Alle kinderen moeten de vaardigheid hebben om getallen op- en af te trekken. Moeilijkheden in het onthouden van de basiscombinaties, op- en aftrekken, zijn meer acuut bij kinderen die het risico lopen om slecht te presteren op wiskunde of hierin al problemen ondervinden, ‘mathematics difficulties (MD)’ genoemd. Kinderen die deze problemen hebben, in het bijzonder de kinderen die de meest simpele combinaties niet op kunnen lossen, hebben ook problemen met moeilijkere wiskundige berekeningen.

Het proces om basiscombinaties te onthouden vindt plaats in drie fasen. In fase 1 heeft het kind ‘counting strategies’, of telstrategieën. Dit is het gebruiken van objecten of verbaal tellen om tot een antwoord te komen. Fase 2 zijn ´reasoning strategies’, of redeneerstrategieën. Dit is het gebruiken van feiten en relaties om het antwoord te krijgen op een onbekende combinatie. Fase 3 is de ‘mastery’, of meesterschap, het efficiënt produceren van antwoorden door een geheugennetwerk. De eerste twee fasen zijn bewust en weloverwogen, met relatief langzame cognitieve processen tot gevolg. Fase 3 is onbewust en automatisch, wat het cognitieve proces relatief snel maakt. Het kan op twee manieren bereikt worden. De eerste manier, door enkel herhaling, geeft ‘routine expertise’, kennis die efficiënt en goed toegepast kan worden op bekende taken, maar is niet flexibel genoeg om op nieuwe taken toe te kunnen passen, ‘mastery with limited fluency’. Betekenisvolle herhaling heeft een rijk en goed gekoppeld web van feiten, strategische en conceptuele kennis. Het resultaat is een ‘adaptieve expertise’, kennis die efficiënt toegepast kan worden op zowel bekende, als nieuwe taken, ‘mastery with fluency’. De ‘Passive Storage View’, beschrijft hoe de basiscombinaties door enkel herhaling onthouden kunnen worden. De ‘Active Construction View’ beschrijft hoe deze betekenisvol onthouden kunnen worden. Beide stellen dat fase 1 en 2 verschillend gerelateerd zijn aan fase 3.

De Passive Storage View stelt dat fase 1 en 2 kunnen ondersteunen, maar zijn niet noodzakelijk voor het onthouden van feiten. Het leren door herhaling is het vormen van een associatie tussen bijvoorbeeld de som en de uitkomst. Fase 3 is hierin de effectieve opslag van feiten. Fase 1 en 2 zijn hierin inefficiënte manieren om kennis te onthouden. Door direct extensief te oefenen zou fase 3 ook direct te bereiken zijn.

Active Construction View stelt dat fase 1 en 2 noodzakelijk zijn voor betekenisvol onthouden
Betekenisvolle en goed gekoppelde kennis over nummers, number sense, wordt bereikt door het oefenen van redeneringsstrategieën, zoals fase 2. Deze worden hierdoor automatisch en functioneren deze als basis voor fase 3. Fase 1 en 2 zijn dus wel degelijk relevant voor het opbouwen van mastery with fluency.

Volgens de Passive Storage View is oefening de belangrijkste leervorm. Hierbij geldt Thorndike’s law of frequency: hoe vaker twee stimuli samen gepresenteerd zijn, hoe sterker de associatie tussen de twee is. Desondanks is er weinig sluitend bewijs gevonden voor deze wet. Oefening speelt ongetwijfeld een belangrijke rol in het onthouden van combinaties van cijfers en hun uitkomst, maar is niet erg belangrijk.

