1. Inleiding tot Rekenproblemen en dyscalculie

Kinderen verwerven voor ze naar school gaan en gedurende hun schoolloopbaan kennis en vaardigheden van rekenen en wiskunde. Deze kennis heeft duizenden jaren nodig gehad om tot ontwikkeling te komen en ze is nog voortdurend in wording en zal steeds moeten worden aangepast. Er wordt ingegaan op leren rekenen en de problemen die zich daarbij kunnen voordoen. Een rekenprobleem is een leerprobleem en soms zo ernstig dat we van een leerstoornis of dyscalculie spreken. De rekenproblemen kunnen alleen op het gebied van rekenen zijn, maar kunnen ook samengaan met problemen bij andere vaardigheden. Er zijn meerdere alternatieve theorieën die de variatie aan rekenproblemen beschrijven en mogelijke verklaringen beschrijven, zoals factoren in het onderwijs (opbouw van de leerstof, manier van instructie geven) en individuele verklaringen (leren van de rekentaal, opslaan en oproepen van informatie uit het geheugen). Als het leerproces vastloopt en gewoon onderwijs en remediële hulp niet voldoende effect hebben, dan kan er individueel diagnostisch onderzoek plaatsvinden om na te gaan waarom er uitval is en welke mogelijkheden voor specifieke hulp en behandeling er zijn.

Oorsprong van het rekenen

Dieren hebben een aanleg om hoeveelheden tot een bepaald aantal in te kunnen schatten. Ook mensen hebben een natuurlijke aanleg voor hoeveelheden wat blijkt uit testen met baby’s die eerst steeds een plaat met twee stippen worden getoond en vervolgens een met drie stippen. Bij de plaat met drie stippen kijken ze langer en neemt de hersenactiviteit toe. Mensen kunnen drie à vier voorwerpen direct overzien, meer voorwerpen moeten worden geteld om een overzicht van hoeveelheid te geven. Bij een, twee of drie voorwerpen heeft een mens gemiddeld ruim een have seconde nodig om de hoeveelheid aan te geven, maar bij meer voorwerpen neemt de antwoordtijd systematisch toe met ongeveer 150 milliseconden per voorwerp. Ook het aantal fouten neemt toe bij meer dan vier voorwerpen.

Het verschil tussen mensen en dieren is dat mensen kunnen leren tellen en bij grote hoeveelheden en met voldoende tijd de juiste hoeveelheid kunnen uitdrukken. Rekenen/wiskunde is een uitgebreid afsprakensysteem in taal om met de hoeveelheden om te gaan. Er kan worden gedacht over getallen en er kan mee worden gespeeld. Veel van deze afspraken zijn relatief nieuwe uitvindingen. De Grieken en Romeinen kenden geen positiestelsel in getallen (opgebouwd uit eenheden, tientallen, honderdtallen die onder elkaar gezet worden om op te tellen, af te trekken, te delen en te vermenigvuldigen). Daarnaast kenden de Romeinen en Grieken ook het getal 0 niet. Deze is pas in de 6de eeuw van onze jaartelling tot stand gekomen in India. Ifrah (2000) geeft aan dat mensen in het verre verleden kleine aantallen konden herkennen, en later met gebaren en daarna ook met spraakklanken eenvoudige hoeveelheidaanduidingen (een, twee, veel) gebruikten. Ifrah geeft een mogelijk verband voor de moeite van jonge kinderen met het getal drie en de moeite van mensen om een getalrij van meer dan twee te maken. De stappen in de ontwikkeling van het ‘rekenen’ wordt weerspiegeld in de individuele vroegkinderlijke ontwikkeling. Verschillende volken hebben zonder onderling contact vergelijkbare vormen van tellen ontwikkeld, eerst gekoppeld aan het lichaam vervolgens door het gebruik van takjes, steentjes, botjes, knopen, of het inkerven van een streepje als aanduiding van één. In 4000-3000 voor Christus is er rond de Perzische Golf een systeem ontstaan om met eenheden, tientallen en honderdtallen te werken (kleine steentjes voor eenheden, schijfje klei voor tientallen, en een bolletje klei voor honderdtallen). Op deze manier konden zakelijke transacties over hoeveelheden worden vastgelegd door deze voorwerpen bij elkaar in een doosje erbij te bewaren. Door het schrift kon er ook worden geschreven hoeveel voorwerpen er in het doosje zaten. Rond 2000 voor Christus gebruikten de Feniciërs daar letters voor.

Er is een hypothese dat het tel en getalsysteem in drie stadia is ontstaan. Het eerste stadium is de één op één correspondentie, waarbij het niet nodig is om de telrij te kennen. Dit houdt in dat voor elk object een steentje wordt gepakt en deze steentjes worden meegenomen naar een andere plaats waar weer een zelfde aantal objecten bijeen worden gezocht via het principe van het paarsgewijs overeen laten stemmen. Het tweede stadium is dat er vaste labels werden gegeven aan hoeveelheden door ze te benoemen met bijvoorbeeld lichaamsdelen. Door herhaling en het gebruik van steeds dezelfde labels kregen ze een op zichzelf staande betekenis. Het derde stadium is dat een vast systeem van getalnamen met een vaste volgorde verder werd ontwikkeld. Zo kan er op volgorde worden geteld (ordinatie), maar ook kan met het laatst genoemde telwoord de totale verzameling objecten aan worden gegeven (kardinatie).

Het noteren van grote aantallen gebeurde pas drieduizend jaar later toen de Romeinen met symbolen of letters in de vorm van reeksen de aantallen weergaven (XXIII staat voor twee tientallen en drie eenheden). Het getal 0 was hierbij overbodig. Met de uitvinding van de nul is er een nieuw systeem ontstaan, waarbij de getalpositie de waarde bepaalt. Hierdoor kan er ook op papier worden gerekend. De positieregel is in de geschiedenis van de mens enkele keren ontdekt: rond 2000 voor Christus door de Babyloniërs, tussen 300-500 na Christus in de Mayacultuur van Centraal Amerika en rond 500 in India. Pas in 594 na Christus zijn er documenten gevonden waarin een meercijferig getal voorkomt (getal = 346).

Onze dagelijkse getal en rekennotatie zijn nog redelijk recent en deze kennis en vaardigheden liggen niet in onze genen vastgelegd. Wel is er een primitieve aanleg voor een elementair hoeveelheidbegrip. Bepaalde gebieden in onze hersenen lenen zich goed voor rekenen en wiskunde, maar het systeem van afspraken en feiten moet door stimulatie vanuit de omgeving door opvoeding en onderwijs worden geleerd.

Leren

Leren gebeurt voortdurend, vaak zonder het te merken doordat het een proces is van ervaringen die zorgen voor wijzigingen in bestaand gedrag of begrip. Leren gaat zo vanzelfsprekend dat als we aan leren denken, we denken aan het leren op school. Kennis en vaardigheden die iemand zich eigen heeft gemaakt wordt automatisch toegepast en wanneer iets moeilijker wordt dan wordt er overgeschakeld naar een meer bewuster niveau van kennis of naar stap voor stap procedures. Bij nieuwe kennis wordt geprobeerd om deze met voorkennis te interpreteren. Als er al bestaande kennis is, dan wordt de nieuwe kennis in een oud kennisbestand ingevoegd, wat door Piaget assimilatie genoemd wordt (inpassen van informatie). Het aanpassen van al bestaande kennis wordt accommodatie genoemd, waarmee bedoeld wordt dat de aanwezige voorkennis die in cognitieve schema’s (cognitieve structuur) aanwezig zijn geschikt wordt gemaakt voor de nieuwe eisen. Interacties tussen mens en omgeving leiden tot leren, waarbij steeds de opgeroepen verwarring ongedaan moet worden gemaakt.

Met cognitief leren wordt bedoeld, dat het geleerde duurzaam is en in principe ook toe te passen en uit te breiden is naar andere situaties (transfer). Leren leidt tot nieuw potentieel en dit potentieel is waarneembaar in het gedrag, omdat we door het leren tot nieuwe dingen in staat zijn. Deze kenmerken van leren komen terug in definities van wat leren is. De definitie van Van Parreren (1969, p. 17; vgl. Boekaerts & Simons, 1993, p. 3) is dat: Leren een proces is met min of meer duurzame resultaten, waardoor nieuwe gedragspotenties van de persoon ontstaan of al aanwezige potenties zich wijzigen. Dit betekent dat tijdelijke veranderingen in ons gedrag niet onder leren vallen. Leren kan toevallig of onbedoeld gebeuren, wat incidenteel leren wordt genoemd. Intentioneel leren is het schoolse leren, wat gericht is op het in een bepaalde tijd bereiken van een kennis en vaardigheidsniveau. Hierbij heeft een volwassene een directe of indirecte rol als bemiddelaar (mediator) die de informatie ordent en selecteert. Er zijn verschillen in het leren binnen mensen (bijvoorbeeld het leren van talen gaat wel, maar van rekenen niet) en tussen mensen (een heeft moeite met rekenen, de ander met talen).

Rekenen

Op school wordt rekenen geleerd als een afsprakensysteem, een taal waarmee gecommuniceerd wordt over hoeveelheden en relaties ertussen. De inhoud en verdeling van de leerstof wordt vastgelegd in leerlijnen en daarmee samenhangende leerdoelen die elk jaar behaald dienen te worden. Er zijn verschillende definities van wat rekenen is, en in dit boek wordt er geen onderscheid gemaakt tussen rekenen en wiskunde. De volgende definitie van rekenen wordt aangehouden (Ruijssenaars, 1992): Rekenen is een proces waarin een realiteit (of een abstractie daarvan) wordt geordend of herordend met behulp van op inzicht berustende denkhandelingen, welke ordening in principe te kwantificeren is en die toelaat om er (logische) operaties op uit te voeren dan wel ui af te leiden. Het rekenen is een proces, wat denkhandelingen veronderstelt met of zonder materiaal. Denkhandelingen betekenen het teweegbrengen van veranderingen, het transformeren van de ene ordening in een nieuwe ordening. Dit proces verloopt doelgericht en logisch. Hieruit blijkt dat rekenen een manier van ordenen is, maar ook een proces van probleemoplossing en informatieverwerking. Het is een leerproces, doordat elke oplossing tot een verder inzicht leidt. Rekenproblemen hebben verschillende kenmerken. De problemen kunnen in het rekenproces aanwezig zijn of meer vanuit het specifieke kwantificerende karakter van het rekenen en de daarbij horende taal ontstaan. Ook zijn er verbanden te leggen met lacunes in het verwerven van cognitieve voorwaarden en met tekorten in het onderwijs.

Feiten

Hoeveelheden worden in het dagelijks leven aangeduid met taal, zoals met getallen maar ook met begrippen die verwijzen naar hoeveelheden, bijvoorbeeld meer, minder en er bij doen. Hierdoor kunnen wiskundige situaties beschreven en opgelost worden zonder moeilijke vaktermen. Er is een verschil tussen inzicht in of het begrip van procedures en het vlot en foutloos beschikken over rekenkundige kennis als feiten en afspraken. Wanneer de vlotte beschikbaarheid over feiten en afspraken niet of onvoldoende tot stand komt dan is er mogelijk sprake van dyscalculie. Deze stoornis heeft een verband met dyslexie, de stoornis waarbij woorden direct worden herkend.

Automatisering

Feiten, procedures en metacognitieve kennis (zie verder hoofdstuk 3) spelen een grote rol bij het leren rekenen. Een belangrijk doel van het onderwijs is om onder andere de kennis en vaardigheden in rekenen tot het niveau van groep 8 te brengen. Dit betekent dat in ieder geval de vier hoofdbewerkingen in het getalbereik tot 1000 vlot en foutloos worden toegepast, waarbij veelvoorkomende oplossingen en eenvoudige bewerkingen zijn geautomatiseerd. Tijdens het proces van automatisering doen zich geleidelijk veranderingen voor: eerst stap voor stap en bewust aanpakken van een probleem naar direct weten van het tussen of eindresultaat (procedureel naar declaratief); van langzaam naar geoefend en snel; van geïsoleerd naar gecombineerd met of geïntegreerd in andere vaardigheden als het tegelijk optellen, aftrekken en toepassen van de tafels. Bij kinderen met ernstige rekenproblemen, ook wel dyscalculie genoemd, komt dit automatiseren niet tot stand.

Rekenproblemen

Ernstige rekenproblemen worden in sommige gevallen een rekenstoornis of dyscalculie genoemd. Dyscalculie is alleen een beschrijvende naam die niet naar een oorzaak of verklaring verwijst. De definitie van dyscalculie is: een stoornis die gekenmerkt door hardnekkige problemen met het leren en vlot/accuraat oproepen/toepassen van reken/wiskundekennis (feiten/afspraken). De volgende argumenten tonen aan dat dyscalculie een stoornis is: er gaat in het psychologisch functioneren van mensen met dyscalculie iets mis wat opvallend is ten opzichte van de rest van het functioneren en wat er op basis van intelligentie en aangeboden onderwijs zou mogen worden verwacht; er lijkt een redelijke samenhang met dyslexie te zijn en ze overlappen elkaar als psychologische vaardigheid voor een deel; en een laatste argument is dat uit toenemende kennis uit neuropsychologisch onderzoek betrokkenheid wordt aangetoond van specifieke hersengebieden. Het neuropsychologisch onderzoek is nog volop in ontwikkeling en er is te zien dat er iets gebeurt maar niet wat er gebeurt. Daarnaast zijn er twee opmerkingen, namelijk dat er aanwijzingen zijn dat dyscalculie net als dyslexie erfelijk is en dat de mate van voorkomen van dyscalculie vergelijkbaar is met de mate waarin dyslexie voorkomt.

