Boeksamenvatting bij de 1e druk van Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie van Groenestijn en Borghouts

Visie en uitgangspunten - Chapter 1

Dit protocol is ontwikkeld in het kader van Passend onderwijs van het ministerie van OCW. Het doel is om elke leerling onderwijs te bieden dat aansluit bij zijn of haar mogelijkheden.

Onderwijs is een samenspel tussen leerling, leerstof en leraar. Iedere leerling heeft recht op onderwijs dat goed afgestemd is op zijn of haar mogelijkheden. De leraar moet professioneel zijn, heeft kennis van de (rekenkundige) ontwikkeling van leerlingen. Leraren zorgen voor een optimale ontwikkeling van elke individuele leerling van de school. Dit protocol biedt handvatten om het rekenwiskunde-onderwijs zo goed mogelijk te kunnen afstemmen op de ontwikkeling van iedere leerling. Het ultieme doel is het bereiken van functionele gecijferdheid. De volgende uitgangspunten dienen als leidraad:

• Functionele gecijferdheid

  Bruikbare kennis en vaardigheden op het gebied van rekenen en wiskunde. Het adequaat kunnen handelen in functionele, dagelijkse situaties. Rekenen is een tool om in de maatschappij goed te functioneren.

• Ontwikkeling van rekenwiskundige concepten als fundament

  Het is noodzakelijk dat leerlingen goede rekenwiskundige concepten ontwikkelen en er de verbanden tussen leren zien.

  • Het begrijpen van de relaties tussen maateenheden binnen het metriek stelsel
  • Inzicht hebben in het systeem van rekenen met geld
  • Het begrijpen van het systeem van klokkijken en de kalender
  • Begrijpen dat breuken en procenten iets met elkaar te maken hebben
  • Weten dat berekeningen als 4x 125, 2x 250 dezelfde uitkomst hebben

Goede rekenwiskundige concepten zijn een noodzakelijke voorwaarde voor het ontwikkelen en begrijpen van goede oplossingsprocedures. Jonge kinderen ontwikkelen rekenwiskundige concepten intuïtief op basis van ervaringen en door informeel handelen (spelsituaties). Naarmate kinderen ouder worden raken zij meer vertrouwd met denken en rekenen op een hoger, formeel niveau.

• Ieder kind is anders

  Iedere leerling ontwikkelt via een eigen route rekenkundige concepten. Kinderen verschillen van nature in hun ontwikkelingsmogelijkheden en in hun vermogen om te leren rekenen. Ze kunnen meer of minder gevoelig zijn voor het ontwikkelen van rekenproblemen. Rekenzwak noemen we kinderen die gevoelig zijn voor het ontwikkelen van rekenproblemen. De voorschoolse periode en de culturele en de sociaal-economische status van het gezin zijn belangrijke factoren voor de rekenkundige ontwikkeling van kinderen.

• Afstemming van het onderwijsaanbod op de onderwijsbehoeften van de leerling

  Goed rekenwiskunde-onderwijs is optimaal afgestemd op de ontwikkeling van de individuele leerling. Elke stap bouwt voort op eerder verworven inzichten, kennis en vaardigheden. Onvoldoende of onjuiste afstemming brengt het proces van leren tot stilstand en kan leiden tot stagnatie van de ontwikkelen, het ontstaan van misconcepten of onderpresteren. Rekensterke leerlingen zijn minder gevoelig voor misfits in de afstemming. Voor Rekenzwakke leerlingen is afstemming cruciaal. Zij zijn afhankelijk van het geboden onderwijs.

• Onderscheid tussen ernstige rekenwiskunde-problemen en dyscalculie

  Wanneer het onderwijsaanbod is afgestemd op de onderwijsbehoeften van de leerling, zal de rekenwiskundige ontwikkeling soepel verlopen. De leraar neemt scherp waar hoe de leerlingen zich ontwikkelen en stelt zo nodig de lesdoelen voor bepaalde leerlingen bij en probeert het onderwijsaanbod nog nauwkeuriger af te stemmen. Dreigende problemen worden afgewend of problemen worden opgelost. Ernstige rekenwiskundige- problemen kunnen ontstaan wanneer het gedurende langere tijd niet lukt om de juiste afstemming te realiseren.

  Bij sommige leerlingen ontstaan, ondanks tijdig ingrijpen en afstemming, toch ernstige rekenwiskunde-problemen. De ontwikkeling van de leerling wordt waarschijnlijk belemmerd door kindfactoren. Externe deskundige hulp en intensieve begeleiding zijn noodzakelijk. We noemen de ernstige problemen hardnekkig als de leerling gedurende maximaal een half jaar, ondanks de deskundige begeleiding, niet of nauwelijks aantoonbaar vooruitgang laten zien. Dan spreken we van dyscalculie.

  De grens tussen ernstige rekenwiskunde-problemen en dyscalculie is moeilijk te trekken.

  Er wordt onderscheid gemaakt in vier gradaties, namelijk:

1. De normale, vrijwel ongestoorde ontwikkeling, waarbij de leerling voldoende baat heeft bij het standaard onderwijsaanbod.
2. Een ontwikkeling met geringe rekenwiskunde-problemen, die op te lossen zijn binnen de school met gerichte begeleiding.
3. Een ontwikkeling met ernstige rekenwiskunde-problemen, die in principe op te lossen zijn met intensieve begeleiding binnen school
4. Een ontwikkeling met ernstige en hardnekkige rekenwiskunde-problemen, die in principe te begeleiden zijn binnen de school, eventueel met externe ondersteuning. Alleen in Alleen in dit geval spreken we van dyscalculie

• Vroegtijdige signalering en onderkenning

  Hoe eerder gesignaleerd wordt dat een leerling gerichte of deskundige begeleiding nodig heeft om rekenwiskundige ontwikkeling te stimuleren, hoe eerder de school begeleiding kan bieden. Vaak wordt de noodzaak onvoldoende gesignaleerd bij leerlingen met beginnende rekenwiskunde-problemen. Vanaf de tweede helft van groep 4 of aan het begin van groep 5, als er meer met grotere getallen wordt gerekend en er een groter beroep wordt gedaan op het redeneren op basis van getalnetwerken, worden rekenwiskunde-problemen pas echt zichtbaar.

• Diagnosticerend onderwijzen en handelingsgerichte diagnostiek

  Diagnosticerend onderwijzen is een manier van lesgeven die voortdurend inspeelt op wat de leerlingen doen en zeggen. Er vindt een continu proces plaats van observeren, signaleren, analyseren, registreren, interpreteren en afstemmen. Dit protocol biedt twee modellen om leerprocessen van leerlingen te observeren en analyseren. Op basis van deze observaties en analyses kan het onderwijs worden afgestemd op de onderwijsbehoeften van de leerling: het handelingsmodel en het drieslagmodel (hoofdstuk 5).

• Resultaatgerichte begeleiding

  Bij een zorgvuldig afgestemde, resultaatgerichte begeleiding staat de totale ontwikkeling van de leerling centraal. Dit is alleen mogelijk bij een zorgvuldige opgesteld individueel handelingsplan. Hierin staan zowel ontwikkelingsdoelen (domeinoverstijgend) als rekenwiskundige doelen (domeinspecifiek).

De eerste vijf uitgangspunten onderbouwen de visie op ernstige rekenwiskunde-problemen en dyscalculie. Uitgangspunt 6, 7 en 8 vormen de basis voor het handelen in de praktijk.

Het startpunt van het protocol: Waar mogelijk preventie, waar nodig zorg.

Achtergronden, afbakening en plaatsbepaling - Chapter 2

Elk kind is in ontwikkeling, dat betekent: voortdurend in verandering, van de ene toestand naar de volgende. Hierbij spelen vele factoren een rol.

Leren is veranderen. Leren ontstaat doordat de situatie waarin het kind verkeert beïnvloed wordt door het kind zelf en door zijn omgeving. Leren is dus een interactief proces. Leren door ervaring is hier een belangrijk principe. Het kind leert doordat zijn acties meestal direct leiden

tot reacties van zijn omgeving. De consequenties van zijn handelen zijn positief of negatief.

Dynamisch systeem

Van Geert spreekt over een dynamisch systeem, dit is een model om te beschrijven hoe de ene toestand verandert in de andere toestand over een bepaald tijdsverloop. Alle acties van het kind en van zijn omgeving beïnvloeden elkaar. Ontwikkeling van kennis, inzicht, vaardigheid en houding (leren) is ook een dynamisch systeem. Een belangrijk kenmerk van een dynamisch systeem is het iteratieve karakter. Het gedrag wordt bepaald door voorafgaand gedrag van de ouder/verzorger, leraar of medeleerlingen en wordt ook weer gevolgd door gedrag van de ouder/verzorger, leraar of medeleerlingen.