De Active Construction View ondersteunt een andere leervorm. Onderzoekt geeft aan dat het ontdekken van patronen of relaties de mastery with fluency ondersteund. Door te focussen op structuur wordt het leren van veel feitelijke kennis makkelijker.
Volgens de Passive Storage View kunnen kinderen na de eerste groepen de basisfeiten al kennen. Volgens de Active Construction View kan gedurende de kindertijd geleerd worden, maar duurt dit enige jaren. Taal is cruciaal voor het construeren van twee basisprincipes van number sense, namelijk cardinal number, een nummer representeert het totale aantal items in een collectie, en verbal number recognition, het herkennen van het aantal items in een kleine verzameling en het labelen hiervan met het juiste aantal. Dit proces vindt niet automatisch plaats. Ouders en leraren moeten kinderen bewust de mogelijkheid geven om aantallen juist te benoemen. De ontwikkeling van beide vaardigheden functioneert als een basis van vaardigheden en concepten met betrekking tot getallen, tellen en rekenen. Het herkennen dat een item waarvan er één is, minder is dan ‘twee’ kan kinderen de volgorde helpen herkennen van getallen bij het tellen, stable order principle, en dat de volgorde ‘één, twee, drie’ een oplopende volgorde representeert. Wanneer kinderen dit herkennen ontwikkelen zij de mogelijkheid om op ieder punt in de volgorde te beginnen te tellen, number-after skill. Verbal number recognition kan ook als basis functioneren van het meaningful object counting, waarbij tellen een manier wordt om de kardinale waarde toe te kennen aan een verzameling, vooral bij verzamelingen met meer dan drie items. Dit is noodzakelijk om telstrategieën te ontwikkelen om sommen en verschillen te bepalen. Een efficiënte strategie maakt meer aandacht vrij, zodat patronen en relaties makkelijker herkent worden. Dit kan de basis zijn voor redeneerstrategieën, en kunnen functioneren als netwerk waaruit informatie opgehaald kan worden.

Daarnaast kan verbale nummerherkenning de compositie en decompositie ondersteunen. Dit is de mogelijkheid om te zien dat een geheel opgedeeld is uit individuele stukken. Het opbouwen en afbreken van ‘twee’ en ‘drie’ kan ertoe leiden dat er een vloeiendheid komt in het combineren van de simpele optel- en aftrekcombinaties. Deze vaardigheden dragen ertoe bij dat er meerdere redeneerstrategieën ontdekt kunnen worden.

Gezamenlijk kunnen de bovenstaande vaardigheden een basis vormen voor het optellen en aftrekken. Daarnaast zijn zij een basis om relatief concreet en abstract rekenkundige concepten te begrijpen, zoals subtractieve negatie, (2-2 = 0, 1-1=0) en additieve en subtractieve identiteit (2+0=2, 1+0=1).

Kinderen met rekenproblemen komen meestal niet verder dan fase 1. Zij zijn afhankelijk van relatief langzame telstrategieën en zijn zelf niet in staat om zichzelf nieuwe strategieën aan te leren. Mogelijke oorzaken hiervoor zijn een cognitief onvermogen of inadequaat onderwijs.

Volgens de Passive Storage View kunnen kinderen zelfs wanneer zij goed oefenen MD ontwikkelen. Deze kinderen hebben cognitieve disfuncties of vertragingen.

Kinderen hebben volgens de Active Construction View niet de mogelijkheid gekregen om number sense te ontwikkelen door inadequaat onderwijs. Zij hebben om te beginnen inadequate informele kennis. Dit onderontwikkelde gevoel voor getallen blijkt prestaties op rekenvakken op school te voorspellen. Het kan ernstig interfereren bij het onthouden van basiscombinaties.
Het is van belang dat kinderen de transitie van concrete telstrategieën naar abstracte telstrategieën maken. Mogelijk hebben kinderen met rekenproblemen niet de cognitieve bronnen om deze transitie te maken. Daarnaast kan het ontbreken van efficiënte formele instructies tot rekenproblemen leiden. Het aanleren door enkel herhaling blijkt niet goed te werken en hierdoor raakt het kind nog verder achter.

De oorzaken van MD zijn vooralsnog onbekend. Het is te vroeg om een causale relatie te vinden met betrekking tot de hersenen en MD. Hoewel er al enig onderscheid gemaakt wordt tussen verschillende types MD, is er nog onderzoek benodigd naar het precieze onderscheid. Kinderen die MD hebben kunnen hun achterstand inhalen, waarbij vroegtijdige screening en interventie van belang is. Voornamelijk interventies op het gebied van basis optel en aftrek combinaties zijn van belang. Het gestructureerd leren ontdekken van patronen en relaties is hierbij essentieel om mastery with fluency te creëren. Dit geldt ook voor kinderen met leerproblemen in het algemeen en rekenen, en kinderen met een algemene ontwikkelingsachterstand. Hoewel een directe instructievorm zou kunnen werken, werkt dit over het algemeen over de lange termijn niet. Het oefenen is daarom alleen effectief als het gericht is op het ontdekken van patronen en relaties of op het automatiseren van redeneerstrategieën.