Samengaan met andere stoornissen

Comorbiditeit is het samengaan van twee of meer lichamelijke of psychische stoornissen die zich tegelijk bij één individu voordoen. Dit samengaan kan toeval zijn, maar het kan ook komen door een gemeenschappelijke achterliggende oorzaak. Er wordt nu kort ingegaan op de relaties van dyscalculie met verstandelijke beperking, dyslexie, ADHD en NLD. De klassieke naam voor een intelligentie lager dan 70 is mentale retardatie. Dit uit zich in een lichte tot diepe verstandelijke beperking. Naarmate de verstandelijke beperking ernstiger is zullen er door gebrek aan inzicht en beperkt logisch kunnen denken meer rekenproblemen aanwezig zijn. Een mentale retardatie leidt vaak tot rekenproblemen maar het omgekeerd geldt niet, iemand met rekenproblemen is niet noodzakelijkerwijs verstandelijk beperkt. Bij een intelligentie van lager dan 70 dan wordt er niet van een rekenstoornis gesproken, de rekenproblemen horen dan bij de mentale retardatie en er is geen comorbiditeit. Mensen met een intelligentie tussen de 70 en 85 worden aangeduid als moeilijk lerend, laagbegaafd of zwakbegaafd. Het niveau van inzichtelijk rekenen zal waarschijnlijk benedengemiddeld zijn met een beperkt niveau van automatisering. Er kan echter bij deze intelligentie wel gesproken worden van een comorbiditeit tussen laagbegaafdheid en dyscalculie.

Uit veel onderzoeken blijkt dat lees en rekenpresentaties redelijk met elkaar samenhangen en met name in de automatisering in betekenis, namelijk het oproepen van de juiste feiten ook wel ‘fact retrieval’ genoemd. Van Lieshout en Speyer (2003) verklaren de samenhang tussen lees en rekenprestaties met de triple code theory die veronderstelt dat beide feiten verbaal-auditief gecodeerd zijn in het linkerhemisfeergedeelte van het langetermijn geheugen. Dit komt overeen met de onderzoeken van Geary (2000) die aangeven dat de overeenkomst tussen dyslexie en dyscalculie wordt veroorzaakt door het snel omgaan met de klanken in ons taalsysteem die als een tussenschakel in onze geheugenprocessen worden ingezet. Verder onderzoek moet uitwijzen in hoeverre er sprake is van een gemeenschappelijke fonologische klankstoornis. Er is sprake van comorbiditeit tussen dyslexie en dyscalculie door de grote kans dat het Damen voorkomt.

ADHD gaat vaak samen met leerstoornissen, mogelijk door een gemeenschappelijke genetische risicofactor. Ongeveer een kwart van de kinderen met dyslexie heeft ADHD en de helft van de kinderen die ADHD hebben heeft dyslexie. In de comorbiditeit tussen ADHD en een fonologische stoornis kan een verklaring liggen voor de comorbiditeit van dyscalculie en ADHD, maar nader onderzoek is hier nodig.

NLD (Non-verbale leerstoornis) is in het algemeen te beschrijven als een sterker ontwikkelde verbale ontwikkeling dan de non-verbale vaardigheden. Vaak hebben ze opvallende problemen met mechanisch rekenen en wiskunde, maar zijn ze relatief goed in het decoderen van woorden. Rourke geeft een verklaring in de disfunctie van de witte hersenmassa, die een belangrijke rol heeft in de communicatie tussen de verschillende hersengebieden en cruciaal is bij het aanleren van nieuwe vaardigheden. NLD beslaat als syndroom meer dan alleen rekenproblemen, wat betekent dat dyscalculie slechts een kenmerk is van NLD en niet als comorbiditeit gezien kan worden.

Diagnostiek

Diagnostiek beslaat het totale proces van diagnostische besluitvorming (aanmelding tot advisering), maar kan ook alleen een onderkennende diagnose inhouden. Het woord behandeling wordt gebruikt om elke vorm van professionele hulp aan te duiden, maar ook om een interventie van een academisch opgeleide specialist aan te duiden. In hoofdstuk 9 en 10 worden de diagnostische en behandelingscyclus verder besproken.

Hoofdlijnen van rekenen

Er is niet één enkel ontwikkelingsmodel voor rekenen omdat verschillende theorieën ergens anders de accenten leggen. Daarnaast is de ontwikkeling van rekenvaardigheden afhankelijk van de gebruikte methode en didactiek. Een algemeen overzicht van de rekenvaardigheden is als volgt. Als eerste de elementaire ervaring in en feedback bij ordenend handelen, wat inhoudt dat kinderen van jongs af aan spelenderwijs ervaringen opdoen in groeperen, vergelijken, bij elkaar zoeken, meten enzovoort waarbij de omgeving essentieel is voor het benoemen en ordenen in taal. Als tweede komt ervaring met het regelmatig tellend benoemen van handelingen/waarnemingen bijvoorbeeld door rijmpjes en liedjes. Dan als derde het toepassen van de spelregels van het tellen in het kwantitatief herordenen, oftewel het getalsmatig vaststellen van hoeveelheden en het toepassen van tellen. Dan volgt het bewust gebruiken van rekensymbolen; vervolgens volgt het automatiseren van rekenkennis en regelmatige uitkomsten van bewerkingen, wat inhoudt dat door het oefenen en herhalen en door continue feedback een soort vaste verbindingen ontstaan tussen getallen. Als laatste is er een toenemende automatisering en verdergaande ontwikkeling van inzicht.

Theorieën

Wetenschappelijke theorievorming is erop gericht om wetmatigheden te vinden. Wetenschappelijke waarnemingen moeten objectief en systematisch zijn met invloed van variabelen en factoren die controleerbaar zijn, waardoor ze herhaalbaar zijn. Het gaat in de pedagogiek en psychologie om direct waarneembare gedragingen als de snelheid van reageren op een stimulus, maar ook om indirect waarneembare verschijnselen als angst voor iets. Hierdoor zijn er verschillende theorieën die ergens anders het accent op leggen, maar ook door de belangstelling voor de ontwikkeling binnen een domein of de samenhang tussen verschillende domeinen. Hierdoor zijn er alternatieve theorieën die naast elkaar bestaan en elkaar aanvullen. Theorieën moeten dus aan eisen voldoen en wetenschappelijk houdbaar zijn of empirisch te toetsen zijn. In de volgende hoofdstukken worden de verschillende denkbeelden uiteengezet met de daarbij behorende theorieën.

2. Cognitieve ontwikkelingspsychologie en handelingsleerpsychologie

Cognitieve ontwikkeling betekent een opeenvolging van stadia waarin kinderen met het ouder worden veranderen, passend bij het biologische proces van rijping en groei, afhankelijk van de interactie met de omgeving. Deze opeenvolging in stadia, die onomkeerbaar zijn en worden gekenmerkt door een toename in differentiatie en organisatie, wordt ook wel macrogenese genoemd. Microgenese is het verwerven van een type handelingsstructuur, als bij het leren van een begrip. Centrale uitgangspunten van de cognitieve ontwikkelingspsychologie zijn dat gedrag van mensen wordt bepaald door een gestructureerd systeem van logische kennis dat wordt opgebouwd in opeenvolgende leeftijdsfasen, waarbij omgevingseisen uitlokken dat kennis zich kwantitatief en kwalitatief aanpast. De kennis en vaardigheden van de ene fase is een voorwaarde voor het succesvol doorlopen van de volgende fase. Het werk van Piaget is een inspiratie voor latere onderzoekers. Het belang voor rekenen ligt bij de nadruk op de kwaliteit van logisch denken en op de klinische methode. Er wordt gebruik gemaakt van de term voorbereidend rekenen om aan te duiden dat kinderen al snel in hun ontwikkeling experimenteren en inzicht opdoen in de talige en logische aspecten van rekenen. De vaardigheden van rekenen ontwikkelen zich in een doorgaande lijn, waarbij het onderwijs zorgt voor een versnelling van het leren van de vaardigheden. Om een goed begin te maken aan het rekencurriculum moet er voldaan worden aan een aantal voorwaarden. De overkoepelende term voor de voorwaarden en het kunnen omgaan met getallen is: getalbegrip.

Getalbegrip

Getallen worden op meerdere manieren gebruikt. Het getal als hoeveelheid en als volgordeaanduiding zijn respectievelijk hoofdgetal (kardinaal getal, hoeveelheid) en ranggetal (ordinaal getal, hoeveelste). Deze zijn te gebruiken om ervaringen te kwantificeren, waarbij ze meer dan een functie kunnen hebben. Er wordt gesproken van getalbegrip wanneer tijdens het aftellen van losse elementen elk telwoord zowel wordt opgevat als aanduiding van hoeveelste getelde element als van het aantal tot dan toe getelde elementen. Vaak is het bij kinderen verwarrend dat elk rangtelwoord ook de functie van hoofdgetal kan hebben en dat elk rangtelwoord tegelijk ook het aantal van alle tot dan toe getelde objecten aangeeft.

Totstandkoming

Een belangrijk punt bij de ontwikkelingspsychologie zijn de voorwaarden in de denkontwikkeling, met name welke voorwaarden het zijn, op welke leeftijd, hiërarchisch en lineaire ontwikkeling, in hoeverre te beïnvloeden en of men kan leren rekenen wanneer de voorwaarden niet worden voldaan. De volgende voorwaarden zijn: conservatie, correspondentie, classificatie, seriatie, tellen, rekentaal en maatbegrip. De eerste vier voorwaarden worden ook wel de klassieke piagetiaanse voorwaarden genoemd, omdat de voorwaarden bekend zijn door de onderzoeken van Piaget. Conservatie betekent het overwinnen van de directe waarneming en omkeerbaar kunnen denken. De bekendste proef van Piaget is ongetwijfeld die met een gelijkblijvende hoeveelheid limonade die afwisselend in een smal, hoog glas wordt gegoten of in een laag breed glas. De controle van deze proef is door de oorspronkelijke staat daadwerkelijk of in gedachten te herstellen. Als het in gedachten wordt gedaan dan is er sprake van conserverend of reversibel (omkeerbaar) denken. Het principe van conservatie wordt ook wel beschreven als er begrip van hebben dat een verzameling objecten alleen veranderd kan worden door middel van optellen en aftrekken, het ruimtelijk anders groeperen doet er niet toe. Piaget geeft aan dat kinderen tussen de 6 à 7 en 11 jaar in het concreet-operatoir stadium (operatoir is handelend) komen, en dus kunnen conserveren. Baby’s van 5 maanden oud kunnen al denkoperaties uitvoeren op objecten die niet in het zicht zijn. Kinderen tot 18 maanden zitten in het sensomotorische stadium ontdekken dat er buiten de eigen waarneming voorwerpen bestaan. Van 18 maanden tot 7 jaar zit het kind in het pre-operatoir en intuïtief stadium, waarin er door ervaringen voorstellingen ontstaan en handelingen worden verinnerlijkt waarbij het kind in zijn denken nog gebonden blijft aan de eigen waarnemingen en concrete ervaringen. De vooruitgang van het ene stadium naar het volgende wordt door Piaget verklaard door het in elk individu aanwezige ontwikkelingsmechanisme dat zoekt naar cognitief evenwicht (equilibratie genoemd).

Conservatie is een kenmerk van intelligent gedrag dat ontstaat uit de interactie van omgeving en individu, dit maakt de theorie van Piaget een interactietheorie. Het belangrijkste hierbij is de conclusie die het kind op grond van ervaring trekt en daarnaast reflectieve feedback. Er is overeenstemming maar ook kritiek op Piaget in de literatuur. Conservatie van aantal is geen dwingende voorwaarde voor het leren rekenen, maar beide worden hand in hand verworven. De ontwikkeling van conservatie wordt beïnvloed door vaardigheden als tellen, taalgebruik en meten.

Correspondentie wordt ook wel paarsgewijze correspondentie of paarsgewijze overeenkomst genoemd. Dit staat niet los van conservatie. Een voorbeeld is het aantal willen weten van twee rijen van evenveel muntjes, waarbij de paarsgewijze overeenstemming concreet, door te tellen of in gedachten een controle om na te gaan of het om evenveel muntjes gaat. De hoeveelheidaanduiding is overdraagbaar, oftewel dit is een transitieve eigenschap. Dit is niet alleen het geval bij voorwerpen, maar ook bij labels. De telrij is een ontwikkelde uitwerking van overeenstemming, waarbij elk voorwerp een label of getalnaam krijgt. Correspondentie wordt tellen als de labels uit een getalreeks op een vaste wijze worden gekoppeld aan de elementen van een andere verzameling. Tellen is niet hetzelfde als correspondentie, maar het tellen van hoeveelheden bouwt wel voort op paarsgewijze overeenstemming.

Classificatie is het groeperen en ordenen in deelverzamelingen. Dit is essentieel in het leren denken en het wordt gezien als fundamenteel voor het begrip van wat een getal is. In het kwantificeren met getallen wordt er niet meer gewerkt met de eigenschappen van de elementen die worden geordend, dit wordt ook wel abstraheren genoemd. Voordat men begrijpt dat een getal als 6 niet alleen een hoeveelheid aangeeft, maar ook kan worden gezien als een resultaat van verschillende ordenende handelingen, zal het moeten leren ordenen en inzicht moeten hebben in logische relaties. Classificatie is hiermee een belangrijke voorwaarde voor het ontstaan van getalbegrip, maar het is geen dwingende voorwaarde voor het rekenen aangezien het begrip van het kardinaal getal zich grotendeels onafhankelijk maar wel in dezelfde leeftijdsperiode ontwikkelt als het leren omgaan met deelverzamelingen.