Leren van taal en reken-wiskunde

Het is een complex proces van samenhangende dynamische systemen die elkaar continu beïnvloeden op verschillende manieren en op verschillende niveaus. Het gaat hierbij ook om sterke en zwakke factoren in het kind zelf en in de wijze waarop de omgeving het kind beïnvloedt. Deze kunnen de ontwikkeling van het kind stimuleren of juist afremmen.

Bekend is dat sterke factoren elkaar positief kunnen versterken, dat zwakke factoren elkaar negatief kunnen versterken en dat sterke factoren zwakke factoren positief kunne beïnvloeden. Zwakke factoren kunnen dus gecompenseerd worden.

Leerlingen die problemen ervaren met het leren van rekenen-wiskunde, kunnen terecht kunnen in een negatieve vicieuze cirkel Leerlingen die goed presteren kunnen in een positieve virtuoze cirkel terecht komen.

Ontwikkeling binnen de neurowetenschappen

Binnen de neurobiologische en neuropsychologische wetenschappen zijn verschillende visies wat betreft rekenwiskunde-problemen en dyscalculie.

Er zijn twee visies waar onderzoekers zich op richten, namelijk:

1. De aanwezigheid van een afgebakend gebied in de hersenen voor het leren van rekenen-wiskunde
2. De plasticiteit van de hersenen

Butterworth

Hij veronderstelt dat bepaalde hersengebieden gevoelig zijn voor het ontwikkelen van getallen en hoeveelheden. Deze gevoeligheid noemt hij numerosity, het gevoel voor ontwikkelen van getalsystemen. Als bepaalde hersengebieden niet de juiste impulsen krijgen, kan het zijn dat het gevoel voor numerosity ontbreekt of zich onvoldoende ontwikkelt.

Dehaene

Hij veronderstelt dat kinderen vanaf de geboorte een mental toolkit (mentale getallenlijn) hebben voor het ontwikkelen van getalbegrip. Wanneer deze mental toolkit onvolledig is of ontbreekt, spreekt hij van ontwikkelingsdyscalculie. Dit zou volgens Dehaene gelokaliseerd zijn in de intrapariëtale groeve.

Hierin onderscheidt hij drie factoren

1. Het representeren van hoeveelheden (bijvoorbeeld x x x)
2. Het benoemen (drie kruisjes)
3. De combinatie met het getallen systeem (3)

Dit noemt hij de triple code. Dehaene vermoedt dat diverse mogelijke oorzaken van dyscalculie te vinden zijn. Eén ervan is dat bij kinderen met dyscalculie sprake kan zijn van een onvermogen om hoeveelheden te koppelen aan getallen.

Andere internationale onderzoeken sluiten aan bij de theorie van Dehaene. Deze stoornis heeft ergens een begin, dat begin is alleen nog niet bekend.

Volgens Von Aster kan er een samenhang zijn tussen biologische ontwikkeling, cognitieve ontwikkeling en gedrag. Dit onderzoek is nog in volle gang.

Er zijn ook onderzoekers die benadrukken dat bij kinderen met dyscalculie het gehele neurale netwerk zwakkere activiteit laat zien dat bij kinderen met een normale rekenwiskundige ontwikkeling.

Jolles

Hij stelt de vraag of deze bevindingen ( zwakkere activiteit van het neurale netwerk en het niet uitontwikkeld zijn van de intrapariëtale groeve) de oorzaak of juist het gevolg zijn van rekenwiskunde-problemen. Hij beschrijft dat het brein netwerken ontwikkelt die het gedrag en de vaardigheden ondersteunen die een mens nodig heeft om in een veranderende omgeving te overleven. De netwerken zijn aanvankelijk heel diffuus en flexibel en informatie verloopt via allerlei routes, maar geleidelijk aan ontwikkelen zich ‘hoofdwegen’ en ‘zijwegen’ en worden routes steeds meer vastgelegd. Jolles stelt dat wanneer bepaalde hersendelen nog niet uitontwikkeld zijn, andere hersendelen de taken kunnen overnemen en zich specialiseren. Dit proces van ontwikkelen, aanpassen, verder ontwikkelen, gaat altijd door, ongeacht de leeftijd. Dit principe heeft invloed op de ontwikkeling van cognitieve vaardigheden en speelt een rol bij leren en leerproblemen.

Dit betekent voor het leren van rekenen-wiskunde, maar ook voor het leren lezen en schrijven, dat als kinderen van jongs af aan op verschillende manieren worden geprikkeld, de hersenen zich optimaal kunnen ontwikkelen.

Ontwikkelingen binnen de orthopedagogiek

Binnen de orthopedagogiek wordt onderscheid gemaakt tussen rekenproblemen en rekenstoornissen. Rekenproblemen horen bij het ontwikkelingsproces van leren rekenen en zijn in die zin normaal. Als deze problemen niet worden opgelost, worden ze groter en kan er sprake zijn van een stoornis.

Ruijssenaars et al.

Dyscalculie:Een stoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het leren en vlot/accuraat oproepen/toepassen van reken-/wiskundekennis (feiten afspraken).

Zij komen tot de conclusie dat dyscalculie een erfelijke basis kan hebben en voorkomt bij ongeveer 2 á 3 procent van de bevolking

Leseman

Hij gaat uit van twee systemen voor het leren. Het eerste systeem is de globale herkenning van aantallen. Dit is nauw verweven met het zien en het visuele geheugen. Het analoge niet-exacte rekensysteem, dit is bedoeld voor het (globaal) waarnemen van aantallen.

Het tweede systeem is een verbaal systeem, dit is nauw verbonden met het leren van de telrij en van de taal, de telwoorden dus. Het gaat om het exact kunnen benoemen van aantallen.

Bij de ontwikkeling van rekenwiskundige begrippen wordt er van uitgegaan dat kinderen op jonge leeftijd al veel concrete ervaringen opdoen met hoeveelheden. Uit onderzoek blijkt dat dit veel minder het geval is dan we mogen verwachten, met name in gezinnen met een lage sociaal-economische status.

Een verklaring voor het ontstaan van rekenwiskunde-problemen kan zijn dat de integratie van het eerste, analoge niet-exacte rekensysteem met dat van het tweede, verbale systeem, niet goed tot stand komt. Rekenfeiten die in taal zijn vervat, blijven daardoor betekenisloos. Kinderen met taalproblemen lopen daardoor op risico om rekenwiskunde-problemen te krijgen. Tevens geeft Leseman aan dat ook kinderen zonder neurobiologisch naspeurbare stoornis ernstige kunnen verdwalen in de voorschoolse periode als in hun omgeving geschikte ontwikkelingspaden ontbreken. Er is daarom geen principieel verschil tussen ernstige leerproblemen met een genetisch-biologische achtergrond en leerproblemen met een culturele oorzaak

Huidig onderzoek

Huidig onderzoek binnen de orthopedagogiek is vooral gericht op de rol van het werkgeheugen en executieve functies. Executieve functies zijn onderdeel van het centraal executieve systeem dat het handelen van een individu aanstuurt.

Dit model stamt uit 1974 en bestaat uit drie componenten, namelijk:

De centrale verwerker, controleert de inkomende en uitgaande informatiestroom naar en van twee slaafsystemen. Deze slaafsystemen zijn de fonologische lus en het visueel-ruimtelijk schetsblok. De slaafsystemen functioneren als tijdelijke opslag voor respectievelijk verbale informatie en visuele informatie. Baddeley heeft in 2000 een derde slaafsysteem, de episodische buffer, toegevoegd aan het model. Dit is de tijdelijke opslag voor informatie over gebeurtenissen; een integratie van verbale, visuele en zintuiglijke informatie.

Momenteel wordt aangenomen dat dit centraal executieve systeem bestaat uit verschillende executieve functies, waaronder inhibitie (uitschakelen van afleidende informatie) shifting (wisselen tussen verschillende taken) en updating (het opslaan en bijwerken van informatie in het werkgeheugen). Dit helpt de persoon bij het plannen en uitvoeren van zijn handelingen.

Inhibitie doet een beroep op het vermogen van de leerling om relevante informatie uit een opdracht te halen en afleidende informatie te negeren. Bij shifting moet de leerling eerst gebruikte informatie opslaan in het werkgeheugen en vervolgens relevante informatie uit het langetermijngeheugen oproepen (retrieval).

