Wat zijn waarheidstabellen?

Dit hoofdstuk gaat over ‘truth-functional’ logica (ook wel ‘propositional/ sentential logic’ genoemd). Het gaat hierbij specifiek over het toepassen van beginselen van de logica op beweringen en analogieën. In dit verband worden vaak waarheidstabellen (‘truth tables’) gebruikt. In deze tabellen komen vaak twee letters voor: P en Q. Dit worden ook wel claimvariabelen genoemd en zijn een symbolische representatie van premissen en conclusies.

Een claim, P, is waar (T) of onwaar (F). Dit wordt aangegeven door de letter P te noteren, daar een streepje onder te zetten en vervolgens de letter T en F onder elkaar te noteren. Door het zo te noteren worden de mogelijke waarheidswaarden voor P weergeven. Soms worden er getallen gebruikt, waarbij ‘waar’=1 en ‘niet waar’=0.

Welke soorten waarheidstabellen zijn er?

1. Negation (~): in dit geval wordt het tegenovergestelde (~P) van de claim verwerkt in de tabel. Een voorbeeld van zo’n soort claim is ‘Jamie is niet thuis.’ In dit geval is P dat ‘Jamie is thuis’ en ~P dat Jamie niet thuis is.
   De waarheidstabel van het voegwoord NIET (truth table for negation) laat zien dat welke waarde P ook mag hebben, de ontkenning ervan (~P) altijd het tegenovergestelde is:

Waarheidstabel van het voegwoord NIET

2. Conjunction (&): dit is een claim die bestaat uit twee claims. Deze claims worden conjuncten genoemd. Een conjunctie is alleen waar als de twee claims waaruit de algemene claim bestaat, waar zijn (dus als P en Q waar zijn). En voorbeeld van een conjunctie is; Jamie is thuis en Sophie is aan het werk. Jamie is P en Sophie is Q.

Waarheidstabel van het voegwoord EN

3. Disjunction (∨): dit is ook een claim die uit twee claims bestaat. Deze claims worden echter disjuncten genoemd. Een disjunctie is alleen onwaar wanneer beide disjuncten onwaar zijn. Ze kunnen dus wel allebei waar zijn. Voorbeeld; Of Jamie is thuis, of Sophie is aan het werk.’

Waarheidstabel van het voegwoord OF

4. Conditional claim (→): dit is een claim die ook uit twee claims bestaat. Zo een claim heeft de vorm: ‘als …., dan ….’. Wanneer P voorafgaat aan Q (P→Q), wordt P antecedent genoemd. Q is in dat geval het gevolg (‘consequent’). Een conditionele claim is alleen onwaar wanneer het antecedent waar en het gevolg onwaar is. Voorbeeld; ‘Als Sophie aan het werk is, dan is Jamie thuis.’

Wanneer we een extra letter toevoegen, dus bijvoorbeeld ‘P, Q en R’, worden de aantal mogelijke combinaties van T en F verdubbeld, en worden dus ook het aantal rijen in de waarheidstabel verdubbeld.

De columns van de letters (voorbeeld: ‘P, Q en R’) die gebruikt worden bij het invullen van de column van een algemene claim (voorbeeld: Q&R), worden referentie kolommen (‘reference columns’) genoemd.

Een tabel geeft ons een ‘truth-functional analysis’ van de oorspronkelijke claim. Het geeft de waarheidswaarden van een algemene claim weer, gebaseerd op de waarheidswaarden van kleinere delen van de claim. (Zie voor een duidelijk beeld bij de komende uitleg van waarheidstabellen de afbeeldingen in het boek en op de college sheets)

Gelijke claims/beweringen

We zeggen dat twee claims gelijk zijn (‘truth-functionally equivalent’) wanneer ze precies dezelfde waarheidstabel hebben. In dat geval zijn de T’s en F’s in de kolom onder de ene claim op dezelfde manier geordend als de T’s en F’s in de andere kolom.