Seriatie betekent rangordenen, bijvoorbeeld eerste, tweede enzovoort. Een rangordegetal wijst alleen maar naar de positie van elk element ten opzichte van de andere elementen en niet naar de eigenschappen van de elementen. Het inzicht in opeenvolging of seriatie wordt als een voorwaarde gezien om relaties in de getallen rij te begrijpen. Het is het vermogen om objecten in een stijgende of dalende reeks te rangschikken volgens het aspect waarop deze objecten onderling verschillen. Er is hierbij overdraagbaarheid van relaties (als 4 kleiner is dan 5 en 5 kleiner dan 6 dan is 4 ook kleiner dan 6). Seriatie is geen dwingende voorwaarde van getalbegrip, ook hierbij is de vraag of ze niet vooral gelijktijdig tot ontwikkeling komen.

Tellen is het gebruiken van de ordening van de tel rij. Er zijn een aantal spelregels voor de telrij, namelijk dat elk element eenmaal geteld moet worden, dat de telwoorden in de afgesproken volgorde worden gebruikt en dat het laatstgenoemde telwoord de getelde hoeveelheid aangeeft. Er zijn drie stappen in het tellend vergelijken van hoeveelheden. Dit zijn het maken van een correspondentieafspraak, ordinatie en kardinatie. Een correspondentieafspraak betekent dat alles wat bij een element in verzameling 1 wordt gedaan ook met de elementen uit verzameling 2 wordt gedaan. Ordinatie betekent dat het eerste willekeurige object van de 1ste verzameling 1 wordt genoemd en de volgende 2. Het zelfde wordt gedaan met de elementen uit de 2de verzameling. Kardinatie betekent dat het laatst toegekende getal het aantal objecten van de verzameling aangeeft. Van der Rijt geeft aan dat er sprake lijkt te zijn van een gelijktijdige ontwikkeling bij ongeveer driejarige leeftijd van tellen en een aantal piagetiaanse operaties (classificatie, seriatie, correspondentie en conservatie van aantal). De telvaardigheden en de operaties beïnvloeden elkaar.

Rekentaal heeft zich ontwikkeld vanuit de spreek en schrijftaal, maar heeft ook eigen symbolen en uitdrukkingen. Deze heeft algemene begrippen en meer specifieke termen. De spreektaal is in het begin voldoende om een ordening aan te brengen, maar langzaamaan vindt er een proces van formalisering plaats wat betekent dat de concrete werkelijkheid kan worden losgelaten en dat deze op elk gewenst tijdstip weer kan worden vertaald naar de concrete werkelijkheid. De getallen zijn een eigen vocabulaire die zelf kunnen worden aangemaakt en uitgebreid en uiteindelijk geautomatiseerd wordt. Volgens Devlin is aan kinderen te zien of ze aanleg hebben voor rekenen doordat ze behendig zijn met verhalen. In sommige culturen is er wel een formele wiskundetaal ontstaan, maar in andere culturen als India niet.

Vanuit de handelingspsychologie wordt gezegd dat maatbegrip cruciaal is voor een goed getalbegrip. Getallen zijn relatief, de betekenis hangt af van de maat waarmee gemeten wordt (uren, geld, dozijn etc.). Maatbegrip en meten zijn op deze manier ook van belang voor het inzicht in vermenigvuldigen en delen (7 keer een dozijn). Gal’perin geeft aan dat de ontwikkeling van het denken over objecten met het rationele dingschema belangrijk is bij kinderen. Door het rationele dingschema wordt er een rationele structuur gegeven aan objecten en kunnen deze kwalitatief worden vergeleken. Als het rationele dingschema eigen is gemaakt, dan wordt een object gezien als een bundeling van eigenschappen; dan is elke eigenschap te beschouwen als een grootheid die is opgebouwd uit eenheden; en dan kan de verzameling eenheden geordend worden met behulp van een algemene regel namelijk de natuurlijke getallen. Kleuters die het schema nog niet beheersen zien de kenmerken van het object niet als zelfstandige eigenschappen maar een kenmerk is dominant. Daarnaast kunnen ze niet overstappen van een directe beoordeling van grootheden naar een indirecte meer gereflecteerde beoordeling ervan. De theorie van Gal’perin is dat het met behulp van een maat mogelijk is om concrete grootheden om te zetten in een mathematische hoeveelheid en dat deze onderling te vergelijken zijn in een één op één relatie. Wanneer een kind eerst leert tellen dan blijft dit een niet functioneel gedragspatroon. Kingsma toont aan dat er na training van maateenheden dit wel te leren is; dat ook het seriëren gelijk vooruitgaat; en dat de theorie van Gal’perin een beter houdbare verklaring is dan die van Piaget. Piaget ziet conservatie als voorwaarde voor het leren meten, maar Gal’perin beschouwt het meten als voorwaarde voor het leren conserveren. Gal’perin gaat uit van het onderwijs op de cognitieve ontwikkeling en Piaget gaat uit van de algemene cognitieve ontwikkeling. Er lijkt veel overeenkomst te zijn tussen tellen met eenheden en maatbegrip waarbij er geteld wordt met een af te spreken eenheid.

De voorwaarden voor het rekenen (conservatie, correspondentie, classificatie en seriatie) samen met tellen, rekentaal en maatbegrip moeten niet gezien worden als een afgerond systeem wat aanwezig moet zijn voordat er met het rekencurriculum gestart kan worden. De voorwaardes hoeven niet per se al te zijn vervuld voordat met de vaardigheid wordt gestart, maar het moet zich wel tegelijkertijd in het leerproces kunnen ontwikkelen.

Handelings(leer)psychologie

Er wordt ook wel gesproken van action-psychological of activity-psychological/activity theorie. Het algemene uitgangspunt van de handelingsleerpsychologie is dat mensen leren door actief te handelen, waarbij er meerdere functies zijn van het handelen als oriënteren, uitvoeren en controleren. Handelingen hebben een structuur welke door onderwijs te veranderen is. De nadruk bij de handelingsleerpsychologie ligt bij de manier waarop de omgeving kwalitatief goede handelingsstructuren aanleert. Gal’perin en Van Parreren zijn belangrijke auteurs. De nadruk ligt op de beïnvloedbaarheid van het leren rekenen door systematische instructie. Twee zaken zijn kenmerkend voor de handelingsleertheorie/ handelingpsychologie namelijk dat denken ontstaat vanuit handelingen op een minder abstract niveau en dat onderwijs en didactiek een belangrijke sturende rol spelen.

Handelingen

Gal’perin heeft de verschillende kanten van het denkproces en de onderlinge samenhang in een model beschreven. Denken is actief, handelen en doelgericht, en tevens het uitvoeren van mentale handelingen die samengaan met verwachtingen en met de situatie. Van Parreren en Carpay zijn degenen die de handelingsleertheorie in Nederland hebben gebracht. Centraal staat handeling, doelgerichte activiteiten met een of meer objecten, waardoor een structuur ontstaat. Een handelingsstructuur is een kwalitatieve karakterisering van het menselijk gedrag. Een prestatie (bijvoorbeeld tot de oplossing van een som komen) kan op veel verschillende handelingsstructuren berusten. Vier kwalitatieve kenmerken van handelingen zijn: de mate van verinnerlijking, de mate van verkorting, de mate van beheersing en de mate van wendbaarheid.

Verinnerlijking van handelingen betekent dat er een overgang is van concreet en uitwendig naar mentaal handelen, ook wel interiorisatie genoemd. De volgende stappen zijn volgens Gal’perin te onderscheiden: de materiële handeling waarbij echte objecten worden gebruikt; de perceptieve handeling, waarbij er wordt gekeken naar het aanwezige materiaal maar dit niet te manipuleren; de verbale handeling, waarbij in taal wordt beschreven wat de handeling is zonder materiaal; en de mentale handeling die in het hoofd wordt uitgedacht. Gal’perin ziet deze stappen niet als leeftijdgebonden fasen in de denkontwikkeling zoals Piaget, maar geeft aan dat de stappen bij elke nieuwe handelingsstructuur relevant zijn. Gal’perin bekijkt het leren van begrippen en denken op kleine schaal (microgenese).

Verkorting van handeling betekent dat er wanneer er niet gelijk een oplossing aanwezig is bij bijvoorbeeld een rekensom dat er dan deelhandelingen nodig zijn. Noodzakelijk is dat er probleemtransformatie en herstructurering plaatsvindt. Dit betekent dat aparte deelhandelingen worden samengevoegd tot een meer praktische oplossing. Het plan van handelen wordt hierdoor verkort. Deze verkorting in de oriëntatie en verkorting in de uitvoering ontstaat door succes en reflectie achteraf.

Beheersing van handelen wordt ook wel automatisering of ingeoefendheid genoemd. Dit betekent dat handelingen zonder bewuste tussenprocessen worden uitgevoerd en de aandacht tegelijk ook op iets anders gericht kan zijn. Automatisme is geen blind leerresultaat, maar bij een cognitief leerproces is er beheersing nodig van handelingen waarvan inzicht ten grondslag ligt. Het begin van het leerproces ligt in cognitieve handelingsstructuren.

De wendbaarheid van handelingen betekent dat het geleerde ook kan worden toegepast in andere situaties of bij andere problemen. Als handelingen gebaseerd zijn op een regel en het daardoor mogelijk is om in wisselende situaties met wisselend materiaal adequaat te handelen dan is er sprake van een wendbare handelingsstructuur volgens Van Parreren. Het verschil tussen wendbaarheid en transfer is dat laatstgenoemde een prestatiebegrip is en dat wendbaarheid slechts indirect te zien is en aangeeft hoe een probleem aan te pakken is.

Functies

Er zijn bij handelingen verschillende kwaliteiten of functies te zien. De uitvoerende functie is het verinnerlijkt, verkort, beheerst en wendbaarder zijn van handelen. Oriënterende functies zijn verkorting, oriëntatie en reflectie, waarbij ook controleactiviteiten tijdens en na de uitvoering van de handeling.

Onderwijs en didactiek spelen een grote rol in de handelingsleerpsychologie, voornamelijk Gal’perin vindt complete instructie en een sturende didactiek belangrijk. De verinnerlijking van materiële handelingen tot mentale handelingen is een trapsgewijze onderwijsprocedure die moet worden gestimuleerd. Als handelingen zelf kunnen worden gepland, uitgevoerd en gecontroleerd dan is er een volledige oriënteringsbasis. De stap van oriënteren is de instructiefase waarin de volwassene en kind samen verbaliseren en het kind een plan van handelen maakt. Als dit plan niet slaagt dan is dat de schuld van de volwassene die niet compleet is geweest. Dit principe is van toepassing bij remediërend onderwijs. Daarnaast ligt er nadruk op het verbaliseren en taal. Als laatste is reflectie van belang. Leren probleemoplossen, denken en reflecteren sluiten goed bij elkaar aan.

De punten van de handelingsleerpsychologisch georiënteerde didactiek zijn als volgt: leren rekenen is het proces van leren structureren van ervaringen; dit leren begint bij betekenisvolle problemen voor het kind waarbij de regels, concepten en symbolen worden geïntroduceerd en geaccepteerd als oplossing; het leren rekenen is in de eerste plaats gebaseerd op processen van overleg tussen kind en leraar; en het ontwikkelen van routines is nodig om nieuwe posities in te nemen en om nieuwe taken te leren.

3. Leerpsychologie en cognitieve psychologie

Leerpsychologie is het bestuderen van systematische veranderingen in gedragsreacties die relatief stabiel zijn en steunen op ervaring in plaats van door fysiologische rijping. Er zijn twee richtingen in de leerpsychologie, namelijk het behaviorisme en de cognitieve leerpsychologie.

Behaviorisme gaat uit van observeerbaar menselijk gedrag, waarbij er associatief geleerd wordt gebaseerd op de ervaring dat bepaalde stimulus-responsverbindingen samengaan. De psychologische processen tussen stimulus en respons spelen zich af in de black box, en dus niet observeerbaar, en zijn voor het behaviorisme geen onderwerp van studie. De principes die hierbij horen zijn klassieke en operante conditionering. Pavlov, Skinner (bekendste behaviorist) en Thorndike zijn belangrijke onderzoekers in het behaviorisme. Principes voor remediërend onderwijs zijn eenduidigheid in de aan te bieden stimuli, koppeling van stimuli aan elkaar door associaties en consequent te reageren op het gedrag. De werkwijze van gedragsmodificatie en toegepaste gedragsanalyse zijn hier bruikbaar voor.