Ontwikkelingen binnen de vakdidactiek

In de vakdidactiek staat het ontwikkelen van goed rekenwiskunde-onderwijs centraal. De veronderstelling is dat bij goed rekenwiskunde-onderwijs minder leerlingen zullen uitvallen. In het huidige realistisch reken staan vijf uitgangspunten centraal:

1. Betekenisvol leren door middel van contexten. Contexten vormen de verbindende schakel met het rekenen in de werkelijke wereld.
2. Rekenen-wiskunde verloopt via het proces van informeel naar formeel handelen.
3. Leerlingen ontwikkelen eigen oplossingsprocedures door zelf actief, productief en constructief te werken.
4. Interactie en reflectie, deze ondersteunen het verhelderen van denkprocessen van de leerlingen en helpen het leren te bevorderen.
5. Verstrengeling van leerstoflijnen. De vier basisoperaties – optellen, vermenigvuldigen, aftrekken en delen- zijn met elkaar verweven.

Leerlingen kunnen verschillende oplossingsprocedures hanteren om tot een (juiste) oplossing te komen.

Werkdefinitie en begrippen

De beschrijvingen laten zien dat er geen eenduidige visie is omtrent rekenwiskunde-problemen en dyscalculie. De ene discipline (orthopedagogiek) kijkt meer vanuit het kind, de andere (vakdidactiek) meer vanuit het onderwijs. Dit is mede bepalend voor de visie op leerproblemen en leerstoornissen. Ook in de neurowetenschappen is eenduidigheid over leerproblemen en leerstoornissen.

De meningen zijn dus verdeeld over wat er precies wordt verstaan onder dyscalculie. Er is geen eenduidige verklaring over de oorzaken van dyscalculie en over welke kindkenmerken hierbij in het geding zijn. Hierdoor is het moeilijk onderscheid te maken tussen de twee soorten problemen. Enerzijds zijn er ernstige rekenwiskunde-problemen die uitsluitend ontstaan door specifieke kindkenmerken. Anderzijds zijn er problemen die ontstaan door onvoldoende of een gebrekkige afstemming van het onderwijs op specifieke onderwijsbehoeften van de leerling.

In dit protocol wordt gesproken van Dyscalculie als ernstige rekenwiskunde-problemen ontstaan ondanks tijdig ingrijpen, deskundige begeleiding en zorgvuldige pogingen tot afstemming. De problemen blijken hardnekkig te zijn. De rekenwiskunde ontwikkeling van de leerling wordt waarschijnlijk belemmerd door kindfactoren.

Ruijssenaars et al. Benoemen leerbaarheid als leerpotentioneel of leergeschiktheid. Zij beschrijven de volgende kwalitatieve kenmerken van leergeschiktheid

• De algemeenheid van de denkactiviteit: het gericht zijn op het abstraheren en generaliseren van datgene wat in een bepaalde situatie wezenlijk is: het economisch kunnen denken
• De mate van bewustheid van de eigen denkactiviteit, weten wat je doet, waarom je het doet en dit kunnen verantwoorden
• De flexibiliteit van het denken: het kunnen afwijken van de gebruikelijke wijzen van denken als deze niet meer voldoen aan de eisen van de taak: creatief kunnen denken
• De stabiliteit van het denken: het volhouden van het denken en met meerdere kenmerken tegelijk kunnen werken zonder de draad kwijt te raken
• De zelfstandigheid van het denken: onafhankelijk zijn van hulp, maar ook het kunnen profiteren van hulp.

Dyscalculieverklaring

In sommige situaties is een leerling gebaat bij een dyscalculieverklaring, om optimale begeleiding en de faciliteiten (compenserende, dispenserende en remediërende maatregelen) voor de verdere schoolcarrière te krijgen. Deze verklaring kan vanaf groep 6 worden verleend. Voor deze verklaring wordt meestal de criteria van de DSM IV-TR gebruikt. Men gaat uit van een totaal IQ van minimaal 70. Het verwerven en verwerken van rekenwiskundige kennis en vaardigheden doet echter een beroep op hogere cognitieve functies, zoals begrijpend lezen, logisch ordenen, redeneren en wiskundig communiceren. Daarom wordt terughoudend gepleit voor het verlenen van dyscalculieverklaringen bij leerlingen met een totaal IQ tussen 70 en 85.

De rekenwiskundige ontwikkeling van kinderen in vogelvlucht - Chapter 3

Ontwikkeling van rekenwiskundige kennis en vaardigheden

De ontwikkeling van rekenwiskundige kennis en vaardigheden verloopt bij de meeste kinderen geleidelijk en vrijwel ongemerkt. Deze ontwikkeling is een complex proces van vele factoren die elkaar voortdurend beïnvloeden. Het kind is het middelpunt van verschillende dynamische systemen, zoals kindkenmerken, directe thuisomgeving, kinderopvang, sociale omgeving enzovoort. Elk systeem heeft zijn eigen ingrijpen op de ontwikkeling van het kind.

Volgens Dolk verloopt de rekenwiskundige ontwikkeling van kinderen via mijlpalen. Elk kind leert tellen, optellen, aftrekken en elk kind ontwikkelt begrip van tijd, meten, inhoud en wegen. Sommige mijlpalen zijn verantwoordelijk voor een volgende fase. De route waarlangs kinderen die begrippen ontwikkelen, de diepgang en het tempo, zijn voor elk kind verschillend.

De ontwikkeling van rekenwiskundige kennis en vaardigheden speelt zich af in vier domeinen:

1. Getallen en Bewerkingen - Kinderen leren betekenis geven aan getallen, ontwikkelen zij kennis over getallen, getalstructuren en eigenschappen van getallen.
2. Verhoudingen - Kennis over en relaties tussen getallen, verhoudingentaal en breukentaal.
3. Meten en Meetkunde - Meten kennis en vaardigheden op het gebied van metriek stelsel, geld, tijd en kalender. Meetkunde: men ontwikkelt kennis en vaardigheden op het gebied van ruimte, vormen, patronen.
4. Informatieverwerking - Kennis en vaardigheden uit de andere domeinen worden geïntegreerd. Zij leren gegevens ordenen, analyseren, verwerken, interpreteren, discussiëren en beslissingen nemen

Ontwikkeling van jonge kinderen: baby’s en peuters

De ontwikkeling van taal en rekenen begint al in de wieg, door middel van communicatie tussen ouders en het kind. Zij brengen structuur. Er is zelfs aangetoond dat kinderen van ongeveer een half jaar verschillen in hoeveelheden zien. Dit is de basis voor waarnemen, analyseren, begrijpen, ordenen en structureren.

Peuters ontdekken de wereld met hun hele lichaam, zij ontwikkelen zich door te kijken, luisteren en voelen. In de eerste levensjaren leren kinderen vooral communiceren. Zij ontwikkelen hun woordenschat en bouwen hun eerste zinnen. Ongemerkt komen hier ook rekenbegrippen en rekenhandelingen in voor.

Rekenen in groep 1-2

Kleuters in groep 1 en 2 gaan al veel bewuster om met de dingen. Zij kijken, voelen en luisteren al heel gericht en steken hele verhalen af bij alles wat ze doen. Ze leren analyseren, tellen, ordenen, construeren en structureren. Kleuters leren al spelend door te doen, te kijken, te experimenteren en te vertellen wat ze doen. Daardoor ontwikkelen zij actief de basis voor rekenwiskundig handelen. Dit noemen we ontluikende gecijferdheid of beginnende gecijferdheid.

Rekenen in groep 3-4

Kinderen in groep 3 en 4 zijn nog heel sterk gericht op handelen. Maar, zij kunnen al veel meer gedetailleerd en selectief waarnemen, analyseren, ordenen en structureren. De ontwikkeling van het rekenkundig handelen in de onderbouw bestaat uit het verwerven van kennis en vaardigheden op de domeinen Getallen en Bewerkingen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde. Geleidelijk aan wordt dit informele handelen gekoppeld aan het formele rekenen. Het informele handelen blijft echter in de onderbouw een belangrijke rol spelen. De koppeling tussen het informele handelen en het uitvoeren van formele bewerkingen (getallen schrijven en sommen maken) kan worden gestimuleerd door kinderen tijdens hun informele handelen te laten vertellen en tekenen.