Het symboliseren van een claim

Het belangrijkste doel hierbij is om een claim te produceren die gelijk is aan de originele claim, maar waarbij de waarheids-functionele structuur (‘truth-functional structure’) weergeven wordt. Hierbij kunnen ook een aantal problemen optreden. Het belangrijkste bij het symboliseren is dat de claim goed gelezen en begrepen wordt.

‘If’ versus ‘Only if’

Het woord ‘als’ introduceert het antecedent van een conditionele claim. Het zinsdeel ‘alleen als’ introduceert het gevolg van een conditionele claim.

Voorbeeld;

ALS; Als ik lunch voor jou koop is het omdat jij de weddenschap hebt gewonnen.’

ALLEEN ALS; Ik koop lunch voor jou, maar alleen als jij de weddenschap wint.

Noodzakelijke en toereikende condities

Conditionele claims worden soms beschreven aan de hand van noodzakelijke (‘necessary’) condities en condities die toereikend zijn (‘sufficient’).

Een voorbeeld is: ‘De aanwezigheid van zuurstof is bijvoorbeeld noodzakelijk om te kunnen ademen. Als we kunnen ademen (A), dan moeten we dus wel zuurstof hebben (Z). De noodzakelijke conditie wordt dan dus het gevolg van een conditionele claim: A→Z.

Een toereikende conditie garandeert dat iets kan bestaan als alleen aan een specifieke voorwaarde wordt voldaan. Geboren zijn in Amerika is bijvoorbeeld al voldoende om een Amerikaans paspoort te krijgen. Daar hoef je verder niets meer voor te doen. Toereikende condities worden beschreven zoals de antecedenten van conditionele claims. Als Piet geboren is in Amerika (A), dan heeft Piet een Amerikaans paspoort (B): A→B.

Ook bij noodzakelijke en toereikende condities moet er gelet worden op het verschil tussen ‘als’ en ‘alleen als’. Het woord ‘als’ introduceert de toereikende conditie. Het zinsdeel ‘alleen als’ introduceert de noodzakelijke conditie.

Tenzij (‘unless’)

Het woord ‘tenzij’ (‘unless’) staat gelijk aan de (v) die bij disjunctie gebruik wordt. Om te weten waar een disjunctie begint, kunnen we kijken naar waar het woord ‘of’ (‘either’) of ‘als’ (’if’) in de zin voorkomt.

Waarheids-functionele argumenten

Een ‘truth-functional’ argument kan valide en niet valide zijn. Een argument is niet valide wanneer de premissen waar zijn, maar de conclusie onwaar is. Een argument is valide wanneer de premissen waar de conclusie op gebaseerd is waar zijn. Er wordt onderscheid gemaakt tussen drie valide argumentpatronen en de bijbehorende drie niet valide argumentpatronen. Belangrijke begrippen bij de valide argumentpatronen zijn:

• modus ponens: De bevestigende manier. Het schema hiervoor is:
  • Als P, dan Q
  • P
  • Dus Q
• modus tollens: De ontkennende manier. Het schema hiervoor is:
  
  • Als P, dan Q
  • Niet Q
  • Dus niet P
• ketting argument (‘chain argument’): Bevat meerdere premisse, met een extra variabele. Het schema hiervoor is:
  
  • Als P, dan Q
  • Als Q, dan R
  • Dus, als P, dan R

Belangrijke begrippen bij de niet valide argumentpatronen zijn de eerder besproken: het bevestigen van het gevolg (‘affirming the consequent’), ontkennen van het antecedent en het onverdeelde midden

Een ‘truth-functional’ argument kan ontelbaar veel vormen aannemen. Desondanks kunnen we toch de validiteit testen van zo een argument. Dit gebeurt door middel van waarheidstabellen.

Regels van deductie

Deductie is een handig middel om vooral te bewijzen dat een argument valide is in plaats van dat een argument niet valide is. In dit verband zijn er vier groepen regels.