Een principe van klassieke conditionering is de Pavlov-reflex. Dit houdt in dat de stimulus voedsel lijdt tot de respons van speeksel. Wanneer dit vaker gebeurt dan treedt de respons al op bij het zien van voedsel. De oorspronkelijke stimulus en respons treden vanzelf en ongeconditioneerd op, maar de nieuwe stimulus en responsverbinding is geleerd en geconditioneerd. Belangrijke principes bij de klassieke conditionering zijn: nadruk op stimuli, stimulusgeneralisatie, stimulusdiscriminatie, timing, voorspelbaarheid, gewenning/habituatie, vermijdingsgedrag, uitdoving/extinctie. Een neutrale stimulus wordt gekoppeld aan een andere stimulus, doordat de neutrale stimulus steeds gekoppeld wordt aan een signaalwoord en de respons ontstaat er een spontane reactie bij de neutrale stimulus en volgt gelijk de respons. Stimulusgeneralisatie houdt in dat bepaalde reacties volgen op stimuli die op elkaar lijken of makkelijk in verband te brengen zijn. Stimulusdiscriminatie betekent dat stimuli die hetzelfde zijn en de verwachting oproepen te leiden tot eenzelfde respons, dit soms niet doen. Timing is belangrijk bij klassieke conditionering. Een nieuw te leren stimuli koppelen is het meest succesvol wanneer deze voorwaarts wordt geconditioneerd met ongeveer een halve tot hele seconde tussen de twee stimuli. De voorspelbaarheid dat de twee stimuli elkaar opvolgen moet groot zijn. Door gewenning als een stimuli veel wordt herhaald, daalt de aandacht voor de stimuli. Wanneer er bij een situatie iets onplezierigs gebeurt dan kan dit tot gevolg hebben dat deze situaties vermijdingsgedrag oproepen. Als de koppeling tussen stimuli niet meer voorkomt dan kan de reactie uitdoven.

Operante conditionering is het bekrachtigen en belonen van responsen. Thorndike benoemt de wet van effect als volgt: een bekrachtiging versterkt met terugwerkende kracht en automatisch de associatie tussen een prikkelsituatie en de respons die tot een beloning leidt. Als gedrag wordt beloond dan neemt het toe. Operante conditionering versterkt de al bestaande stimulus-responsvebinding. Bekrachtiging kan positief en negatief zijn, wat ook wel positieve reïnforcement en negatieve reïnforcement wordt genoemd. Negatieve bekrachtiging is iets anders dan straffen. Het is het vermijden of voorkomen van een onaangename ervaring (zoals stoppen voor een stoplicht om een boete te voorkomen). Het gedrag zal hierdoor waarschijnlijk toenemen. Straffen heeft het doel om het gedrag af te laten nemen, met een kortdurend effect. Effectiviteit ontstaat pas wanneer er alternatief gedrag wordt aangeleerd. Principes van operante conditionering zijn: nadruk op responsen, stimulusgeneralisatie, stimulusdiscriminatie, shaping, bekrachtigingschema’s, uitdoving en secundaire bekrachtiging. Gedrag wat zich in een situatie toevallig voordoet en wordt gevolgd door een bekrachtiging zal vervolgens vaker voorkomen. De bekrachtigde stimulus wordt gegeneraliseerd naar andere vergelijkbare situaties. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen verschillende situaties of de respons gewenst is. Shaping is het stapje voor stapje aanleren van nieuw gedrag door belonen van gedrag wat de goede kant opgaat en dit steeds uit te breiden. Gedrag kan altijd bekrachtigd worden, maar kan ook in een bepaald schema worden bekrachtigd. Er kan na een vast aantal responsen worden beloond (vaste ratio) of beloond na een wisselend aantal responsen (variabele ratio). Ook kan er afwisselend na een lange of korte periode worden beloond (variabele interval) of na een vaste periode (vast interval). Er volgt uitdoving wanneer de systematische bekrachtiging niet komt. Een primaire bekrachtiging is waardering. Een secundaire bekrachtiging zijn zaken die een compliment of waardering vervangen als geld, of op school krullen en stickers.

Cognitieve leerpsychologie

De uitgangspunten van de cognitieve leerpsychologie zijn dat er tussen stimulus en respons mentale leerprocessen plaatsvinden, als het ontdekken en toeschrijven van betekenissen, verwachtingen, en ontwikkelen van motieven. Belangrijke namen zijn Tolman, Bandura en Meichenbaum. Er is aandacht voor onderliggende processen als inzicht en impliciet leren, waarbij de cognities die ontstaan belangrijk zijn. De cognities worden geleerd door zelf actief te handelen en door anderen als model te observeren. Er wordt bij de cognitieve leerpsychologie gekeken naar wat zich in de black box afspeelt bij stimulus en responsverbindingen. Hierbij wordt er vanuit gegaan dat waarneembare gedragsveranderingen te verklaren zijn door cognitieve verklaringen. Leren is een cognitief proces. Er is overlap met de associatieve leerpsychologie en met theorieën over probleemoplossen en informatieverwerking.

Een voorbeeld voor de cognitieve processen tussen stimuli en respons is plotseling inzicht hebben in de oplossing voor een probleem. Mensen en dieren leren sluimerend (ook wel latent) om een mentale representatie te maken. Tolman onderzocht dit met ratten in een doolhof. Zelf doen en het kijken naar anderen lijdt tot leren. Het kijken naar anderen en hiervan leren wordt ook wel leren uit de tweede hand, model leren, leren door imitatie, leren door voor en nadoen of observationeel leren genoemd. Een negatief gevolg van leren door imitatie is afhankelijkheid wat soms voorkomt in de vorm van geleerde hulpeloosheid. Afhankelijkheid wordt sterker wanneer reacties onregelmatig gegeven worden en onvoorspelbaar of tegenstrijdig zijn. Als dit leidt tot het gevoel zelf geen controle te hebben over de omgeving dan is er sprake van geleerde hulpeloosheid. Dit kan worden geuit in een lage verwachting bij eigen inzet en bij een lage intrinsieke motivatie en interesse. De cognities over de eigen rol van iemand als oorzaak van falen of succes wordt in motivatietheorieën beschreven onder de naam locus of control. Dit is het toeschrijven van oorzaken voor eigen succes of falen wordt en opvattingen over eigen bekwaamheid. Onzekerheid en faalangst kan tot uiting komen als vermijdingsgedrag. Het afleren van geleerde hulpeloosheid kan door jezelf weer als verantwoordelijk te zien en om te gaan met succes en falen. De cognitieve gedragstherapie is hierop gericht en staat ook wel bekend als cognitieve herstructurering.

De leerpsychologie legt het accent op leren en leerprocessen. Theorieën bekijken vergelijkbare verschijnselen met andere accenten, andere tradities en met uiteenlopende methoden. Er is bijvoorbeeld overlap tussen de handelingsleerpsychologie en de cognitieve leerpsychologie (beiden nadruk op actieve mentale processen).

Cognitieve psychologie en probleemoplossen

De aandacht bij de cognitieve psychologie ligt op basale processen als het richten van aandacht, analyseren, vergelijken en onthouden met de nadruk op oplossingsprocessen en verwerken van kennis en informatie. Het uitgangspunt is dat het gedrag van mensen erop gericht is om problemen op te lossen. Om met tussenhandelingen tot het resultaat te komen. Belangrijke personen zijn Duncker, Selz en Van Parreren. Rekenen wordt gezien als een manier om problemen waar geen directe oplossing voor is door inzicht en herstructurering tot een oplossing te brengen. Het zien van relaties tussen stimuli wordt inzicht genoemd. Dit is uitgegroeid tot een theorie die Gestaltpsychologie wordt genoemd. Dit betekent dat het geheel meer is dan de som der delen, waarbij niet de losse delen maar een patroon of structuur centraal staan. Denken is een manier van herstructureren, herordenen, herformuleren en het vinden van creatieve oplossingen. Processen van oplossen worden door mensen zelf onderzocht aan de hand van retrospectie (terugkijken) en hardop-denkprotocollen. Problemen om tot een oplossing te komen kunnen functionele gefixeerdheid en mentale set zijn. Functionele gefixeerdheid houdt in dat er op een gebruikelijke manier met objecten en concepten om te gaan in plaats van creatiever. Mentale set betekent ingesteldheid oftewel de neiging om problemen op één bepaalde manier op te lossen. Andere bedreigingen zijn: te snel uitgaan van een beperkt aantal eerste veronderstellingen, de neiging om naar bevestiging te zoeken en het negeren van tegenstrijdige informatie.

Bij het oplossen van een probleem zijn verschillende stappen te zien: onderkennen van het probleem; vinden, ontwikkelen en toepassen van oplossingsmethoden; en het geven, controleren en integreren van oplossingen. Herstructureren tot een nieuw probleem of tot deelproblemen. Voordat een oplossing voor een probleem kan worden gevonden moet er bewust een probleem worden ervaren en er moet de behoefte zijn om tot een oplossing te komen.

Er zijn meerdere factoren die de identificatie van een probleem beïnvloeden: de voorkennis die beschikbaar is; vorm waarin het probleem gepresenteerd wordt; de stijl van de oplosser; en de mate waarin een probleemcontext als zinvol wordt beschouwd. Om een probleem te identificeren moet er kennis zijn over andere verschillende typen standaardopgaven en problemen, over soorten vraagstelling en over oplossingsstrategieën. Er kan hierbij een fout plaatsvinden. De context waarin een probleem wordt getoond is van invloed op de efficiëntie van de oplossing en op het maken van fouten. De stijl van de oplosser betekent dat als er te weinig analyse wordt gedaan, dat dit kan leiden tot een mentale set voor een oplossing. Dit gebeurt ook wanneer er wel voldoende kennis en oplossingen voorhanden zijn. Een zinvolle probleemcontext worden op een bepaalde manier aangeboden en de betekenis wordt hierdoor door de meeste mensen spontaan verleend. Anderen hebben een meer situationele context nodig om het probleem duidelijk te maken.

Er zijn drie oplossingsmethoden: algoritmische oplossingsmethode, schattend exploreren, en heuristische oplossingswijze. De algoritmische oplossingsmethode is het systematisch en volgens vaste regels een opgave te transformeren met een zekerheid dat dit de oplossing geeft (als een traditionele staartdeling). Het is nodig om kennis en vaardigheden toe te passen, waardoor er nog steeds fouten kunnen ontstaan. Schattend exploreren is het verstandig proberen door een inschatting te maken van het antwoord. De heuristische manier is het verminderen van onzekerheid als de hele identificatie van het probleem niet lukt of als er geen goede aanpak is. Er zijn een aantal elementen belangrijk: analyse van doel en middelen, analyse van beschikbare gegevens en van conflicten, en omzetting in een beheersbare vorm. Bij de analyse van beschikbare gegevens en van conflicten is kennis van betekenisrelaties (oorzaakverandering, combinatie of vergelijking) en kennis over de opbouw en structuur van vraagstukken, de bedoeling van de aanbieder en over impliciete regels nodig. Het omzetten of herstructureren kan door opsplitsing, waarbij er deelproblemen worden onderkend en deze afwerken naar prioriteit, of door herformulering waarbij het probleem wordt omgezet en vertaald in een model. Drie vormen van modellen zijn de algebraïsche vergelijking, de getallenlijn en het splitsmodel. Er is niet een model dat in alle situaties het beste werkt.

Voordat er een oplossing is kan deze gecontroleerd worden aan de hand van een regel techniek of formule, waarna het resultaat wordt toegevoegd aan de aanwezige voorkennis. Hierdoor is probleemoplossen een vorm van leren. Hoe vaker het proces wordt uitgevoerd hoe meer het eigen wordt gemaakt en wordt geautomatiseerd.

Cognitieve psychologie en informatieverwerking

Het uitgangspunt bij deze theorie is dat mensen een informatieverwerkend systeem zijn, waarbij informatie wordt geregistreerd, vastgehouden, bewerkt, omgezet of opgeslagen. Een mens wordt dikwijls vergeleken met een computer, die steeds controleert, uitvoert, opslaat en verwerkt. Belangrijke auteurs zijn Bieshuizen, Meichenbaum en Goodman, Siegler, Van Lieshout en Van Luit. Het rekenproces past goed binnen de informatie-verwerkingsbenadering.

Rekenen is een proces van informatieverwerking. Er zijn in grote lijnen drie componenten te onderscheiden: de structurele component (verwerking en geheugencapaciteit), de controle of strategiecomponent (bewerkingen), en de uitvoerende en sturende component (programmeren van informatie en bewaken van onderlinge afstemming). Binnenkomende informatie komt in het sensorisch register, waarna de informatie geselecteerd wordt. Dit wordt ook wel selectieve aandacht genoemd, omdat de zintuigen veel prikkels tegelijk waarnemen maar de aandacht gaat naar wat op dat moment relevant is en nodig is om in te prenten. Inprenten is het vastleggen in beelden of code, ook wel encoderen. Door ervaring wordt het richten van aandacht en selecteren van informatie. De geselecteerde sensorische prikkels komen dan in het kortetermijngeheugen. Het kortetermijngeheugen kan korte tijd een beperkte hoeveelheid informatie vasthouden. In het werkgeheugen wordt de informatie bewerkt de informatie wordt doorgegeven aan het langetermijngeheugen, waar het wordt vergeleken met de al aanwezige kennis. De kennis bestaat uit feitenkennis (lexicon) en bewuste en onbewuste procedurele kennis. De toegevoegde kennis wordt als dat nodig is omgezet in output. Als dat het geval is dan zal de kennis door het werkgeheugen weer worden omgezet zodat het een waarneembare respons geeft. In elke fase kan er informatie verloren gaan door vervaging, ineffectieve controle, afname van sterkte of interferentie. Bij interferentie zijn er stimuli of responsen tegenstrijdig aan elkaar. Wanneer een nieuwe stimulus met terugwerkende kracht een oude stimulus verdringt dan heet dit retroactieve interferentie. Het tegenovergestelde is ook mogelijk.