Getallen en Bewerkingen

In het domein Getallen en Bewerkingen ontwikkelen kinderen de basis voor optellen en aftrekken. Zij verkennen de basisbewerkingen tellen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen. Zij leren getallen en sommen schrijven. Zij ontwikkelen inzicht in getalstructuren en in de waarde van de cijfers in een getal, zoals bijvoorbeeld het verschil tussen de getallen 23 en 32.

Het is essentieel dat het verbale tellen ondersteund wordt door concrete handelingen met werkelijke, concrete materialen en door afbeeldingen op papier. Door informatie op verschillende manieren aan te bieden ontwikkelen kinderen de rekentaal en het auditief/visuele waarnemen. Waarnemen bestaat uit kijken, luisteren, hoeveelheden overzien, analyseren, ordenen, structureren en benoemen. Dit is de basis voor het begrijpen en uitvoeren van bewerkingen.

Verhoudingen

Verhoudingen blijft het vergelijken: het één ten opzichte van het ander. De begrippen komen uit de domeinen Getallen en Bewerkingen en Meten en Meetkunde. De kinderen leren eerst ordenen en groeperen met woorden als lang, langer, nog langer, het langst. Dit vergelijken vormt de basis voor het ontwikkelen van concepten over standaardmaten en het metriek stelsel.

Meten en Meetkunde

In samenhang met de ontwikkeling van taalbegrip ontwikkelen kinderen ook steeds bewuster kennis en vaardigheden op het gebied van meten, geld en tijd. Het zelf doen en taal zijn cruciaal voor een goede ontwikkeling van concepten. Rekenen met geld valt onder het subdomein Meten vanwege het decimale stelsel. Ook klokkijken en gevoel en besef van tijd valt onder meten.

Rekenen in groep 5-6

Vanaf groep 5 ontwikkelen de kinderen de fundamenten van elementaire gecijferdheid .Daarbij gaat het met name om het koppelen van het informele handelen aan het formele rekenen, het ontdekken van structuur en eigenschappen van getallen, het verkennen van maateenheden gekoppeld aan het ontwikkelen van inzicht in verhoudingen, decimale getallen en breuken

Het informele handelen blijft echter de link met het functioneel gebruiken van rekenen-wiskunde in dagelijkse situaties en is de basis voor functionele gecijferdheid.

Getallen en Bewerkingen

In groep 5 en 6 raken de leerlingen vertrouwd met grotere getallen tot 1000 en vervolgens tot 10.000. Zij leren vermenigvuldigen en delen met getallen boven de 10 en maken kennis met kernbreuken en decimale getallen. Daarnaast leren zij dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen veel met elkaar te maken hebben. Zij leren daarnaast hoe zij op basis van een vaste procedure tot een oplossing kunnen komen (algoritme).

Verhoudingen

Zoals in Getallen en Bewerkingen al ter sprake kwam leren leerlingen vanaf groep 5 breuken en breukentaal. Daarnaast wordt er kennis gemaakt met decimale getallen, daarnaast volgt de koppeling met maten en maken zij geleidelijk aan kennis met het metriek stelsel.

Meten en Meetkunde

Leerlingen maken kennis met standaardmaten en met het decimale stelsel. Zij leren meten, wegen en inhoud bepalen, maten aflezen en benoemen. Lengte, gewicht en inhoud hebben als metriek stelsel alles met elkaar te maken, maar worden gebruikt voor verschillende doeleinden. Leerlingen breiden hun kennis op deze terreinen uit en kunnen meer in detail gaan werken en complexere opdrachten uitvoeren.

Rekenen in groep 7-8

Rekenen doet in groep 7 en 8 steeds meer een beroep op de formele rekenkennis en rekenvaardigheden van de leerlingen. De koppeling met het concrete, informele handelen blijft echter onmisbaar om bruikbare kennis en vaardigheden te ontwikkelen voor het dagelijkse leven. Hiermee wordt de basis voor elementaire en functionele gecijferdheid verstevigd. In de bovenbouw wordt het domein Informatieverwerking toegevoegd, ofwel het leren zien en begrijpen van verbanden.

Vanaf groep 6 worden de verschillen tussen rekenzwakke en rekensterke leerlingen steeds duidelijker. Zwakkere leerlingen zullen bij complexe opdrachten sneller afhaken.

Getallen en Bewerkingen

Van de gemiddelde en betere leerlingen wordt verondersteld dat zij de basisvaardigheden vlot gebruiken, Zij kunnen hoofdrekenen met mooie getallen tot 1.000.000. Het is belangrijk dat de leraar rekenwiskundige vaardigheden blijft koppelen aan opdrachten uit de dagelijkse leefwereld. Doordat leerlingen meerdere procedures tot hun beschikking hebben, kunnen zij hun oplossingsprocedures kiezen en afstemmen op hun eigen sterkste manier van rekenen.

Verhoudingen

Er wordt gerekend met verhoudingen, breuken, decimale getallen en met procenten. Ook schaalberekeningen zijn onderdeel van Verhoudingen. Voor rekenzwakke leerlingen is het voldoende als zij de basisbewerkingen met de meest voorkomende breuken kunnen uitvoeren en daarbij in swtaat zijn om met breuken om te zetten naar decimale getallen.

Meten en Meetkunde

Leerlingen leren werken met standaardmaten en met bijbehorende afleidingen binnen het metriek stelsel. Het kunnen rekenen met decimale getallen is hierbij een vereiste.

Informatieverwerking

Een functionele toepassing van rekenwiskundige kennis en vaardigheden is het begrijpen en interpreteren van informatie die ons dagelijks via de media bereikt. Dat kan via tekst, beelden of in de vorm van tabellen en grafieken. Daarnaast leren de leerlingen om zelf informatie op allerlei manieren weer te geven. Actief zelf ervaring opdoen met het weergeven van informatie vormt de basis voor het begrijpen van wat er in de wereld om ons heen gebeurt. Daardoor is informatieverwerking te beschouwen als onderdeel van functionele geletterdheid.

Tot slot

De inhoud van rekenen-wiskunde in het basisonderwijs is meestal afgebakend in leerstoflijnen en leerstofeenheden die inspelen op de veronderstelde rekenwiskundige ontwikkeling van de gemiddelde leerling. Dit is meestal vastgelegd in een methode. Methodes bepalen veelal op welke wijze het rekenwiskunde-onderwijs wordt georganiseerd en welke leerstof in welk leerjaar wordt behandeld. De grote opdracht bij passend onderwijs is het onderwijs weer af te stemmen op de ontwikkeling van individuele kinderen: het in balans brengen van leerstoflijnen op de ontwikkelingslijnen van kinderen. Daarbij staat de ontwikkeling van de leerlingen centraal.

Leren rekenen en rekenproblemen - Chapter 4

Rekenwiskundige ontwikkeling

Een goede, doorgaande rekenwiskundige ontwikkeling leidt tot functionele gecijferdheid. Gecijferde kinderen, jongeren en volwassenen kunnen hun rekenwiskundige kennis en vaardigheden adequaat gebruiken in hun dagelijkse leven, hun beroepssituaties en om verder te leven.

Op vier hoofdlijnen wordt de ontwikkeling van rekenwiskunde beschreven, namelijk:

1. Goed rekenwiskunde- onderwijs is optimaal afgestemd op de ontwikkeling van de individuele leerling
2. Elke stap in de ontwikkeling van de leerling bouwt voort op eerder verworven inzichten, kennis en vaardigheden.
3. Het afstemmen van het onderwijs op de ontwikkeling van de leerling maakt leren mogelijk
4. Onvoldoende of onjuiste afstemming kan leiden tot verstoring in het proces van leren rekenen.

Preventie en interventie bij de vier hoofdlijnen

Preventie hoofdlijn 1:

Voor rekenzwakke leerlingen geldt dat nauwkeurige afstemming nodig is; dat zij meer onderwijstijd nodig hebben en dat het onderwijsaanbod afgestemd is op hun niveau van denken en rekenen. Voor jonge kinderen zijn rekenzwakke leerlingen nog moeilijk te herkennen, het is zinvol extra activiteiten aan te bieden. Laat ze daarnaast experimenteren, en vertellen wat ze doen. Kinderen van groep 3-5, daarbij is het belangrijk dat er aandacht is voor contextgebonden naar objectgebonden: de koppeling van de werkelijkheid aan een afbeelding van die werkelijkheid en vervolgens aan een denkmodel voor het formele rekenen. Zorg voor functionele contexten.

Kinderen uit groep 6-8. Biedt hen rust en extra tijd om het onderwerp te verkennen. Geen hen ruim te gelegenheid nieuwe informatie te relateren aan wat ze al weten,

Jongeren hebben problemen met het verlenen van betekenis en gebrekkige conceptvorming.