Groep 1: Elementaire valide argument patronen

• Regel 1: Modus ponens (MP) (ook wel ‘affirming the antecedent’ genoemd): als er een conditionele claim staat tussen de premissen, en als het antecedent van deze conditionele claim als een andere premisse voorkomt, dan vloeit het gevolg van de conditionele claim voort uit de twee premissen.
  • Als P, dan Q
  • P
  • Dus Q
• Regel 2: Modus tollens (MT) (ook wel ‘denying the consequent’ genoemd): als de ene premisse een conditionele claim is van het omgekeerde (negation) van het gevolg van de conditionele claim, dan is er sprake van MT.
  
  • Als P, dan Q
  • Niet Q
  • Dus niet P
• Regel 3: Kettingargument (CA): deze heeft de vorm: Premisse 1: P → Q. Premisse 2: Q → R. Conclusie: P → R.
  
  • Als P, dan Q
  • Als Q, dan R
  • Dus, als P, dan R
• Regel 4: Disjunctief argument (DA): hierbij gaat het om de conditionele claims, maar uitgeschreven volgens het tegenovergestelde (negation) van zowel P als Q (dus ~P en ~Q).
  
  • P of Q
  • Niet P
  • Dus Q
• Regel 5: Simplificatie (SIM): deze heeft de vorm:
  
  • P&Q → P  P
  • &Q → Q.
• Regel 6: Conjunctie (CONJ): deze regel heeft de vorm:
  
  •  P  
  • Q
  • Dus P&Q.
• Regel 7: Toevoeging (ADD): aan de hand van deze regel kunnen twee vormen van deductie gecombineerd worden tot een conjunctie:
  
  • P, conclusie: P \ / Q.
  • Q, conclusie: P\ /Q.
• Regel 8: Constructief dilemma (CD): 
  
  • P → Q.
  • R → S.
  • P \ / R. Conclusie: Q \ / S.
• Regel 9: Destructief dilemma (DD): 
  
  • 1) P → Q. 2) R → S. 3) ~Q \ / ~S. Conclusie: ~P \ / ~R.

Groep 2: Truth-functional equivalenten

• Regel 10: Dubbele tegenover gesteldheid (DN): 
  • P → (Q \ / R),
  • P → ~~(Q\ / R).
• Regel 11: Commutatie (COM):
  
  •  P → (Q \ / R),
  • P → (R \ / Q).
• Regel 12: Implicatie (IMPL): 
  
  • (P → Q) <-> ~ (P \ / Q).
• Regel 13: Contrapositie (CONTR):
  
  •  (P → Q) <-> (~Q → ~P).
• Regel 14: DeMorgan’s Wetten: (DEM)
  
  • ~(P&Q) <-> (~P \ / ~Q),
  • ~(P \ / Q) <-> (~P&~Q).
• Regel 15: Exportatie (EXP): 
  
  • [P → (Q → R)] <-> [(P&Q) → R].
• Regel 16: Associatie (ASSOS): 
  
  • [P&(Q&R)] <-> [(P&Q) &R],
  • [P \ / (Q \ / R)] <-> [(P \ / Q) \ / R].
• Regel 17: Distributie (DIST): 
  
  • [P&(Q \ / R)] <-> [(P&Q) \ / (P&R)],
  • [P \ / (Q & R)] <-> [(P \ / Q) & (P \ / R)].
• Regel 18: Tautologie (TAUT):
  
  • P ∨ ~P. Een tautologie is een zin die altijd waar is: het regent of het regent niet.

Wat is conditioneel bewijs?

Conditioneel bewijs is zowel een regel als een strategie om een deductie te vormen. Dit bewijs is gebaseerd op het volgende idee. Stel dat we een deductie proberen te maken voor een conditionele claim: P → Q. Als we deze deductie hebben gevormd, wat hebben we dan daadwerkelijk bewezen? We hebben bewezen dat als P waar is, dat Q ook waar zal zijn. We kunnen er in dit geval van uitgaan dat P waar is en op basis daarvan proberen te bewijzen dat Q ook moet kloppen. Als we dat kunnen, dus als we Q kunnen bewijzen nadat we hebben aangenomen dat P waar is, dan hebben we bewezen dat als P voorkomt, Q ook moet voorkomen. Wel zijn er een aantal belangrijke regels als het gaat om conditioneel bewijs. Zo kan conditioneel bewijs alleen gebruikt worden om een conditionele claim te maken en niet om een andere claim te bewijzen. Ook is het zo dat als er meer dan één keer conditioneel bewijs wordt gebruikt in claims, dat ze dan precies in de omgekeerde volgorde benaderd moeten worden.

