Wat zijn Random- en Mixed-Effects Analysis of Variance Models?

Om het risico op een Type I fout zo klein mogelijk te houden bij ANOVA, moeten we het totale alpha-level controleren. Maar we moeten ook het onderscheidingsvermogen (power) (de kans om de een foute nulhypothese te verwerpen) vergroten. De omnibus F-toets kan dit totaal toetsen. Deze test wordt ook gebruikt in het ANOVA model. De een-factor ANOVA model heeft een onafhankelijke variabele of factor met twee of meer levels.

In het random-effects model, zijn in alle steekproeven de levels van de onafhankelijke variabele random genomen van de levels van de populatie. Hierdoor kunnen er generalisaties gemaakt worden over alle levels van de populatie.

In het fixed-effects model worden eerst de levels van de onafhankelijke variabele geselecteerd, waarna de onderwerpen (subjects) random worden toegewezen aan de levels van de onafhankelijke variabele. In sommige situaties kan de onderzoeker deze toewijzingen controleren, maar in andere situaties kan dit niet. Daarom moet hierin een verschil worden gemaakt. De analyse verschilt niet tussen de situaties, maar de interpretatie van de resultaten verschilt wel.

Bij een fixed-model ANOVA worden de behandelniveaus, of behandelgroepen, zorgvuldig geselecteerd en blijven deze gelijk wanneer het experiment wordt herhaald. Bij een random model worden de behandelniveaus door een willekeurig proces verkregen, en variëren deze dus per herhaling.

Gekruist design met random variabele

Soms zullen we een ontwerp hebben met een fixed factor en een willekeurige of random factor. Stel dat we willen testen of mensen sneller hoofdletters dan kleine letters herkennen. De lettergrootte is een fixed factor. Door een steekproef uit het alfabet selecteren we vijf letters die we gebruiken in het experiment (A, G, D, K, W). Deze variabele ‘letters’ is een random factor.

Omdat één van de factoren willekeurig is, zullen we bij een herhaling van het experiment andere letters selecteren en zullen de F waardes dus ook verschillen op basis van de letters die we selecteren. Een belangrijk feit hierbij is, dat het hebben van een random effect de test voor het fixed effect (in dit geval: Lettergrootte) verandert.

Om te laten zien welk effect random factoren hebben, moeten we kijken naar de verwachte mean squares. Deze worden weergegeven in tabel 18:

Bij een fixed en een random variabele wordt de F test voor de fixed variabele:

Voor random variabele: E(F) = E(MS_b/MS_error) = (σ²_e + nbσ²_β)/ σ²_e

Voor interactie effect: E(F) = E(MS_AB/MS_error) = (σ²_e + nσ²_αβ)/ σ²_e

Voor fixed variabele: E(F) = MS_A/MS_AB = E(σ²_e + nσ²_αβ + nbσ²_α)/( σ²_e + nσ²_αβ)

Het model

In fixed modellen is er één ware effectgrootte. De verschillen in effectgrootte uit verschillende studies komt door random steekproeferror. Bij gedragswetenschappelijk onderzoek worden in onderzoeken vaak meerdere variabelen gemeten en afgewisseld. Het ene onderzoek zal meer vrouwen in de studie hebben dan het andere, of andere leeftijden, etc. Dat wil zeggen: we hebben vaak te maken met willekeurige/random modellen in plaats van fixed modellen. Als we dan effectgroottes gaan vergelijken, bestaat de meting per studie uit willekeurige error (zoals elke studie) maar er is daarnaast ook een verschil n effectgroottes door de aanwezigheid van bepaalde variabelen. We gaan er vanuit dat de ware effecten willekeurig en normaal verdeeld zijn rond een bepaalde waarde. Ons model voor de meta-analyse wordt:

Y_i = μ + τ_j + ε_ij

met μ het overkoepelende gemiddelde effect, τ het verschil tussen het ware effect in de studie en het overkoepelende effect en ε de steekproef error. We hebben dus te maken met variantie door τ én variantie door ε.