Interventie hoofdlijn 1:

Besteed gericht aandacht aan het onthouden van informatie tijdens verkenning van nieuwe onderwerpen. Sluit aan bij voorkennis.

Ontwikkeling hoofdlijn 2

Basisbewerkingen (tellen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) zijn voorwaarde voor al berekeningen. Oefen dit bijvoorbeeld met hokjes tellen, rijgen etc. Contexten variëren is belangrijk voor het ontwikkelen van goed inzicht en goede oplossingsprocedures. Beheersing van de basisbewerkingen is voorwaarde om complexe bewerkingen in de middenbouw en bovenbouw uit te kunnen voeren. Bij het kolomsgewijs rekenen wordt aangeraden dat leerlingen niet te lang in tussenstappen blijven hangen. Zodra zij structuur van een algoritme begrijpen is het van belang zo snel mogelijk naar de kortste procedure te gaan en die consquent te oefenen. Goed uitgevoerde algoritmes zijn efficiënt en leiden tot het goede antwoord.

Preventie hoofdlijn 2

In het algemeen geldt dat preventieve maatregelen zijn bedoeld om rekenzwakke leerlingen ondersteunen zodat zij perspectiefvolle procedures kunnen ontwikkelen. De leraar speelt een actieve, structurerende rol in deze instructie

Interventie hoofdlijn 2

Bij interventie gaat het om het nauwkeurig afstemmen van het onderwijs op de onderwijsbehoeften van de leerling. Daarbij is de afstemming gericht op begripsvorming (het verlenen van betekenis en conceptontwikkeling) en het gebruik van passende materialen.

Ontwikkeling hoofdlijn 3

Vlot leren rekenen bestaat uit oefenen, automatiseren en memoriseren van bruikbare rekenwiskundige kennis en procedures.

Er zijn een aantal aspecten van vlot leren rekenen, namelijk:

• Oefenen
  • Betekenisvol oefenen - Oefenen moet passen in het proces van betekenisvol leren, de conceptontwikkeling en het ontwikkelen van procedures. De betekenis van rekenen in het dagelijkse leven is belangrijk.
  • Productief oefenen - Betekenisvol oefenen gaat samen met productief oefenen. Leerlingen construeren zelf passende bewerkingen (tekeningen, schema’s, sommen) bij een context. Dit doet een beroep op hun inzicht en op hun conceptuele kennis.
  • Associatief en flexibel oefenen - Associatief oefenen is voorwaarde voor het ontwikkelen van geordende netwerken van samenhangende kennis en vaardigheden. Daarvoor worden opdrachten in samenhang aangeboden.
  • Multi-channel oefenen - Leerlingen maken gebruik van hun sterkte kanten. Door regelmatig te oefenen versterken zij hun sterke kanten. Leerlingen die verbaal zwak zijn en visueel sterk moeten aangemoedigd worden om hun handelingen goed te verwoorden.
  • Effectief oefenen - Alle leerlingen zijn gebaat bij effectieve instructie en effectief oefenen. Hoe meer rendement zij uit elke inspanning halen, hoe sterker zij gemotiveerd worden. Rekenzwakke leerlingen hebben meer profijt van directe instructie: voordoen – nadoen.
  • Systematisch oefenen - Alle leerstof moet systematisch aan bod komen. Leerlingen nemen stof die systematisch en regelmatig aan bod komen beter op.
  • Regelmatig oefenen - Regelmatig oefenen is een must. Elke dag een uur rekenen, waarvan een half uur oefenen is voor alle leerlingen belangrijk. Rekenzwakke leerlingen hebben daarbij nog een uur per week extra nodig.
• Automatiseren en memoriseren - Dit zijn activiteiten waarbij het geheugen een centrale rol speelt. 
  • Declaratieve kennis - Feitenkennis, conceptuele kennis en semantische kennis. Deze kennis is direct oproepbaar uit het langetermijngeheugen.
  • Procedurele kennis - Geautomatiseerde kennis, procedures en vaardigheden. Deze kennis is in het onbewuste geheugen opgeslagen. Automatiseren is het proces van het zich eigen maken van kennis en vaardigheden door begrijpen, oefenen en toepassen.
• Rol van IT - Informatietechnologie biedt interessante mogelijkheden voor alle aspecten van oefenen die we hierboven hebben genoemd maar ook voor instructie.

Preventie bij hoofdlijn 3

Om problemen bij oefenen, automatiseren en memoriseren te voorkomen is het van belang een goed oefenprogramma op te stellen dat past bij de leerling en zoveel mogelijk aansluit bij de methode. Hierbij zijn de volgende aandachtspunten nuttig:

• Betekenisvol oefenen
• Actief en doelgericht oefenen
• Goede contexten en denkmodellen
• Visuele ondersteuning
• Rekening houden met sterke en zwakke kanten van de leerlingen
• Associatief oefenen
• Systematisch oefenen
• Gevarieerd oefenen
• Multi-channel oefenen
• Regelmatig oefenen

Interventie bij hoofdlijn 3

Rekenzwakke leerlingen hebben behoefte aan duidelijke structuur bij het oefenen. Het allerbelangrijkste is regelmaat. Directe instructie is belangrijk bij rekenzwakke leerlingen. Dat betekent: voordoen-nadoen-samen doen-zelf doen.

Samenvatting van hoofdlijn 3:

• Onbegrepen procedures en losse feitenkennis in de basisvaardigheden leiden tot fragmentarische kennis en vaardigheden
• Problemen met het automatiseren van standaardalgoritmes en complexe procedures belemmeren het vlot leren rekenen
• Problemen met het memoriseren leiden tot het niet goed georganiseerd opslaan van informatie

Ontwikkeling van hoofdlijn 4

Het doel van leren rekenen is dat leerlingen de verworven rekenwiskundige kennis en vaardigheden in functionele situaties van het dagelijkse leven kunnen gebruiken. Hiervoor is het nodig dat leerlingen hun kennis en vaardigheden gedurende de schoolperiode vanaf het begin flexibel leren toepassen en gebruiken. Het uiteindelijke doel van rekenwiskunde-onderwijs is functionele geletterdheid.

Functionele rekenwiskundige kennis en vaardigheden

• Getallen en bewerkingen
• Verhoudingen, breuken, decimale getallen en procenten
• Meten en meetkunde, waaronder het metriek stelsel, geld en tijd
• Verbanden, waaronder data, kans en groei/informatieverwerking.

Daarnaast gaat men er vanuit dat volwassenen competenties hebben voor het managen van rekenwiskundige situaties en dat men competenties bezit voor het zelfstandig verwerven van nieuwe informatie, lifelong learning.

Bij flexibel toepassen onderscheiden we twee componenten

1. Het adequaat kunnen gebruiken van verschillende oplossingsprocedures om rekenvraagstukken op te lossen, afgestemd op de situatie
2. Ontwikkelen van strategisch denken en handelen om keuzes te kunnen maken en beslissingen te nemen bij het oplossen van rekenvraagstukken.

Preventie bij hoofdlijn 4

Het flexibel toepassen is de afronding van elke leerstoffase, maar er kan al mee worden gestart tijdens het vlot leren rekenen. De leerlingen leren het geleerde toepassen in verschillende contexten. Blijven oefenen is dus het advies. Leerlingen moeten uitgedaagd worden om strategisch denken en handelen te ontwikkelen.

Interventie bij hoofdlijn 4

De beste bijdrage leveren opdrachten die binnen de mogelijkheden van de leerling passen zodat hij succeservaringen beleeft.

Samenvatting

Gebrekkige oplossingsprocedures en tekorten in het strategisch denken en handelen belemmeren het flexibel toepassen.

Alle leerlingen hebben goed onderwijs nodig op de vier hoofdlijnen. Voor rekenzwakke leerlingen is dit zeker noodzakelijk om te voorkomen dat hun ontwikkeling stagneert.

Onvoldoende aandacht voor gebrekkige kwaliteit van het onderwijs op de vier hoofdlijnen kan met name bij rekenzwakke leerlingen leiden tot (ernstige) stagnatie in het leren rekenen. Daarnaast is verdere afstemming nodig op specifieke onderwijsbehoeften.

In hoofdstuk 1 kwamen kort rekenzwakke en rekensterke leerlingen ter sprake. Hieronder zal het uitgebreider worden beschreven.