Samenvatting

• Er bestaan vier soorten waarheidstabellen: conjunctie, negation, conditional en disjunctie.
• Zinnen (en dus claims) kunnen aangeduid worden aan de hand van letters in waarheidstabellen.
• We kunnen bepalen of een argument valide is aan de hand van een waarheidstabel. Dit kan bijvoorbeeld gedaan worden door middel van deductie.

Oefenvragen

Vraag 1

Wat is een propositie? Wat is het verschil tussen een enkelvoudige en samengestelde propositie? Wat is de rol van voegwoorden hierbij?

Vraag 2

De twee deductieregels die met de conditionele propositie “Als … dan…” samenhangen zijn de Modus Ponens (MP) en Modus Tollens (MT). Geef de waarheidstabel voor “Als .. dan...”. Laat zien wat de redeneerschema’s voor MP en MT zijn. Laat met de waarheidstabel voor “Als .. dan...” zien waarom MP en MT geldige redeneerschema’s zijn. Geef ook 2 voorbeelden van ongeldige redeneringen.

Vraag 3

Wat zijn voegwoorden in de propositie logica? Welke voegwoorden zijn er? Geef de waarheidstabel van twee voegwoorden.

Vraag 4

Wat is een drogreden? Waarom wordt verificatie ook wel ‘drogreden van de consequens’ genoemd? Leg dit uit aan de hand van het redeneerschema (syllogisme) van verificatie en de bijbehorende waarheidstabel.

Vraag 5

Welke vier soorten waarheidstabellen bestaan er?

Vraag 6

Wat houdt een ‘truth-functional analysis’ in?

Vraag 7

Door middel van welk hulpmiddel kunnen we onderzoeken of een argument valide is?

Vraag 8

Wat houdt deductie in?

Antwoorden

Vraag 1

Een propositie is een stelling die waar of onwaar kan zijn, het kan niet verder vereenvoudigd worden (Paul is thuis -> waar of niet waar). Een enkelvoudige propositie is een enkele stelling. Een samengestelde propositie, bestaat uit 2 proposities die op verschillende manieren met elkaar verbonden kunnen worden doormiddel van voegworden (bijv A en B).

Vraag 2

Waarheidstabellen helpen je onderzoeken of een formule geldig of vervulbaar is. Ze kunnen ook worden gebruikt om uit te vinden of een gevolgtrekking geldig is en of twee formules logisch equivalent zijn. In waarheidstabellen kan de waarheid of onwaarheid van een propositie op verschillende manieren worden aangeduid. Men kan simpelweg "waar" of "onwaar" te schrijven, maar meestal schrijft men een T (voor true, waar) en F (voor false, onwaar). Men gebruikt ook wel de 1 voor waar en 0 voor onwaar.

De waarheidstabel voor ‘als .. dan’, is als volgt:

N.B. ‘Als A, dan B’ is altijd 1, behalve als A = 1 en B = 0.

A is hierbij de antecedens en B de consequens. Dus ‘als A dan B’ is alleen onwaar wanneer de antecedens waar is en de consequens onwaar. Als zowel A als B onwaar is, is de bewering nog steeds correct. Bijvoorbeeld: Als Jan harder dan 50 rijdt (A), dan krijgt Jan een boete (B). Als A en B allebei onwaar zijn, dus Jan rijdt niet harder dan 50 en Jan krijgt geen boete, klopt de bewering nog steeds.

Modus ponens


Stel: ‘als P dan Q’ = 1 en P = 1 dan moet Q altijd 1 zijn. Dit heet de modus ponens, ook wel stellende wijs of afkappingsregel.