Het sensorisch geheugen gaat dus vooraf aan het kortetermijngeheugen en het langetermijngeheugen. Het sensorisch geheugen houdt prikkels heel kort vast (1 seconde), wat lang genoeg is om te herkennen, te beslissen en er eventueel aandacht aan te geven. Het zorgt daarnaast ook voor continuïteit in onze waarnemingen (bijvoorbeeld vloeiend kunnen rondkijken). Het kortetermijngeheugen houdt informatie voor minder dan 20 seconden vast. Om de werking te toetsen kunnen er cijfer of letterreeksen worden nagezegd. Bij de volgordepositie (serial position effect) blijken er twee effecten: recency effect (het best onthouden van de laatste items) en het primacy effect (eerste items onthouden). De geheugenopslag is te beïnvloeden door een cognitieve herhalingstrategie. In het werkgeheugen wordt de informatie ook actief bewerkt, waardoor het soms werkgeheugen wordt genoemd. Gepleit wordt om het kortetermijn en werkgeheugen van elkaar te onderscheiden. In de literatuur wordt er daarom ook wel hypothetisch gesproken over het tussengeheugen. In het kortetermijn geheugen en werkgeheugen kan visueel-ruimtelijke informatie en fonologische (klank) informatie worden vastgehouden. Voor elk type is een hulpsysteem (slaafsysteem) aanwezig, namelijk het viseel-ruimtelijk schetsblok (visual-spatial sketchpad) en een klanklus (phonological loop). Er is een centraal orgaan (central executive) voor het aansturen en bewaken van de systemen. Bij leerproblemen blijken vaak minder te presteren bij taken waarbij het werkgeheugen en centraal uitvoerend orgaan een rol speelt. Dit is te compenseren door metacognitieve strategieën te gebruiken.

Er zijn verschillende typen kennis te onderscheiden: declaratieve kennis, procedurele kennis, en metacognitie. Declaratieve kennis is feitenkennis, informatie die onthouden moet worden. Om de kennis te leren is soms een langdurig leerproces nodig, maar eenmaal geautomatiseerd kan het bijna onbewust worden gebruikt. Bij kinderen met dyscalculie is de feitenkennis vaak niet geautomatiseerd. Procedurele kennis is weten hoe iets gedaan moet worden, waarbij er een verschil is tussen onbewuste (als vanzelf beheersen en toepassen van kennis) en bewuste procedurele kennis (weten en kunnen toelichten hoe iets stap voor stap toe te passen is). Procedurele kennis kan overgaan in declaratieve kennis, maar dit is bij kinderen met dyscalculie een struikelblok. Metacognitie is de kennis over het eigen leerproces, over het eigen kennen en kunnen. Het kan worden onderscheiden in metacognitieve kennis en metacognitieve vaardigheden.

Metacognitieve kennis is algemene opvattingen en kennis over het eigen leerproces. Het leerproces omvat persoonskenmerken, taakkenmerken, de aanpak en het samenspel ertussen. Metacognitieve vaardigheden zijn het actief sturen van het leerproces, zoals het formuleren van een doel, het oriënteren op eisen en verwachtingen, het opsporen van oorzaken voor fouten en het zoeken van hulpbronnen. De metacognitie bevordert de controle over motivatie, emoties, interacties met anderen en over het eigen gedrag. Kinderen met leerproblemen kunnen bij taken die spanning oproepen deze vermijden of negatief gedrag laten zien. Dit is te voorkomen of te stoppen door meer procesgericht te gaan werken in plaats van resultaatgericht. Kenmerken van een goede informatieverwerking zijn: plannen van denken en manier van oplossen; in de gaten houden van aanpak en vorderingen in het licht van het gestelde doel; goed kortetermijngeheugen; snel automatiseren van strategieën en andere aspecten van het verwerkingsproces; veel begrippen kennen en goed gebruiken; vertrouwen hebben in zichzelf; geloven dat zelfverbetering mogelijk en nodig is; creëren van betere mogelijkheden om verder te ontwikkelen; en van anderen kansen krijgen om competentie te vergroten.

Als synoniem voor procedure wordt het woord strategie gebruikt. Bieshuizen pleit er in zijn latere werk voor om procedure en strategie echter te scheiden. Veel auteurs maken dit onderscheid niet en noemen bewuste procedurele kennis een procedure en onbewuste procedurele kennis een strategie. Procedures zijn bewuster, vinden stap voor stap in een vaste volgorde plaats, vooral in routinesituaties en zijn formeel en aangeleerd. Strategieën zijn minder bewust, afgestemd op en wisselend naar gelang de context (heuristisch), vooral in variërende complexe situaties, en zijn informeel en ontdekt.

Siegler ziet cognitieve ontwikkeling als de ontwikkeling in het gebruik van meerdere strategieën bij het oplossen van cognitieve taken en het kiezen van een strategie. Back-up strategieën zijn ondersteunende strategieën die worden gebruikt wanneer de gevraagde kennis en vaardigheden niet of onvoldoende automatisch aanwezig zijn. Deze strategie kost tijd en is sterk afhankelijk van taakkenmerken. Retrieval of terugvind strategie is het snel ophalen van geautomatiseerde kennis uit het langetermijngeheugen. Siegler heeft een model waarin hij de ontwikkeling van strategic change beschrijft, oftewel het gebruiken van en kiezen tussen de twee strategieën. De cognitieve ontwikkeling verloopt gradueel, waarbij elke fase een variatie in strategiegebruik heeft. Kenmerken die te onderscheiden zijn: het repertoire beschikbare strategieën; de relatieve frequentie of voorkeur van de verschillende strategieën; de snelheid en accuratesse van de uitgevoerde strategieën; en de mate van flexibiliteit en adaptiviteit.

Bij onderzoek naar informatieopslag moet er worden opgelet dat er niet al vanuit een bepaalde visie gekeken wordt en op basis daarvan onderzoekstaken worden geselecteerd. Een mogelijkheid is dat er maar één geheugen is. Hier tegenover staat het connectionisme wat ervan uitgaat dat elke neuron of knoop in het netwerk een representatie bevat. Hoe vaker de verbindingen tussen twee stimuli voorkomt, hoe sterker de verbinding.

4. Onderwijsleerprocessen en individuele mogelijkheden

Onderwijs richt zich op de ontwikkeling van de cognitieve en sociaal/emotionele ontwikkeling op een formele manier (doelgericht en met bewust gebruikte instructie) en informeel door kansen te bieden. In het onderwijs worden ook inzichten uit de psychologie toegepast, bijvoorbeeld wanneer er leerproblemen zijn. Er moet dan een orthodidactiek zijn, wat betekent dat het lesgeven afgestemd is op de speciale instructiebehoeftes van het kind. Op verschillende manieren worden theorieën over onderwijsleerprocessen benoemd. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen algemene didactiek en onderwijspsychologie om de inzichten uit de klassieke onderwijskunde met betrekking tot de theorie van het onderwijzen en de ontwikkelingen in de cognitieve leerpsychologie met betrekking tot informatieverwerking, leerstrategieën en instructieprincipes. Er is geen scherpe grens tussen de genoemde twee, maar bij didactiek ligt de nadruk meer op de planmatige kant en bij de onderwijspsychologie ligt de nadruk meer op hoe de dynamische leerprocessen van kinderen in het onderwijs vorm krijgt. Gesteld wordt soms dat leerproblemen komen door didactische tekortkomingen, maar dit lijkt een onvoldoende verklaring volgens de auteur van dit boek voor de problemen.

Algemene didactiek

Didactiek heeft als uitgangspunten dat er een systematische planning, uitvoering en evaluatie van het didactisch handelen wordt opgebouwd door doelstelling, beginsituatie, werkvorm, media, groeperingvorm en evaluatie. Auteurs die ideeën hierover naar voren brengen zijn Boekaerts & Simon, De Corte en Van Gelder. Bij alle kinderen en met name bij kinderen met leerproblemen is een doordachte systematiek in het geven van uitleg en het planmatig handelen belangrijk. Van Gelder heeft een aantal kernvragen voor didactisch handelen die verwantschap hebben met de principes van instructional design en taakanalyse.

De doelstelling komt naar voren door de vraag: wat wil ik bereiken. De beginsituatie vindt men door de vraag: waar moet ik beginnen. De onderwijsleersituatie volgt door de vraag: hoe kan ik het onderwijs geven, uitgesplitst in de deelvragen: hoe kies ik de leerstof en met welke ordening daarin; welke didactische werkvormen zijn nuttig; welke leeractiviteiten moeten de kinderen doen; en welk onderwijs en leermiddel gebruik ik. Om te evalueren kan gebruik gemaakt worden van de vraag wat het resultaat is van het onderwijs. De antwoorden van de vragen zorgen voor een didactische analyse.

De vragen hangen samen en worden daarom systeemtheoretische benadering genoemd. Het didactische model is een cyclisch model: voortdurende evaluatie leidt tot nieuwe keuzes en beslissingen (zie pagina 101 in het boek voor een figuur van het model). Het model is geschikt voor de planning, uitvoering en evaluatie van het onderwijs. Het meest bekende model is het model planmatig handelen van Van der Leij, Kool en Van der Linde-Kaan. Binnen de schoolbegeleiding wordt er uitgegaan van de principes van de interventiegerichte consultatie en consultatieve leerlingbegeleiding. De sterke kant van de algemene didactiek is de nadruk op principes van systematisch en planmatig beïnvloeden van typen leerprocessen. Het zwakke aan de algemene didactiek is dat er niet wordt ingegaan op vakinhoudelijke onderwijsleerprocessen.

Onderwijspsychologie

Er wordt bij de onderwijspsychologie vanuit gegaan dat het menselijk waarnemen een reconstructie is van de realiteit waarin er uit eerdere ervaring en door verwachtingen begrijpen hoe dingen met elkaar samenhangen. Een leerling bouwt actief kennis op in realistische contexten, waarbij de interactie met de omgeving en de rol van taal een rol spelen. Belangrijke namen zijn Cobb, Gravenmeijer, Greeno en Treffers. In het onderwijs betekent de onderwijspsychologie dat de leerling wordt uitgelokt en actief betrokken wordt in discussies over betekenisvolle contexten. Het liefst wordt daarbij uitgegaan van informele oplossingsprocedures van de leerling zelf. Onder onderwijspsychologie vallen een aantal ontwikkelingen. De bestudering van cognitieve processen beperkt zich hier niet tot algemene typen leren, maar richt zich ook op domeinspecifieke processen als leren en instructie van rekenen en wiskunde.

Het constructivisme houdt in dat de leerling zelf de schepper is van zijn eigen kennis. Men trekt conclusies en construeert een betekenis bij wat er wordt ervaren in een bepaalde situatie. De kennis is gesitueerde cognitie, die wel weer kan worden gegeneraliseerd.

Het sociaal constructivisme legt de nadruk op de gedeelde ervaringen, waarbij taal (verbaal en non-verbaal) een grote rol speelt. Er kan ook gesproken worden over co-constructie. Onder begeleiding van een volwassene construeren of herontdekken de bestaande kennis, wat ook wel guided reinvention wordt genoemd. Rekenen is een sociale activiteit waarbij de leraar de rol van mediator heeft. Belangrijk is dan hoe sturend de rol van de leraar is en hoe groot de eigen inbreng van de zwakke leerling kan zijn.

Realistisch rekenen heeft vijf uitgangspunten: het gebruik van contexten als basis voor verkenning van de stof, waarbij leerlingen zelf oplossingen construeren en concretiseren; aandacht voor het gebruiken, verkennen en ontwikkelen van modellen, schema’s en symbolisering (niveaus en modellen); steunen op eigen inbreng en reflectie; sociale context en interactie door oplossingen van anderen; en structureren en verstrengelen van verschillende leerstofgebieden. Volgens Van Dijk loont het om situaties te modelleren en de situatie op die manier te mathematiseren bijvoorbeeld door leerlingen zelf modellen te laten ontwikkelen en deze met elkaar te vergelijken. Er zijn twee manieren van mathematiseren. Het horizontaal mathematiseren is het omzetten van een natuurlijke probleemsituatie in een wiskundige vorm. Verticaal mathematiseren is dat de notaties geleidelijk abstracter en efficiënter worden. Probleem van het decontextualiseren is dat het hierdoor betekenisloos kan worden. Er zijn een aantal aspecten te onderscheiden in het mathematiseren: modelleren, symboliseren, generaliseren, formaliseren en abstraheren. Het modelleren is het proces waarin een representatie van een context tot stand komt, allereerst context specifiek maar langzaamaan meer algemeen te gebruiken. Symboliseren is het proces waarin symbolen worden geconstrueerd als geschikte representatie. Generaliseren is het bewust worden van een bredere toepasbaarheid van ideeën, mentale constructies en regels. Formaliseren is het verder uitbreiden van generaliseren, namelijk dat een regel, formule of algemene methode bruikbaar wordt in een scala aan mathematische situaties. Abstraheren is het punt waarop een algemene eigenschap plotseling gezien wordt als een eigenschap op zich.

In het speciaal basisonderwijs zijn de principes van het realistisch rekenen opvallend minder ingevoerd dan in het reguliere onderwijs. Dit komt waarschijnlijk omdat de interactieve rekenwiskundedidactiek een beroep doet op vaardigheden waarin de leerlingen in het speciaal onderwijs zwak zijn. Een nadeel van het realistisch rekenen is dat het bereiken van inzicht in rekenhandelingen en begrippen verloren dreigt te gaan in een overvloed van concreet materiaal. Leerlingen met leerproblemen zijn meer gebaat volgens literatuuronderzoek met een meer sturende didactiek die minder vertrouwt op eigen inbreng.