Rekensterke leerlingen

Leerlingen slagen er vaker in verbanden te herkennen en relaties te leggen met eerder verworven kennis en vaardigheden. Deze leerlingen zijn minder gevoelig voor kleine misfits in de afstemming. Zij leren als het ware ondanks het onderwijs

Rekenzwakke leerlingen

De juiste afstemming van het onderwijsaanbod op onderwijsbehoeften is cruciaal. Zij zijn afhankelijk van het geboden onderwijs. Voor deze leerlingen luistert de afstemming zeer nauw.

Het is belangrijk om aandacht te hebben op de vier hoofdlijnen die hierboven zijn beschreven, er is namelijk bijzondere aandacht en afstemming nodig om te voorkomen dat hun rekenwiskunde ontwikkeling gaat stagneren.

Een goede rekenwiskundige ontwikkeling verloopt via vier hoofdlijnen:

1. Begripsvorming
2. Ontwikkelen van oplossingsprocedures
3. Vlot leren rekenen
4. Flexibel toepassen van kennis en vaardigheden

Het verwerven van elk nieuw leerstofonderdeel begint met begripvorming, men leert betekenis te verlenen aan getallen en bewerkingen, daarnaast verwerft men geleidelijk het concept. Vervolgens leert men oplossingsprocedures waarmee men getallen en bewerkingen kan oplossen. Om vlot te leren rekenen is automatiseren en memoriseren van kennis en vaardigheden noodzakelijk, daar is oefening voor nodig. Het uiteindelijke doel is dat leerlingen kennis en vaardigheden flexibel kunnen toepassen in functionele situaties. In de dagelijkse onderwijspraktijk lopen meerdere hoofdlijnen naast elkaar.

Begripsvorming

Bij de ontwikkeling van begripsvorming onderscheiden we:

• Verlenen van betekenis aan rekenwiskundig handelen (semantiseren)
  Het handelen van leerlingen in authentieke situaties heeft altijd een doel en een betekenis. Tijdens dit rekenwiskundig handelen ontwikkelen leerlingen spontaan rekenwiskunde concepten. Een goede context is een afspiegeling van een werkelijkheidssituatie en is functioneel voor het doel dat men wil bereiken: het verlenen van betekenis aan het rekenen op school en ontwikkeling van rekenwiskunde concepten.

• Ontwikkelen van rekenwiskunde concepten
  Het verlenen van betekenis is voorwaarde voor het ontwikkelen van betekenisvolle rekenwiskundige concepten. Hierdoor ontstaat inzicht. Denkmodellen zijn belangrijk, een denkmodel is een visuele voorstellen van de wijze waarop een leerling een berekening uitvoert. Hierbij zijn contexten erg belangrijk;

  • Contexten vormen de brug van het informele rekenen in de werkelijkheid naar het formele rekenen op school
  • Contexten zijn voorwaarde voor het ontwikkelen van betekenisvolle rekenwiskundige concepten
  • Contexten zijn ondersteunend bij het ontwikkelen van oplossingsprocedures

• Ontwikkelen van rekentaal
  De taal is het middel om de betekenis van situaties en handelingen te kunnen benoemen en daarover te communiceren. Het begrijpen van een rekenwiskundige situatie speelt zich af in het hoofd van de leerlingen. In hoeverre zij begrijpen wat ze doen, kunnen we zien en horen aan:

  • De denkmodellen die zij gebruiken om de gevolgde aanpak te laten zien
  • De gebruikte oplossingsprocedure (manier van rekenen)
  • De taal die zij gebruiken om een rekenwiskundige aanpak in eigen woorden uit te leggen.

Het ontwikkelen van tellen en getalbegrip blijft niet beperkt tot het jonge kind, maar gaat continu door gedurende de schoolperiode. Vanaf groep 3 komt het formele rekenen in beeld. Leerlingen ontwikkelen geleidelijk aan steeds meer begrip van belangrijke rekenwiskundige concepten. Zij ontdekken de betekenis van het getallensysteem, eigenschappen van en verbanden tussen getallen en bewerkingen. Bij een doorgaande rekenontwikkeling gaan toenemende formalisering en semantisering hand in hand.

Knelpunten bij begripsvorming

Er zijn leerlingen bij wie het proces van begripsvorming niet vanzelfsprekend gaat.

Contexten spelen een essentiële rol bij het leren van rekenen-wiskunde. Zij vormen de verbindende schakel met de werkelijkheid. Daardoor leren leerlingen betekenissen te verlenen aan het rekenen. Contexten zijn bedoeld om leerlingen te activeren tot vertellen, visualiseren en redeneren. Daardoor ontstaat begrip en inzicht in het ontwikkelen van rekenwiskundige concepten. Rekenzwakke leerlingen hebben baat bij contexten die aansluiten bij hun rekenwiskunde ontwikkeling. Naast contexten zijn er andere knelpunten die zich bij betekenisverlening kunnen voordoen, namelijk:

• Taalontwikkeling, leerlingen kunnen moeite hebben met het begrijpen van contexttaal
• Het lezen, leerlingen kunnen struikelen over contexten met veel tekst
• De rekentaal, leerlingen kunnen hun rekentaal onvoldoende ontwikkelen
• Het visualiseren, leerlingen kunnen moeite hebben met tekenen/schematiseren van een rekensituatie
• Het begrijpen en onthouden van oplossingsprocedures. Leerlingen hebben moeite met volgorde van bewerkingen

Knelpunten bij vlot leren rekenen

Bij oefenen, automatiseren en memoriseren gebruiken we het werkgeheugen en het langetermijngeheugen. Problemen bij automatiseren kunnen ontstaan door overbelasting van het werkgeheugen, door afleidende informatie en door het wisselen van taken. Dit leidt tot fragmentarische kennis. Met name bij complexere taken raken rekenzwakke leerlingen de weg kwijt omdat het werkgeheugen sneller overbelast raakt. Men moet rekening houden met de sterkte punten van de leerling.

Als een leerling sterk visueel is aangelegd is het raadzaam oefenstof met denkmodellen te ondersteunen en geen kale sommen aan te bieden.

Knelpunten bij het leren van flexibel toepassen

Op school wordt veel aandacht besteed aan de ontwikkeling van cognitieve kennis en vaardigheden en veel minder, eigenlijk niet of nauwelijks, aan de ontwikkeling van strategisch denken en handelen. Over het algemeen wordt in het onderwijs te weinig tijd besteed aan de ontwikkeling van een probleemoplossende aanpak. Met name rekenzwakke leerlingen komen nauwelijks toe aan het toepassen van verworven kennis en vaardigheden.

Observeren en analyseren van leerprocessen - Chapter 5

Het handelingsmodel

In de wetenschap bestaan diverse theorieën over hoe kinderen leren. In dit protocol wordt gekozen voor een handelingstheorie als de theoretische onderbouwing van de rekenwiskundige ontwikkeling van leerlingen, omdat het daarvan afgeleide handelingsmodel verhelderend werkt bij het in beeld brengen van deze ontwikkeling. Het verwoorden en de rol van het mentaal handelen zijn in het handelingsmodel nadrukkelijk benoemd.

Het handelingsmodel is een schematische weergave van de rekenwiskundige ontwikkeling. De leraar kan gericht opserveren en signaleren hoe de rekenwiskundige ontwikkeling van de leerlingen verloopt. Het handelingsmodel geeft de opbouw van en de samenhang tussen de verschillende niveaus van handelen systematisch en in detail weer. Het model biedt drievoudige ondersteuning

1. Het biedt de leraar ondersteuning bij het observeren van leerlingen tijdens het rekenen, waardoor hij de overgangen van het ene naar een volgende niveau van handelen kan herkennen
2. Het biedt aanknopingspunten om het onderwijsaanbod nauwkeuriger af te stemmen op de onderwijs behoeften van leerlingen bij het leren van rekenen-wiskunde
3. Het biedt aanknopingspunten voor de begeleiding van de leerlingen die meer ondersteuning nodig hebben bij hun rekenwiskundige ontwikkeling

Handelingsniveaus

Kinderen leren van volwassenen en van elkaar op vier verschillende niveaus van handelen.

1. Kinderen leren op informele wijze door samen iets te doen of te beleven
2. Kinderen leren door met elkaar over een concrete situatie te praten
3. Kinderen leren op een meer abstract niveau te redeneren
4. Kinderen redeneren op basis van tekst, getallen, of een combinatie van beide.