Modus tollens


Stel: ‘als P dan Q’ = 1 en Q = 0, dan moet P ook 0 zijn. Dit wordt ook wel de opheffende wijs genoemd. De modus tollens wordt gebruikt bij falsificatie.

Voorbeelden van redeneringen:

Geldig: Modus Ponens

• [1] Als A, dan B [1]
• Als je konijn wolfskers eet, wordt hij ziek.
• [2] A [2] Je konijn eet wolfskers .
• [3] Dus: B [3] Dus: hij wordt ziek.

Geldig: Modus Tollens

• [1] Als A, dan B [1]
• Als je konijn wolfskers eet, wordt hij ziek
• [2] Niet B [2] Je konijn is niet ziek
• [3] Dus: Niet A [3] Hij heeft dus geen wolfskers gegeten.

Ongeldig: Bevestiging consequens

• [1] Als A, dan B [1]
• Als je konijn wolfskers eet, wordt hij ziek.
• [2] B [2] Je konijn is ziek.
• [3] Dus: A [3] Dus: hij heeft wolfskers gegeten.

Ongeldig: Ontkenning van het antecedent

• [1] Als A, dan B [1]
• Als je konijn wolfskers eet, wordt hij ziek.
• [2] Niet A [2] Je konijn eet geen wolfkers
• [3] Dus: Niet B [3] Dus: hij wordt niet ziek.

Bij de twee ongeldige varianten wordt A (het 'als'-gedeelte) gezien als een noodzakelijke voorwaarde, terwijl het hier een voldoende voorwaarde betreft. Kijk bijvoorbeeld naar de ongeldige bevestiging van de consequens: er kunnen allerlei andere redenen zijn waarom je konijn ziek is, hij hoeft niet per se wolfskers te hebben gegeten.

Vraag 3

De proposities in een samengestelde propositie worden met elkaar verbonden door voegwoorden. Deze voegwoorden zijn en, of en als .. dan. Ook de negatie (´niet´) wordt onder de voegwoorden gerekend.

Elk voegwoord of negatie heeft een waarheidstabel, die laat zien hoe de waarheid van een samengestelde propositie afgeleid kan worden uit de deel-proposities. De waarheidstabel laat zien wat het voegwoord doet als de twee proposities worden samengesteld. Hierbij is ‘waar’=1 en ‘niet waar’=0. Bijvoorbeeld: Als ‘A’ waar (1) is en ‘B’ ook (1), is ‘A en B’ waar (1). Als ‘A’ waar (1) is en ‘B’ niet (0), is ‘A en B’ niet waar (0).

Waarheidstabellen

Waarheidstabel van het voegwoord EN

Waarheidstabel van het voegwoord OF

Waarheidstabel van het voegwoord NIET

Vraag 4

Een drogreden is een stelling die niet geverifieerd kan worden op basis van een argument, omdat dit argument ontbreekt, of omdat het argument niet van toepassing is op de stelling.

Stel: ‘Als P dan Q’ = 1 en Q = 1 dan kan P zowel 1 als 0 zijn. Dit kun je zien in de eerste en een na laatste regel van de waarheidstabel. Verificatie geeft dus geen zekerheid en wordt ook wel de drogreden van de consequens (fallacy of the consequent) genoemd. Verificatie wordt gebruikt bij het testen en accepteren van hypothesen, maar geeft volgens de propositie logica dus geen zekerheid. De hypothese klopt ten aanzien van de observatie, maar kan ook door iets heel anders veroorzaakt worden. 


Vraag 5

Conjunctie, negation, conditional en disjunctie.

Vraag 6

Een dergelijke analyse geeft de waarheidswaarden van een algemene claim weer, gebaseerd op de waarheidswaarden van kleinere delen van de claim.

Vraag 7

We kunnen bepalen of een argument valide is aan de hand van een waarheidstabel.

Vraag 8

Deductie is een handig middel om vooral te bewijzen dat een argument valide is in plaats van dat een argument niet valide is.