hierbij gaat het voornamelijk om snelheid (automatisering).

Voor beide toetsen is het uitgangspunt het procedureel correct kunnen oplossen van sommen en het vlot kunnen beschikken over basale (liefst geautomatiseerde) voorkennis. Automatiseringstekorten bij de drempels leiden tot achterstanden bij hoofdrekenen (zie blz 2 artikel Danhof voor een uitgebreide uitleg van de drempels en fasen binnen het rekenen).

Resultaten

In dit onderzoek wordt specifiek gekeken naar de resultaten van de drie ‘laagste’ leerwegen: het Praktijkonderwijs (PrO), het Basis Beroeps en Kader Beroeps onderwijs (BB/BK) en het Kader Beroeps en de Theoretische Leerweg onderwijs (KB/LT).

Screening (power) toetsen

Voor deze toets geldt een norm van 75% beheersing. Over elke soort som worden vier vragen gesteld, de score voldoende wanneer er 3 of 4 goed beantwoord zijn.

Vooral bij de lagere leerwegen is er een duidelijk verschil waar te nemen tussen de plus- en minsommen. Bij nadere analyse van de gegevens van de leerlingen in het Praktijkonderwijs blijkt dat er een hoge samenhang te vinden is met de mate van geautomatiseerde beheersing van de typen sommen uit fase 1, voornamelijk drempel 4C (0.76) en 4D (.80). Ondanks de beperkte steekproef grootte kan dit gezien worden als een duidelijk signaal voor een sterk cumulatief verband.

(Moeilijke) Tafels

Hierbij wordt gedoeld op de tafels 6 t/m 9, waarvoor een norm voor beheersing is vastgesteld van 80%.

Een groot deel van deze leerlingen is wel in staat de sommen procedureel op te lossen maar komt niet tot automatisering, wat hen parten zal spelen bij hogere doelen. Er kan geconcludeerd worden dat het cumulatieve karakter van het rekenen door de gepresenteerde onderzoeksresultaten sterk wordt ondersteund.

Gevolgen handelingsgerichte diagnostiek

Voor de handelingsgerichte diagnostiek houdt dit in dat zowel een systematische vaardigheidsscreening per type som als een toetsing van de geautomatiseerde voorkennis (per drempel) dient te worden uitgevoerd in het diagnostisch onderzoek. Zo kan voor elke individuele leerling een vaardigheidsprofiel worden opgesteld. Hieruit kan worden afgeleid of nadere observatie van procedures gewenst is. Het is hierbij van belang om de interactie tussen tekorten en voorkennis in de observatie te betrekken.

Het zorgvuldig volgen van de ontwikkeling van automatisering is niet alleen van curatief belang maar maakt ook vroegtijdige signalering mogelijk wat preventie ten goed komt. Door middel van het vaardigheids- en ontwikkelingsperspectief van leerlingen met een hardnekkige achterstand kan een leer- en ontwikkelingsperspectief opgesteld worden en een keuze gemaakt worden voor een haalbare rekenroute. Het project Passende Perspectieven van het SLO schetst drie rekenroutes voor leerlingen die het fundamentele niveau (nog) niet halen. Hier wordt in dit onderzoek verder niet op in gegaan.

Artikel Danhof ea – Onderzoeksproject Leerbaarheid van hoofdrekenen

Medewerkers van de taakgroep SBO/SO van de onderwijsbegeleidingsdienst CEDIN hebben in overleg met speciale scholen voor basisonderwijs in de provincie Friesland een drempelmodel ontwikkeld om de leerbaarheidscriteria voor het leren hoofdrekenen in beeld te krijgen. Leerbaarheid beeft betrekking op de geautomatiseerde kennis en vaardigheden die nodig zijn voor het leren hoofdrekenen.

De TAL-leerlijnen hebben grote veranderingen teweeggebracht in de nieuwe reken-wiskunde methoden voor het leren hoofdrekenen en schriftelijk rekenen. Een belangrijk kenmerk is het accent op het hoofdrekenen tot en met groep 5/6 (sommen tot 100 en 1000) en aandacht voor het schriftelijk rekenen vanaf groep 6 (eerst kolomsgewijs en vervolgens cijferend). Tot en met groep 5 dient alle rekenen hoofdrekenen te zijn. Kinderen moeten eerst behoorlijk vaardig zijn in het hoofdrekenen en handig rekenen. Maar er zijn een aantal vragen, want hoe groot is de groep die aan het eind van groep 5 behoorlijk vaardig is? De Expertgroep stelt dat voor leerlingen die uitstromen naar vmbo/lwoo een basaal fundamenteel niveau is vereist. Dit niveau komt globaal overeen met het huidige niveau van groep 7. Het streven is dat 10% dit niveau niet behaalt. Deze leerlingen leren vanaf groep 6 te weinig, omdat zij de basale begrippen uit voorgaande jaren nog niet beheersen, terwijl het onderwijsniveau daar wel op voortbouwt. Zij bevelen aan om voor deze leerlingen in het basisonderwijs een afzonderlijk leertraject te ontwikkelen.