Handelingsmodel

IJsbergmetafoor

Dit is een ander model dat veel wordt gebruikt. Waar de ijsberg vooral een inhoudelijke gelaagdheid verbeeldt (het wat), legt het handelingsmodel meer de nadruk op de processen die plaatsvinden (het hoe).

Het handelingsmodel als model voor interventie

Het model kan ook worden gebruikt om bij problemen in de rekenwiskundige ontwikkeling de handelingen van leerlingen te observeren, analyseren en interpreteren. Op basis daarvan kan worden bepaald wanneer welke interventies worden gepleegd.

Bij het leren uit een boek wordt verondersteld dat leerlingen als vanzelf de stap maken van werkelijkheid (niveau 1) naar concrete voorstellingen (niveau 2), schema’s en denkmodellen (niveau 3) en sommen (niveau 4). Dit is echter niet zo vanzelfsprekend. De leraar heeft hier een cruciale rol. Hij legt de verbindingen tussen de verschillende niveaus. Door interactie (communicatie) en het laten verwoorden van handelingen die de leerling doet, stuurt de leraar het mentale proces aan en begeleidt hij de leerling van het ene naar het andere niveau. Sommige leerlingen hebben veel moeite met de stap naar het formele niveau. Juist voor hen is het belangrijk systematisch de relatie te blijven leggen met de onderliggende niveaus.

De handelingstheorie leert ons dat leerlingen actief bij hun eigen ontwikkeling betrokken moeten zijn voor een optimaal leerrendement. Experimenteren en ervaringen opdoen in samenwerking met anderen is de basis van functionele kennis en vaardigheden verwerven.

Het drieslagmodel

Het ultieme doel van rekenen-wiskunde onderwijs is functionele gecijferdheid. Het drieslagmodel wordt gebruikt voor het analyseren van probleemoplossend handelen van de leerling en biedt aanknopingspunten voor het didactisch handelen van de leraar.

De context in het drieslagmodel representeert een dagelijkse situatie. Tijdens het plannen bedenkt hij wat hij allemaal moet weten en doen voordat hij de beslissing neemt.

Hij identificeert en analyseert getalsmatige informatie, tekst en symbolen en geeft daar betekenis aan. Vervolgens kan men bepaalde berekeningen doen, bewerkingen, dat voert men uit waar uiteindelijk de oplossing uit voort komt. Dan reflecteert men of de beslissing de juiste is.

Het drieslagmodel biedt een systematische aanpak voor probleemoplossend handelen. Leerlingen leren dit aan de hand van drie sleutelwoorden

1. Plannen
2. Uitvoeren
3. Reflecteren

Het drieslagmodel biedt tevens aanknopingspunten voor de leraar om het rekenen van de leerlingen bij contexten, maar ook bij kale bewerkingen, systematisch te analyseren en indien nodig in te grijpen in het leerproces. Daarbij staan twee vragen centraal, namelijk : ‘hoe en wat’. Hierdoor leert een leerling reflecteren op zijn eigen handelen, of monitoren.

Nog altijd overheerst in het onderwijs de opvatting dat leerlingen het technisch rekenen moeten beheersen om contextproblemen te kunnen oplossen. In dit protocol wordt uit gegaan van nieuwe inzichten, waaruit juist het omgekeerde blijkt. Al langer is bekend dat bij leesproblemen juist het aanbieden van betekenisvolle contexten bevordert dat de (technische) leervaardigheid zich verder ontwikkelt. Bij rekenen geldt eigenlijk hetzelfde. Voor het ontwikkelen van functionele gecijferdheid is het rekenen aan de hand van betekenisvolle contexten essentieel. Door tijdens het rekenen met contexten met het drieslagmodel te werken wordt het betekenisvol leren en oefenen bevorderd.

Kindkenmerken

Kindkenmerken zijn in principe positieve ontwikkelingsfactoren. Als deze echter onvoldoende ontwikkelt zijn, kunnen dezelfde kindkenmerken belemmerend werken tijdens het leerproces. Bij het leren rekenen-wiskunde gaat het erom optimaal gebruik te maken van de sterkte kindkenmerken die het leerproces positief beïnvloeden. Tegelijkertijd moet ook energie gestoken worden in activiteiten die verbetering van de zwakkere kindkenmerken opleveren.

De volgende kindkenmerken spelen een belangrijke rol voor goede rekenwiskundige ontwikkeling:

• De ontwikkeling van numerieke cognitie (gevoel voor getallen, getalbegrip)
• Taalontwikkeling
• Ontwikkeling van het visueel waarnemen
• Geheugenfuncties
• Werkgeheugen
• Langetermijngeheugen
• Motivationeel-affectieve factoren

Bij het uitvoeren van oplossingsprocedures spelen zowel de niveaus van handelen als kindkenmerken een rol. De handelingsniveaus laten zien tot op welk niveau een leerling oplossingsprocedures kan uitvoeren. Ook de wijze waarop de leerling zijn handelen kan verwoorden is geeft belangrijke informatie.

Diagnosticerend onderwijzen - Chapter 6

In dit protocol spelen drie variabelen een grote rol: de rekenwiskundige ontwikkeling van de leerling, het rekenwiskunde-onderwijs en de leraar. Elk van de pijlers beïnvloedt de andere. Het protocol verwijst steeds naar de optimale combinatie om de rekenwiskundige ontwikkeling van leerlingen zo goed mogelijk te laten verlopen.

De rekenwiskundige ontwikkeling van de leerling

Rekenwiskundige ontwikkeling gaat samen met onderwijsbehoeften van de leerling. Bij een normale ontwikkeling laat de leerling geleidelijke vooruitgang zien in zijn ontwikkeling. Als zich problemen voordoen zal de leraar het onderwijs beter op de onderwijsbehoeften van de leerling moeten afstemmen. Er zijn vier fasen in onderwijsbehoeften van leerlingen bij het leren van rekenen-wiskunde. Zie de afbeelding in het boek getiteld 'Omschrijving van de fasen in onderwijsbehoeften bij het leren rekenen'.

Deze afbeelding laat zien welk type ondersteuning de leerling in welke fase nodig heeft. Diagnosticerend onderwijzen helpt de leraar geringe problemen te signaleren en vast te stellen in de ontwikkeling van rekenwiskundige inzichten, kennis en vaardigheden van een leerling. De school stelt vervolgens een individueel handelingsplan op voor de afstemming van het onderwijs op de specifieke onderwijsbehoefte van de leerling. Bij fase rood wordt er externe ondersteuning geboden. Er wordt een ERDW-indicatie verleent.

Het rekenwiskunde-onderwijs

Rekenwiskunde-problemen kunnen in veel situaties worden voorkomen of gereduceerd door diagnosticerend onderwijzen. Met deze didactische aanpak stemt een leraar het rekenwiskunde onderwijs optimaal af op de rekenwiskundige ontwikkeling van de leerling en de daaruit voortvloeiende onderwijsbehoeften. Om de afstemming op de ontwikkeling van de leerling te realiseren zijn zorgvuldige analyses van de vorderingen van de leerling en programmering van onderwijsactiviteiten noodzakelijk. Differentiatie door de leraar is mogelijk.

De leraar

Didactisch handelen van de leraar is cruciaal voor het succes van preventie van ernstige rekenwiskunde-problemen. In het didactisch handelen van de leraar worden een aantal stappen onderscheiden, namelijk:

• Het denken en handelen van de leerling observeren
• Eventuele knelpunten en herkenbare beheersing signaleren
• Bevindingen en (toets) resultaten analyseren
• Uitkomsten interpreteren
• Afstemming voorbereiden
  • Onderwijsbehoeften bepalen
  • Leerstof selecteren
  • Instructie- en werkvormen kiezen
• De afgestemde les(sen) uitvoeren
• Resultaten registreren

Er worden drie manieren van lesgeven onderscheiden, sporen.

1. Spoor 1: startfase voor beginnende leraren die vertrouwd raken met het rekenwiskunde-onderwijs in de praktijk
2. Spoor 2: diagnosticerend onderwijs
3. Spoor 3: diagnosticerend onderwijs om tot afstemming op specifieke onderwijsbehoeften van individuele leerlingen te komen.

Deze sporen vormen samen het zogenaamde 1-zorgroute.

Samenwerken in een team

Samenwerking wordt als iets vanzelfsprekends ervaren. Dit is een voorwaarde om inhoud te geven aan de gedeelde verantwoordelijkheid voor een goede ontwikkeling van alle leerlingen.