Intelligentiepsychologie en leergeschiktheid

Individuele verschillen bestuderen werd lang gezien als het domein van differentiële psychologie, of persoonlijkheidspsychologie of individuele psychologie. De discussie is waarom mensen van elkaar verschillen in persoonlijkheidskenmerken waarbij de invloeden van erfelijkheid (nature) en omgeving (nurture) een rol spelen. Bij de cognitieve verschillen wordt niet meer gesproken van de differentiële psychologie, maar van verschillende benaderingen in het wetenschappelijk onderzoek naar intelligentie. Het bekendste product van intelligentieonderzoek zijn de gestandaardiseerde intelligentietesten. Deze zijn te gebruiken om iemands cognitieve mogelijkheden te vergelijken met een normgroep van leeftijdsgenoten. Dit wordt normaalgesproken uitgedrukt in het Intelligentie Quotiënt (IQ). Aan de hand hiervan kan worden vastgesteld wat iemand leermogelijkheden zijn. Tegenwoordig zitten er echter voornamelijk statische taken in de testen die vaststellen wat er tot dat moment geleerd is. Om het IQ te kunnen vergelijken met anderen wordt er dan vanuit gegaan dat iedereen evenveel kansen heeft gehad om zich te ontwikkelen. De kritiek is dat het idee van een relatief en stabiel leervermogen en in aanleg bepaald zou zijn en er is ook kritiek op het gebruik van statische testen in plaats van dynamische.

Uitgangspunten zijn dat de intelligentiepsychologie of differentiële psychologie kijkt naar stabiele individuele verschillen in prestaties bij verschillende taken. Het is van belang voor rekenen om te weten wat de relatie is tussen rekenprestaties, intelligentieniveau en meer algemene vaardigheden. Meerdere theorieën zeggen iets over intelligentie, zoals Piaget. Door de verschillende hoeken waaruit er gekeken kan worden verschilt de definitie van intelligentie dan ook. In het begin van de 20ste eeuw is de intelligentietest in opkomst gekomen. Spearman is begonnen met onderzoek naar de samenhang tussen test en subtestscores. Door een factoranalyse kan er een vermindering van het aantal intercorrelaties worden uitgevoerd, waarbij een statistische grootheid (factor) wordt berekend op basis van wat de verschillende scoren met elkaar gemeenschappelijk hebben (gemeenschappelijke variantie). Elke test meet ook een unieke variantie, iets wat niet gemeenschappelijk is. De onderzoeker benoemt de factor. Spearman vond dat alle testen met elkaar samenhangen en noemde dit als ‘g’ (general intelligence). Ook vond hij voor elke test een specifieke factor. De Standard Progressive Matrices van Raven en de Wechsler Intelligence Scale for Children (WISC) voor 6-16 jaar, de WPPSI voor 4-6 jarigen en de WAIS voor volwassenen meten de algemene capaciteiten. De recentste Nederlandse en Vlaamse versie is de WISC-III. Ook de Revisie Amsterdamse Kinder Intelligentietest (RAKIT) geeft een intelligentieniveau.

Belangrijk bij de testen zijn de psychometrische eigenschappen, die de test tot een bruikbaar en betrouwbaar instrument maken. De eigenschappen garanderen dat de testscores nauwkeurig en stabiel en vergelijkbaar zijn. De eigenschappen zijn objectiviteit, betrouwbaarheid, validiteit en normering. Objectiviteit betekent dat bij verschillende diagnostici bij dezelfde persoon tot dezelfde resultaten leidt. Betrouwbaarheid gaat over de nauwkeurigheid van het instrument. Een hoge betrouwbaarheid geeft geen garantie dat het instrument ook inhoudelijk meet wat ermee gemeten moet worden. Validiteit is in hoeverre de test voldoet aan zijn doel van meten wat het moet meten. Normen maken het mogelijk de kenmerken van iemand te vergelijken met een normgroep. Kritiek is dat de aandacht voor onderliggende processen en voor het leren niet meer in de aandacht is.

Het hiërarchisch intelligentiemodel van Vernon onderscheidt de algemene intelligentiefactor ‘g’ met daaronder twee brede hoofdgroepfactoren, namelijk een verbaal-educatieve factor en een ruimtelijk-perceptueel praktische factor. Hieronder komen nog specifieke factoren. Wat zeggen intelligentietest over de prestaties van iemand in het rekenen. De algemene intelligentiescores hebben een middelmatige correlatie met rekenen. Uit Amerikaanse onderzoeken blijkt dat verbale intelligentie sterker samenhangt met rekenprestaties dan non/verbale intelligentie. Dit kan gevolg zijn van het onderdeel rekenen die deel is van de verbale schaal in de WISC. De rekenprestaties worden bepaald door de algemene intelligentie en door de algemene taalvaardigheid.

Theorie van leergeschiktheid en leerpotentieelonderzoek

Het verschil tussen het niveau van de actuele ontwikkeling en het niveau van de mogelijke ontwikkeling wordt zone van naaste ontwikkeling genoemd of leergeschiktheid. Dit kan worden bepaald door een individueel leerexperiment of een leertest. Aan de hand van deze testen is te bepalen in hoeverre het leerprobleem te beïnvloeden is. De kritiek op statische intelligentietesten is dat er niet gekeken wordt naar de dynamische leerbaarheid. De kritiek is niet alleen gericht op de IQ-test, maar ook op het intelligentiebegrip zelf. Het intelligentieconcept verandert door de verschillende testen en factoranalyses. Het model van Vernon laat zien dat intelligentie uit verschillende aspecten of kenmerken bestaat. Als oplossing voor de kritiek dat de testen te statisch zijn, wordt er gezocht binnen de theorie van de leergeschiktheid en de ontwikkeling van leer of leerpotentieeltests (dynamic assessment). Door velen is het werk van Vygotsky een inspiratie. Hij komt als eerste met de term ‘zone van naaste ontwikkeling’. Als een kind met hetzelfde IQ als iemand anders maar meer mogelijkheden om in interactie te leren, dan heeft dat kind een groter leerpotentieel.

Vygotsky en Piaget bekijken allebei de cognitieve ontwikkeling, maar Piaget richt zich op de gedetailleerde beeldjes en greep zo min mogelijk in. Vygotsky daarentegen bekijkt de dynamische opeenvolging van de beeldjes door hulp en mediatie te bieden. Piaget heeft de cognitieve ontwikkeling in kaart gebracht. Om de dynamiek in de ontwikkeling te stimuleren is het noodzakelijk om ook te weten wat er in beweging is en wat er precies betrokken is. De ideeën van Piaget en Vygotsky hebben een complementair karakter.

In een deel van de theorie van leergeschiktheid ligt de nadruk op de kwalitatieve kenmerken. Kalmykova geeft een aantal kwalitatieve kenmerken van leergeschiktheid: de algemeenheid van de denkactiviteit (het gericht zijn op abstraheren en generaliseren van wat wezenlijk is in een bepaalde situatie); de mate van bewustheid van de eigen denkactiviteit (weten wat je doet, waarom en kunnen verantwoorden); de flexibiliteit van het denken (afwijken van de gebruikelijke manier van denken); de stabiliteit van denken (volhouden van denken en met meerdere kenmerken tegelijk kunnen werken); en de zelfstandigheid van denken (het onafhankelijk zijn van hulp maar er wel van kunnen profiteren). Kalmykova heeft als diagnostische toets een individueel leerexperiment waarbij elke stap meer hulp wordt gegeven. De stof van de test sluit aan bij het onderwijsleerproces. Kinderen met leerproblemen komen vaak wel tot een praktische oplossing, maar niet tot een logisch-verbale oplossing.

In een deel van de theorie van leergeschiktheid ligt de nadruk op de voorspelling voor schoolsucces en leertestconstructie. Budoff en Guthe hebben onderzoek verricht naar de voorspelling van leersucces en de nodige leerconstructie. Guthe vindt het belangrijk om de voordelen van de klassieke testmethodes te gebruiken samen met informatie over leerwinst wanneer er instructie wordt gegeven. Er wordt daarom vaak gebruik gemaakt van een oefenfase na de voormeting, waarin veel hulp wordt gegeven. Als laatste is er sprake van een nameting, soms gevolgd door een uitgestelde nameting om de duurzaamheid te bepalen. In de oefenfase wordt de hoeveelheid hulp, ook wel hints genoemd, afgestemd op de behoefte aan ondersteuning om zo de mate van zelfstandigheid te bepalen. Uit onderzoek blijkt dat kinderen in het speciaal onderwijs in vergelijking met kinderen op een reguliere school ongeveer twee keer zoveel tijd en een dubbel aantal hints nodig hebben. Allochtone kinderen hebben ook een langere instructietijd nodig, met meer hints en een langzamere verantwoording dan autochtone kinderen. Echter er zijn grote individuele verschillen binnen elke groep.

Het kunnen leren ontdekken en toepassen van het classificatieprincipe lijkt een goede graadmeter voor het kunnen leren rekenen. Doelgecentreerd is een oefenfase waarin wordt voorgedaan, nagedaan en feedback als instructieprincipes worden gegeven. De gedraggecentreerde oefenfase is dat er geleidelijk steeds concretere hulp wordt gegeven. Deze oefenfases komen overeen met banende en sturende instructie. De gedragsgecentreerde hulp kan gebruikt worden voor kwalitatieve analyse van leerprocessen, maar is alleen indirect te koppelen aan schools leren. De nametingen zijn wel goede voorspellers van de prestaties voor twee en negen maanden later, maar die van de doelgecentreerde oefenfases zijn betere voorspellers.

Een voordeel van leertesten is dat ze minder bekend zijn en mogelijk minder faalangst oproepen. Een nadeel is dat ze vertaling naar het schoolse leren en bij het geven van hulp bij leerproblemen moeilijker is. Een oplossing hiervoor is door een domeinspecifieke of curriculumgebonden leertest te gebruiken. Concluderend is te zeggen dat het leertestparadima veelbelovend is en met name de curriculumgebonden leertesten die een goede voorspeller zijn voor de schoolprestaties en die ook geschikt zijn om de beste hulp per individu in te schatten.

Neuropsychologie

Naast de intelligentie en leergeschiktheid is de neuropsychologie ook een kenmerk wat een rol speelt in de afstemming van onderwijs en individuele leerbehoeften. Leren en gedrag ontstaan door de interactie van omgeving en het individuele centrale zenuwstelsel. De hiervoor beschreven theorieën gaan uit van processen en cognitieve termen waarbij ervan uit wordt gegaan dat de hersenfuncties intact zijn. Het maken van een taak wordt bijvoorbeeld intelligent genoemd en dit wordt toegeschreven aan het psychologische construct intelligentie. Er wordt in de theorieën niet verwezen naar hersengebieden of lokalisaties. In de neuropsychologie is het feitelijk functioneren van de hersenen en de plek van de hersenactiviteit oftewel de lokalisatie juist wel belangrijk. In de tweede helft van de 19de eeuw hebben Broca en Wernicke al een aandeel in de neuropsychologische theorievorming. Als de focus ligt op de relatie tussen hersenstoornissen en gedrag dan wordt dit klinische neuropsychologie genoemd. Als het accent op de cognitieve processen ligt, dan heet het cognitieve neuropsychologie of cognitieve neurowetenschappen. Binnen de hersenen is er een specialisatie en een functieverdeling. De hersenen bestaan uit een linker en rechterhemisfeer. Er zijn veel koppelingen en de hersenen werken in een geheel van met elkaar verbonden netwerken. Uit de relatie tussen een beschadiging en verstoord gedrag kan alleen worden geconcludeerd dat een intact functioneren van dat hersengebied een belangrijke voorwaarde is voor dat gedrag.

De hemisfeerspecialisatie en functieverdeling liggen in principe genetisch vast. Een hersentrauma (pre-, peri- of postnataal) kan dat verstoren, maar het is mogelijk dat er compensatie plaatsvindt doordat andere delen van de hersenen de functie overnemen van het beschadigde gebied. Hoe vroeger in de ontwikkeling, hoe groter de plasticiteit van de hersenen. In de linkerhemisfeer vindt de automatisering van rekenkennis plaats. Hier komt de overeenkomst tussen dyslexie en dyscalculie vermoedelijk vandaan. In de temporaalkwab ligt het vermogen voor verbaal geheugen voor rekenfeiten en de verbale verwerking. In de frontaalkwab vindt de strategie-keuze en planning plaats. In de Pariëtaalkwab vindt de representatie van hoeveelheden plaats. De occipitaalkwab is de locatie van visuele identificatie van getallen (zie pagina 123 voor een overzicht).

Neuropsychologie en rekenen

In de expressieve functies zijn er stoornissen in de expressieve taal, waarvan onder andere acalculie (niet kunnen rekenen). Dit kan ontstaan na hersenuitval of hersentrauma. Acalculie kan in vier vormen naar voren komen: het lezen, alectische acalculie oftewel getalalexie; het schrijven, agrafische acalculie; het ordenen op de bladspiegel, spatiale acalculie; en het uitvoeren van de hoofdbewerkingen, anaritmetrie. De alectische acalculie is het foutief hardop lezen van getallen en rekensymbolen. Dit komt het meest voor na laesies in de linkerhemisfeer met een lokalisatie in de pariëtale en tempo-pariëtale gebieden. De agrafische acalculie is het niet of niet correct kunnen schrijven van getallen die worden gedicteerd. Dit komt voor na laesies in de linkerhemisfeer, in de locatie pariëtale kwabben, basale ganglia en het voorste deel van de capsula interna en na laesies in de periventriculaire witte stof. De spatiale acalculie zijn de problemen in het ruimtelijk ordenen van getallen. Het komt voor na laesies in de rechterhemisfeer in de pariëtale kwabben en de thalamus. De anaritmetrie zijn de problemen in het mondeling en of schriftelijk oplossen van opgaven in hoofdbewerkingen. Dit komt voor na laesies in de linkerhemisfeer met als locatie pariëtale kwabben, basale ganglia, periventriculaire witte stof, thalamus en insula.