Praktijkervaring met rekenplanning in het sbo

In de leerlijn van hoofdrekenen tot 100 zit een aantal cruciale leermomenten die de mogelijkheden van een voortgaande leerontwikkeling in hoge mate bepaalt. Het getalbegrip tot 100 omvat het kunnen tellen, werken met getallenlijn en inzicht in getalstructuur. Uit ervaring blijkt dat getalbegrip tot 100 voor veel kinderen met beperkte cognitieve capaciteiten een breekpunt in de leerontwikkeling is. Er wordt gepleit voor een evenwichtige spreiding van het automatiseren over de leerlijn in groep 3, 4 en 5 en het inzetten van een overzichtelijke en passende methodiek.

Strategieën – rijgen en/of splitsen?

In de praktijk blijkt dat veel kinderen een voorkeur ontwikkelen voor het splitsend oplossen van de moeilijkste sommen tot 100. Ze ervaren dat deze oplossingswijze minder basiskennis- en vaardigheden vraagt dan leren rijgen. Maar, uit onderzoek blijkt dat de directieve rijginstructie tot de beste resultaten leidt.

Door tijdig te signaleren en het onderwijs aan te passen aan de mogelijkheden van de leerling wordt door de leerling geen tijd verdaan door dingen te moeten (mee)doen die hij niet kan. Bij tijdig inperken van het aanbod is veel extra onderwijstijd beschikbaar om leerlingen datgene te laten leren waartoe ze in staat zijn en dat zinvol is

Differentiatie- en planning

De volgende uitgangspunten zijn geformuleerd voor het door de scholen te voeren differentiatie-en planningsbeleid.

• Passende doelen, men moet voorkomen dat kinderen langdurig werken aan doelen die niet haalbaar zijn

• Leren rijgen centraal, het rijgen heeft als groot voordeel dat de procedure overzichtelijk en logisch is

• De drempels, met behulp van drempels worden de leerontwikkelingen gevolgd. Drempels brengen de cruciale basiskennis en vaardigheden voor het leren rijgen in beeld.

• Differentiatie en planning in het sbo, zie figuur:

Ervaringen met rekenplanning brengen, wat leerbaarheid betreft, globaal drie groepen leerlingen in beeld, namelijk:

• Een groep leerlingen die profiteert van de basisschoolmethode (uitstroom vmbo/lwoo)

• Een groep leerlingen voor wie de basisschoolleerlijn- en methodiek vereenvoudigd dient te worden

• Een groep leerlingen die niet leerbaar is met betrekking tot het rijgend hoofdrekenen met de moeilijke sommen tot 100

Het drempelmodel gericht op leren rijgen

Men gaat er van uit dat leren hoofdrekenen stoelt op basisautomatismen en procedurele kennis. Als deze kennis en vaardigheden voor het leren rijgen in beeld wordt gebracht, dan zijn er 5 mijlpalen (drempels):

Drempel 1: Automatiseren van sommen tot 10(plussommen, minsommen, splitsingen tot 10). Drempel 2: Getalbegrip tot 100( voor het leren rijgen is het kunnen springen op de getallenlijn belangrijk)

Drempel 3: sommen tot 20 (plussommen, minsommen, vlot kunnen springen over de 10)

Drempel 4: bouwstenen voor het rijgen

• Tientallen erbij en eraf

• Sprong over het tiental tot 100

Drempel 5: Rijgen tot 100

Voor het kunnen uitvoeren van de rijgstrategie moeten de bouwsteensommen van drempel 4 vlot gecombineerd kunnen worden. Drempels bestaan uit een mix van geautomatiseerde basiskennis, beheersing van een aantal basale vaardigheden op de getallenlijn en van een aantal basale rekenprocedures.

Voor het kunnen ordenen van getallen en het kunnen uitvoeren van de basisoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in het getallendomein tot 100 is het noodzakelijk, en aanvankelijk ook voldoende, dat de leerlingen van groep 4 (5) zich vlot en flexibel over de (denkbeeldige) lege getallenlijn kunnen bewegen met (samengestelde) sprongen van 10 en (samengestelde) stappen van 1.

Onderzoeksproject

Om het drempel model empirisch te funderen wordt onderzoek uitgevoerd. Er doen ongeveer 1000 leerlingen mee aan dit onderzoek. Het doel van dit onderzoek is om na te gaan of de drempels dienst kunnen doen als criteria voor differentiatie en planning. Deze resultaten zullen later gepubliceerd worden.

Samenvatting geschreven door S.J. Blom