Lesgeven op spoor 1

De leraar die lesgeeft op spoor 1 werkt volgens de richtlijnen van de methode en volgt de aanwijzingen in de handleiding op. De methode biedt vaak aanwijzingen voor differentiatie. Hij volgt de methode en wijkt daarvan vrijwel niet af. Afstemming op specifieke onderwijsbehoeften van leerlingen is daardoor niet of slechts beperkt aan de orde. Rekenwiskunde-onderwijs op spoor 1 kenmerkt zich door de volgende punten:

1. Groepsplan opstellen
2. Observeren
3. Evaluatie
4. Signaleren

Ondersteuning van de leraar op spoor 1

De leraar die lesgeeft op spoor 1 heeft behoefte aan ondersteuning van een interne rekenexpert of van een bekwame collega. Dit vraagt collegiale samenwerking. Door collegiale samenwerking ontstaat teamdeskundigheid. In een rekenwiskunde-methode is het onderwijsaanbod nooit optimaal afgestemd op de specifieke onderwijsbehoeften van leerlingen. Dat is een taak voor de leraar.

Lesgeven op spoor 2

De leraar op spoor 2 handelt doelgericht. Hij werkt binnen de groep met enkele subgroepjes die specifieke ondersteuning nodig hebben op deelgebieden. Deze leraar gebruikt de methode om zijn instructie, de leerstof en de denkmodellen af te stemmen op de onderwijsbehoeften van de (subgroepjes) leerlingen. De leraar maakt gebruik van de aanwijzingen in de methode, maakt gebruik van zijn kennis van de vier hoofdlijnen (begripsvorming, ontwikkelen van oplossingsprocedures, vlot leren rekenen, flexibel toepassen) en de twee didactische modellen (Handelingsmodel en het drieslagmodel). De leraar kan observeren, differentiëren en het programma afstemmen op de leerlingen. De leraar deelt de groep in subgroepen in.

De volgende punten zijn belangrijk voor een leraar op spoor 2

• Analyseren, signaleren en interpreteren
• Afstemmen
• Observeren en signaleren
• Analyseren, interpreteren en afstemmen
• Reflectie op eigen didactisch handelen

Ondersteuning van de leraar

De leraar is goed in staat het rekenonderwijs af te stemmen op de ontwikkeling en de onderwijsbehoeften van de leerlingen. Hij realiseert dat door de groep onder te verdelen in subgroepjes en daarop zijn groepsplan in te richten. De leraar overlegt met de interne rekenexpert over het begeleiden van leerlingen die geringe rekenwiskunde-problemen op deelgebieden ervaren. Zij bespreken daarnaast de individuele aanpassingen en handelingsplannen voor leerlingen waarbij een extern diagnostisch onderzoek loopt naar ernstige rekenwiskunde-problemen.

Lesgeven op spoor 3

Een leraar op spoor 3 bezit minstens alle bekwaamheden van een leraar op spoor 2. Maar, een leraar die op spoor 3 kan werken beheerst het diagnosticerend onderwijzen (spoor 2) en bezit eveneens de competenties om diagnostiek voor rekenen-wiskunde uit te voeren. Daardoor kan hij zijn onderwijsactiviteiten beter afstemmen op de leerling. Ook is hij in staat een eerste diagnose te stellen. Daarnaast is hij in staat onderwijsbehoeften van de individuele leerling af te stemmen in de verschillende fasen van een problematische rekenwiskundige ontwikkeling. De leraar heeft een goed beeld van de totale ontwikkeling van individuele leerlingen. Hij kan kindkenmerken nader onderzoeken en hierop inspelen bij het lesgeven.

Het bijzondere van spoor 3 is dat de specifieke onderwijsbehoeften van individuele leerlingen in kaart worden gebracht. Op spoor 2 wordt al gewerkt met subgroepjes, maar op spoor 3 worden daarbinnen specifieke individuele accenten gelegd. Diagnostische gesprekken met de leraar kunnen leiden tot een persoonlijk handelingsplan voor ondersteuning op maat.

Evalueren

Alle leraren bespreken enkele keren per jaar de vorderingen van hun leerlingen in een groepsbespreking. Hierin komen de volgende punten aan de orde

• Toetsresultaten van de totale groep, inclusief analyses
• Mogelijke knelpunten in de methode
• Groepsplan voor de volgende periode
• Samenstellingen van subgroepjes
• Begeleiding van individuele leerlingen
• Behoefte aan nadere diagnose, eventueel extern diagnostisch onderzoek
• Professionaliseringsvragen van de leraar
• Gewenste coaching voor de leraar

Methodegebonden toetsen

Er staan op bijna alle scholen wel één of meer methode overstijgende toetsen op de toetskalender. De volgende punten zijn een meerwaarde:

• Genormeerde methode-onafhankelijke toetsen kan men vergelijken met een landelijke norm. Men kan zien wat het ‘gemiddelde’ niveau is in Nederland
• De resultaten van rekenwiskunde-onderwijs worden getoetst over een langere periode
• Rekenzwakke leerlingen worden gesignaleerd.

Intern diagnostisch onderzoek - Chapter 7

Interne rekenexperts voeren onderzoek uit naar de problemen op deelgebieden bij leerlingen. Er is dan tijdelijk specifieke ondersteuning nodig om leerling weer op weg te helpen. Wij spreken van goede diagnostiek als het gaat om:

• Een geplande interventie;
• Met een duidelijke vraagstelling;
• In een systematisch gesprek met de leerling;
• Aan de hand van een weloverwogen selectie van rekenwiskunde-opdrachten
• Met de bedoeling beter te begrijpen hoe de leerling denkt en rekent.

Een interne onderzoeker moet kennis en ervaring hebben opgebouwd op het niveau van een leraar op spoor 3 en daarbij moet hij beschikken over diagnostische kennis en vaardigheden, dat betekent dat hij:

• Beschikt over pedagogische en didactische competenties voor het creëren van condities en voor het uitlokken van reacties van de leerling
• Beschikt over vakdidactische kennis op het gebied van rekenen-wiskunde
  • Kennis over de ontwikkelingslijnen van kinderen
  • Beschikt over methode-overstijgende kennis van de leerstoflijnen van de vier domeinen van alle jaargroepen
  • De niveaus van handelen (handelingsmodel) en de daarbij behorende techniek van vragen stellen beheerst
  • De stappen bij probleemoplossend handelen (drieslagmodel) en de daarbij behorende techniek van vragen stellen beheerst
  • De signaleringspunten van de vier hoofdlijnen scherp voor ogen heeft, preventieve maatregelen kan nemen en interventie kan toepassen
• De juiste opdrachten kan selecteren en/of formuleren voor het onderzoek
• Kindkenmerken kan waarnemen, analyseren en beïnvloeden

Het handelingsgericht werken verloopt aan de hand van drie soort vragen

• Onderkennende vraag; wat is er aan de hand? Hoe groot is de rekenachterstand?
• Verklarende vraag: Hoe komt het dat de leerling de tafels nog niet beheerst?
• Adviserende vraag: Wat heeft deze leerling nodig?

Het diagnostisch gesprek

Op basis van de informatie uit het LOVS, de methodegeboden toetsen en het werk in de klas, heeft de interne onderzoeker een beeld van wat de leerling kan. Hij heeft dit inzicht nodig om het diagnostisch gesprek voor te bereiden en te bepalen wat de opbrengst moet zijn. Tijdens het gesprek legt de interne onderzoeker de leerling meerdere rekenwiskunde-opdrachten voor. Een deel van de opdrachten sluit aan bij het niveau van rekenwiskundige vaardigheid van de leerling en een ander deel sluit aan bij de zone van naaste ontwikkeling van de leerling. In een diagnostisch gesprek gaat het erom dat de leerling zich uitgenodigd voelt te laten zien hoe hij denkt en rekent.

De interne onderzoeker sluit af door een terugblik met de leerling.

De opbrengst van het interne diagnostisch onderzoek

Na afloop van het diagnostisch gesprek analyseert de interne onderzoeker de verkregen informatie en komt tot conclusies. Deze bespreekt hij met de leraar of interne rekenexpert. Op basis daarvan stelt hij een advies op.

Na verloop van het diagnostisch onderzoek en de bespreking met de leraar/interne rekenexpert stelt de interne onderzoeker een rapport op. Hierin beschrijft hij zijn bevindingen en de analyse van het diagnostisch gesprek, kindkenmerken, positieve aanknopingspunten en zijn advies.

Vervolgactiviteiten

Op basis van het diagnostisch rapport stelt de interne rekenexpert in samenwerking met de leraar van de leerling een individueel handelingsplan op met doelen op korte en op langere termijn.