Geary heeft een indeling in klinische verschijnselen gemaakt met drie subtypen rekenstoornissen (mathematic disorders): problemen met rekenfeiten; problemen met rekenprocedures; en problemen met de ruimtelijke weergave. De eerste twee zijn voornamelijk gekoppeld met de linkerhemisfeer en de derde vooral met de rechterhemisfeer. Het eerste subtype is het onthouden van rekenfeiten met als cognitieve kenmerken dat er problemen zijn met het oproepen van rekenfeiten uit het geheugen, dat wel opgeroepen feiten fout zijn, dat fouten vaak verwisselingen zijn met getallen uit de opgave, en dat de oproeptijd variabel is. Het lijkt genetisch van aard en lijkt samen te gaan met leesstoornissen. Het tweede type zijn problemen in het procedurele aspect, waarbij de cognitieve kenmerken als volgt zijn: frequent gebruik van minder rijpe procedures; veel fouten in de procedures; en moeilijkheden met de volgorde van veel stappen in complexe procedures. Het derde type heeft problemen in het visueel-ruimtelijke aspect met als cognitieve kenmerken: moeite om ruimtelijk goed de numerieke informatie weer te geven; het verkeerd interpreteren van de ruimtelijke weergave van numerieke informatie; en het later mogelijk problemen hebben in ruimtelijk denken. De kennis van de neurologische aspecten van rekenstoornissen is nog beperkt. Een kenmerk dat rekenstoornissen definieert zijn de problemen met het oproepen van basale informatie uit het langetermijngeheugen. Dit lijkt voort te komen uit algemene problemen met het representeren van informatie in of het oproepen van informatie uit het fonologisch en semantisch geheugen, en problemen met het inhiberen of tegenhouden van onbelangrijke informatie. Het is nog onduidelijk wat de relatie is tussen problemen en hersendysfunsties, wat de oorzaak is en wat het gevolg.

5. Inhoud van het rekenonderwijs

In het rekenonderwijs spelen drie factoren een rol, ook wel de didactische driehoek genoemd: de leerling, de vorm en inhoud van instructie door de leerkracht, en de vorm en inhoud van de leerstof. Het realistisch rekenen legt de nadruk op zelfontdekkend leren, wat de grootste verantwoordelijkheid bij de leerling legt. Voor zwakke leerlingen werkt een sturende en expliciete instructiestijl beter, waarbij de leerkracht het leerproces leidt. Een andere mogelijkheid voor zwakke leerlingen is dat de realistische instructie wordt aangepast aan de instructiebehoeften van de kinderen. In beide gevallen gelden de kerndoelen van het onderwijs gelden als richtsnoer. De kerndoelen voor rekenen garanderen dat alle kinderen dezelfde stof krijgen. De doelen zijn verder uitgewerkt in tussendoelen en leerlijnen. Er zijn verschillen in de tussendoelen en leerlijnen tussen Nederland en Vlaanderen. Hier worden ze uitgewerkt zoals ze in Nederland zijn.

Verschaffel noemt een aantal punten die zijn veranderd in de richting van het realistisch rekenen in Vlaanderen. De eerste is: dat de nadruk ligt op wiskunde als activiteit, er is een band met de realiteit, er is samenhang tussen de onderdelen van wiskunde en er tussen de andere leergebieden. Het tweede punt is dat er naast gestructureerde kennis en vaardigheden ook het gebruik ervan in reële toepassingsgebieden, en de wiskundetaal kunnen gebruiken om met anderen te communiceren. Het derde punt is dat er een afwezigheid is van verwijzing naar begrippen en termen. Het laatste punt is dat er wel aandacht is voor een veelzijdige opvulling van de wiskundige begrippen waarmee er wordt aangesloten bij recente internationale ontwikkelingen op rekenvlak.

Groep 1 en 2

Voordat kinderen naar school gaan hebben ze al ervaring opgedaan met getallen en hoeveelheidbegrippen, wat ook wel ontluikende gecijferdheid wordt genoemd. Dit is het proces van grotendeels op eigen kracht langzaamaan meer besef krijgen van de verschillende betekenissen en gebruikswijzen van getallen en de samenhang ertussen. Denk aan de veranderde kijkhouding van baby’s als er een ander aantal na herhaling wordt aangeboden. Het doel is dat kinderen aan het einde van groep 2 tenminste tot tien kunnen tellen. Ook moeten ze kunnen schatten, ordenen, vergelijken, bepalen van aantallen en bij eenvoudige erbij en eraf situaties de getallen tot tien kunnen gebruiken. De leerlijn gaat van het kennen van de telrij naar het contextgebonden tellen, naar het object gebonden tellen en rekenen uiteindelijk naar het niveau van het pure tellen en rekenen.

Het kunnen opzeggen van de telrij ontwikkelt zich eerder dan het resultatief tellen. Dit betekent dat jonge kinderen niet weten dat het tellen betekenisvol is of antwoord geeft op een hoeveelheidvraag. Als synchroon tellen betekenisvol wordt dan is er sprake van contextgebonden tellen en rekenen. Door de context naar de achtergrond te verplaatsen ontstaat de overgang naar objectgebonden tellen. Dit is het begrijpen van directe hoeveelheidvragen als er concrete objecten betrokken zijn. Daarnaast kan er voor een passende strategie worden gekozen. Dit elementair getalbegrip is te stimuleren door spontane en geplande activiteiten.

Groep 3

Het rekenen in deze groep is gericht op rekenen tot 20, waarbij er aandacht is voor de getallen en operaties ermee. Kinderen moeten de telrij tot 20 kunnen opzeggen en daaronder vanaf elk getal kunnen door en terugtellen. Ook het contextualiseren door getallen een reële betekenis te geven en het plaatsen van de getallen op een getallenlijn, moeten ze kunnen. Het optellen en aftrekken tot 20 moet vlot, gestructureerd en uiteindelijk ook mentaal met gekende rekenfeiten in een elementaire contextsituatie kunnen worden uitgevoerd. Er wordt verwacht dat kinderen in groep 3 de rekentaal begrijpen en kunnen gebruiken. Er zijn drie niveaus in het uitvoeren van rekenoperaties: tellend rekenen, niet tellend- structurerend rekenen en mentaal rekenen. Bij het tellend rekenen is er waar mogelijk ondersteuning mogelijk met materiaal. In het vingerrekenen ligt een vijfstructuur besloten. Hierna volgt het structurerend rekenen met behulp van bijvoorbeeld een rekenrek. Bij het structurerend rekenen wordt er gebruik gemaakt van de structuur van getallen (vijfstructuur of het dubbelen als 4+4) waardoor er niet meer tellend wordt opgelost. Mentaal rekenen is het einddoel, waarbij er flexibel gerekend kan worden zonder hulp van gestructureerd materiaal. In deze drie niveaus is de trapsgewijze opbouw van de handelingsleerpsychologie zoals voorgesteld door Gal’perin terug te zien.

Groep 4

Het doel is dat kinderen in groep 4 de telrij tot 110 kunnen opzeggen, vanaf elk getal kunnen door en terugtellen, positioneren van getallen op een lege getallenlijn, structureren in tientallen en eenheden en kunnen contextualiseren in zinvolle situaties. Daarnaast wordt ook delen en vermenigvuldigen geoefend. In het langetermijngeheugen moeten optellingen en aftrekkingen tot tien kunnen worden opgeroepen. Voor sommen tot twintig kan nog een mentale tussenstap worden gebruikt. Bij de overgang van tellend naar structurerend is het rekenen met tiensprongen belangrijk. Bij het gaan van structurerend naar mentaal rekenen is het belangrijk dat modellen worden losgelaten en het gebruiken van eigenschappen van getallen en bewerkingen. Dit is te stimuleren door de tel en sprongbewegingen op de getallenlijn op te schrijven in een formele rekentaal en minder te visualiseren. Concrete modellen worden abstracte, mentale modellen en rekenhandelingen verinnerlijken en gaan automatisch. Kinderen moeten een vermenigvuldiging kunnen herkennen en met hulp van het rechthoekmodel de verdeeleigenschap en de verwisseleigenschap van vermenigvuldigen herkennen. Ze moeten de tafels van 2,5 en 10 uit het hoofd kennen. Tellend vermenigvuldigen is het herhaald optellend oplossen van een opgave. Structurerend vermenigvuldigen is het niet meer stap voor stap wordt opgelost, maar er een bekende vermenigvuldiging als tussenstap wordt gebruikt. Er wordt geoefend met het uit het hoofd leren van de andere tafels, wat mentaal vermenigvuldigen wordt genoemd. Het delen wordt behandeld, waarbij kinderen de sommen kunnen oplossen met herhaald optellen, herhaald aftrekken of schattend vermenigvuldigen. De doelen van de groepen 3, 4 en 5 zijn niet strikt.

Groep 5 tot en met 8

Aan hete einde van groep 8 moeten de kerndoelen zijn behaald, die verdeeld zijn in twaalf leerlijnen. Het kerndoel/domein getallen en bewerkingen omvat vijf leerlijnen: getallen en getalrelaties, hoofdrekenen, schattend rekenen, cijferend rekenen en rekenen met de zakrekenmachine. In het kerndoel meten en meetkunde zitten vier leerlijnen: meten, meetkunde, tijd en geld. Het kerndoel verhoudingen, breuken en procenten bevat drie leerlijnen: verhoudingen, breuken, en procenten.

Rekenwiskundemethoden

Rekenwiskundemethoden moeten voldoen aan voorgeschreven kerndoelen en dezelfde inhoudelijke leerlijnen. Hierdoor is er in de didactiek veel overeenstemming, gebaseerd op de realistische rekenwiskundedidactiek binnen een constructivistisch kader. De uitgangspunten zijn: contextrijk onderwijs, gebruik van schema’s en modellen, inbreng van leerlingen, een interactieve werkwijze en aandacht voor samenhang tussen de leerstofgebieden. Er zijn echter ook verschillen in vorm, indeling, inhoud en didactiek tussen methoden. Elke methoden heeft zijn eigen sterke en zwakke kanten. In de Periodieke Peilingen van het Onderwijs Niveau (PPON) wordt onderzoek naar de effectiviteit gedaan. De nieuwere realistische rekenwiskundemethoden komen daarbij met betere resultaten naar voren.

Rekenmethoden bij rekenzwakke kinderen

In het speciaal basisonderwijs blijken de kinderen aan het einde geen hoger niveau te hebben dan kinderen van ene reguliere school van groep 6. De getallen in het gebied tot 100 zijn nog niet goed georganiseerd en geautomatiseerd. Er zijn problemen in het aftrekken die mogelijk worden veroorzaakt door gebrekkig begrip, gebrekkige kennis en beperkt inzicht. Of het kan zijn dat de verschillende tussenstappen te moeilijk zijn om te onthouden in het kortetermijngeheugen. Kinderen in het speciaal onderwijs kunnen de tafels tot 10 onvoldoende reproduceren, kunnen de relaties tussen optellen en vermenigvuldigen en vermenigvuldigen en delen niet doorzien. Op het domein meten komen de kinderen wel tot globale vaardigheden met klokkijken en geld, maar het meten en meetkunde is zwak ontwikkeld. Uit PPON-onderzoek komt naar voren dat rekenzwakke kinderen meer behoefte hebben aan structurering van het leerproces en een didactiek die hen op het spoor zet en houdt in plaats van zelf ontdekken zoals in het realistisch rekenonderwijs het geval is. Er wordt gekeken naar twaalf en dertienjarigen die het speciaal onderwijs verlaten. Kinderen van scholen voor moeilijk lerende kinderen (MLK) komen tot een niveau wat vergelijkbaar is met groep 4 in het reguliere basisonderwijs. Alleen met tijd en geld benaderen ze groep 5 niveau. Kinderen met leer en opvoedingsmoeilijkheden (LOM) komen met twaalf jaar tot niveau 5 en dertienjarigen komen tot niveau van groep 6.

Naast meer structuur hebben rekenzwakke kinderen behoefte aan het bewust aanleren van verschillende deelvaardigheden, aan het ondersteunen van leermotivatie en zelfconcept. Door minder talige capaciteiten zal het moeilijker zijn voor deze kinderen om interactieve instructie te volgen. Het gebruik van modellen en schema’s zou kunnen veel worden gebruikt bij deze kinderen. Ook hebben ze meer effectieve leertijd nodig. De realistische rekenmethode zou voor rekenzwakke kinderen op een aantal punten moeten worden aangepast.

Algemene didactische principes

Vooral effectief blijken adaptief onderwijs en differentiatie. Er zijn door Houtveen en Booij (1994) drie dimensies in adaptief onderwijsgedrag: het pedagogisch handelen van de leerkracht, algemene didactische en organisatorische vaardigheden, en didactische en organisatorische vaardigheden die betrekkingen hebben op het omgaan met verschillen tussen leerlingen. Het pedagogisch handelen is de interactie tussen leerkracht en leerling, waarmee gevoelens van competentie en zelfvertrouwen bevorderd moeten worden. Daarnaast wordt de zelfstandigheid van de kinderen zo verbeterd. De algemene didactische en organisatorische vaardigheden hebben drie kanten: het is effectief voor strategisch handelen/expliciete instructie; goede organisatie van de instructie zodat weinig tijd verloren gaat; afstemming van de moeilijkheidsgraad op het leertempo van de leerling. Het omgaan met verschillen is het afstemmen van instructie op de behoeften door differentiatie en planmatig handelen. Planmatig handelen is dat leerkrachten problemen vroegtijdig signaleren en adequaat reageren. Van Zoelen en Houtveen (2000) hebben om de effectiviteit van adaptief onderwijs te meten de dimensies als volgt uitgewerkt: mate van planmatig handelen, mate van werken volgens het instructiemodel voor strategisch handelen bij rekenwiskunde, hoeveelheid instructietijd, kwaliteit van de organisatie van het onderwijsleerproces, kwaliteit van het pedagogisch functioneren met betrekking tot het bevorderen van een zelfstandige houding en het vergroten van zelfvertrouwen en competentiegevoel van de kinderen. Deze variabelen zijn algemene didactische principes die belangrijk zijn voor een optimaal reken en wiskundeonderwijs voor gemiddelde en zwakke leerlingen.

Planmatig handelen heeft als doel om uitval van kinderen met problemen te voorkomen, ook wel preventieve zorgverbreding. Instructies worden afgestemd op de leerprestaties van het kind. Op basis daarvan kunnen extra activiteiten worden gepland. Dit wordt vastgelegd in planningsdocumenten (tweede kenmerk). Er is sprake van een cyclisch karakter (derde kenmerk). Er is een model met vijf fasen voor planmatig handelen: kiezen van observatie en toetsingsinstrumenten en weergeven en signaleren van problemen; in de tweede en derde fase worden problemen geanalyseerd en oplossingen voorbereid; in de vierde en vijfde fase worden de gekozen oplossingen toegepast en geëvalueerd.

Strategisch handelen heeft het doel om impliciete vaardigheden of higher-level cognitve strategies aan te leren. Het verloopt niet altijd volgens een vast schema en het leidt niet recht naar een eindproduct. Het proces is belangrijker dan het product. Het gaat om de strategie die wordt ontwikkeld. Het bestaat uit de volgende fasen: dagelijkse terugblik, presentatie, begeleide oefening, individuele verwerking, periodieke terugblik, en terugkoppeling. Er is sprake van directe instructie, waarbij de leerkracht een belangrijke rol heeft in het structureren, ordenen en doceren van de stof. Scaffolding is belangrijk. Het is het steun krijgen van de leerling bij het volbrengen van taken die zonder hulp net te moeilijk zouden zijn. Dit is het aanspreken van de zone van naaste ontwikkeling van Vygotsky. In ieder geval in het begin van het proces is het sturend. De vraag is of dit past bij het realistisch rekenen wat meer banend is. Overeenkomsten zijn het werken met scaffolds en het benadrukken van zelfregulatie, het hardop voordoen van het denkproces, gebruiken van visuele schema’s en het denkproces laten verwoorden. Het model van strategisch handelen is geen vast patroon.

Instructietijd en veel instructie zijn belangrijk bij een rekenles. De hoeveelheid instructietijd hangt positief samen met de leerprestaties.

Organisatie van het onderwijsleerproces houdt in dat er de mogelijkheid wordt geboden zelf het leergedrag te sturen en te organiseren wat bijdraagt tot succes. Dit houdt in het zorgen voor een exploratieve omgeving door voldoende materiaal wat goed geordend en bereikbaar is voor de leerlingen. Belangrijk is dat er afspraken zijn wat er per dagdeel aan de orde komt en een systeem waarin wordt bijgehouden wie met welk materiaal kan werken.

Pedagogisch functioneren is het vergroten van de gevoelens van competentie en zelfvertrouwen en het bevorderen van een zelfstandige leerhouding. Het kind beoordeelt zelf op basis van zijn resultaat of er sprake is van slagen of falen. Niet alleen het resultaat maar ook de verklaring (attributie) is van invloed op het zelfvertrouwen. Het positieve resultaat kan worden toegeschreven aan interne factoren (inzet, bekwaamheid) en aan externe factoren (geluk, toeval). Bij een toeschrijving aan interne factoren zal het zelfvertrouwen groeien. De leerkracht kan het pedagogisch functioneren bereiken met responsieve instructie, wat inhoudt dat er een goede afstemming is tussen de taak op de individuele leerling, positieve feedback en laten vertrouwen dat de leerling de taak aankan. Het is belangrijk om positieve resultaten toe te schrijven aan het eigen kunnen van het kind. Zwakke kinderen hebben meer feedback over hun vorderingen nodig dan goede leerlingen.

Vakspecifieke didactische principes

De realistisch rekenwiskundedidactiek moet op een aantal punten aangepast worden voor rekenzwakke kinderen. Zelfinstructie voor deze kinderen is effectief. Dit betekent dat ze leren via een standaardprocedure om zelf de verschillende stappen te nemen in het oplossen van een opgave. Bij het leren van basisvaardigheden is het echter nodig om een duidelijk gestructureerde directe instructie te geven. Zelfinstructie en directe instructie zijn beiden effectiever dan de banende instructie in het realistisch rekenonderwijs. Voor zwakke leerlingen is het schoolverbeteringsproject Kwaliteitversterking Rekenen en Wiskunde uitgevoerd om het realistische rekenen te versterken. Het model van strategisch handelen vormde het uitgangspunt met de volgende vakspecifieke didactische principes: grondige voorbereiding van het formele rekenen, uitgaan van contexten, nadruk op handelen, onder woorden brengen, gebruik van modellen en schema’s, beperkte omvang van leerstof en extra aandacht voor het automatiseren van sommen.

De grondige voorbereiding houdt in dat er inzicht in getallen is voordat er met bewerkingen wordt begonnen. Uitgaan van contexten wil zeggen dat er moet worden uitgegaan van voor hen herkenbare situaties gebruikmakend van handelingen en materialen die hen aanspreken. Het leren rekenen is een proces dat gebaseerd op concrete handelingen met onderwijs ontwikkelt tot denkhandelingen. De ontwikkeling van concreet of materieel naar mentaal gaat door het verwoorden van handelingen. Het bestaat uit het geven van feedback op elkaars ideeën, het stellen van vragen aan elkaar, en het samen bedenken van argumenten. De nadruk ligt op interactie tussen leerlingen en tussen leerling en leerkracht. Het gebruiken van modellen heeft een brugfunctie naar het gebruik van contexten en kale rekensommen. Progressief schematiseren is het oplossen van een moeilijke opgave door een eenvoudige manier van schematiseren. De leerkracht gaat dan samen met leerling een handigere aanpak en kortere notering bespreken. Door de modellen kan een ervaring gestructureerd worden. Door de omvang van de stof te beperken kan er efficiënter gebruik worden gemaakt van geheugenopslag en van het kennisbestand. De vraag is dan of alle kerndoelen worden behaald. Er zijn daarom minimumdoelen opgesteld vanuit het haalbare van de didactiek en de capaciteiten van het kind. Het beheersen van basisbewerkingen onder de honderd, geldrekenen, omgaan met tijd en klok, meten en wegen, en het automatiseren behoren tot deze doelen. Extra aandacht voor het automatiseren van sommen is belangrijk voor het leren van vaardigheden op een hoger niveau.

6. Voorbereidende rekenvaardigheid en rekenproblemen

Het in de dagelijkse praktijk leren van ervaringen met getallen wordt incidenteel leren genoemd wat leidt tot informele kennis. Dit is kennis die zonder doelbewust onderwijs tot stand is gekomen. Formele kennis komt tot stand door min of meer gericht onderwijs of intentioneel leren.

Kleuters en getallen

De rekenvaardigheden die kinderen tot zeven jaar zich eigen maken worden beschreven. De begrippen getalbegrip, voorbereidende rekenvaardigheid, en ontluikende gecijferdheid worden als synoniem gebruikt. Getalbegrip hebben betekent dat men zich bewust is dat een getal meerdere betekenissen of functies kan hebben, zoals een kardinaal aspect (aanduiding van het aantal), als ordinaal aspect (telgetal), als meetaspect (meetgetal), als coderingsgetal (getal als naam of label), en als relationeel aspect (verband tussen de verschillende getallen). Ver voor een kind het onderwijs ingaat is er al getalgevoeligheid. Dit kan ook bij volwassenen een rol spelen, bij het makkelijk omgaan met getallen of snel schatten of omrekenen van prijzen. Zeer jonge kinderen reageren onbewust op kleine hoeveelheden. Peuters zijn zich bewust van hoeveelheden en kunnen enigszins aantallen benoemen. Ze kunnen een kleine hoeveelheid (tot vier) in een keer herkennen zonder te tellen, wat ook wel subiteren (subiet betekent direct) wordt genoemd. Bij het tellen van de vingers van de hand weet een kleuter: dat een getal verwijst naar een verzameling als geheel; dat de volgorde van tellen geen invloed heeft op de hoeveelheid; dat de voorwerpen niet identiek hoeven te zijn; dat het niet uitmaakt of de voorwerpen in een rij liggen of chaotisch door elkaar; dat getallen betrekking hebben op de absolute hoeveelheid; en dat een telgetal een eigen plaats in de getallenrij heeft. Vanaf vier jaar komen de voorbereidende rekenvaardigheden tot ontwikkeling en wordt er voorbereid op het rekenen in groep 3 en 4. Dit maakt de overgang van groep 2 naar groep 3 waar meer formeel rekenonderwijs is, makkelijker. Er zijn meerdere deelvaardigheden te onderscheiden: de meer traditionele rekenvoorwaarden en de telvaardigheden. Een goed voorbereidende rekenvaardigheid is als ze de deelvaardigheden beheersen. De traditionele rekenvoorwaarden zijn de kenmerken van het logisch leren denken naar Piaget: conserveren, classificeren, corresponderen en seriëren. Deze voorwaarden worden gezien als voorwaarde voor het ontstaan van getalbegrip en dus als rekenvoorwaarde. Vanaf vijf jaar kunnen kinderen makkelijke conservatie-van-aantal taken goed oplossen. Ook kunnen ze dan corresponderen van hoeveelheden en seriëren. Het kunnen oplossen van andere conservatie taken komt vanaf zes jaar, evenals het classificeren.

De voorwaarden zijn geen noodzakelijke voorwaarde voor getalbegrip. Goed getalbegrip is voornamelijk afhankelijk van inzicht in het begrip eenheid, wat inhoudt dat er een gekozen maat is in relatie tot de te meten hoeveelheid. Getallen zijn relatief en een eenheid kan worden samengesteld uit meerdere eenheden. Van Erp geeft aan dat er in principe drie aspecten zitten aan het meten: de hoeveelheid (wat er wordt gemeten), de maat (waarmee wordt gemeten) en het aantal meethandelingen (hoe vaak er wordt gemeten). Pas als deze aspecten bereikt zijn, dan is er sprake van getalbegrip. Tellen is ook een belangrijke voorwaarde voor getalbegrip. In het leren tellen zijn verschillende elkaar opvolgende fasen te zien. Eerst het herkennen van hoeveelheid gevolg door subiteren. De tweede fase is het akoestisch tellen is de tweede fase. Dit is het tellen waarbij de juiste volgorde van de telrij nog niet wordt aangehouden en het tellen wordt niet altijd begonnen met het getal één. In de derde fase gaan kinderen van ongeveer vier jaar daadwerkelijk tellen. Asynchroon tellen is het aanwijzen van meerdere voorwerpen of overslaan van voorwerpen, nog niet wetend dat bij één object één telwoord hoort. Bij synchroon tellen wordt er gelijktijdig geteld en objecten aangewezen. Dan komt de fase van het ordenen van voorwerpen tijdens het tellen, dit wordt ook wel structurerend tellen genoemd. Vanaf vijf jaar kunnen kinderen resultatief tellen, waarbij ze weten dat ze bij één moeten beginnen met tellen, elk voorwerp maar één keer mag tellen en dat het laatste telwoord de hoeveelheid aangeeft. Elementair getalbegrip is dat daarnaast bekend is bij het kind dat de getallen serieel geordend zijn en opeenvolgende getallen steeds grotere hoeveelheden aangeven. Door meer ervaringen ontstaat het besef van kortere manieren om hoeveelheden te bepalen, het resultatief verkort tellen. Er is dan een duidelijk beeld van de getallenrij, hoe getallen aan elkaar gerelateerd zijn en ze kunnen deel-geheel relaties leggen. Vanaf drie jaar is er een gelijktijdige ontwikkeling van tellen en andere rekenvoorwaarden. Van der Rijt onderscheidt acht aspecten van voorbereidende rekenvaardigheid: vergelijken, classificeren (groeperen van objecten), correspondentie leggen (één op één relaties leggen), seriëren (ordenen), telwoorden gebruiken, gestructureerd tellen, resultatief tellen en toepassen van algemene kennis van getallen (gebruiken van getallen tot twintig).

Kinderen met een Turkse en Marokkaanse achtergrond hebben in Nederland en in aangrenzende landen een onderwijsachterstand. Om deze achterstand tegen te gaan wordt er voornamelijk op talig gebied ingezet. Meer aandacht aan rekenvaardigheid zou gunstig zijn. Een vroege onderkenning vraagt om systematische signalering en toetsing. Veel problemen beginnen al in de kleuterperiode. Het signaleren kan met de Utrechtse Getalbegrip Toets. Er zijn twee vormen, A en B, van de toets met bij elk van de acht onderdelen 40 items. Uit de score op de UGT komt een vaardigheidsscore, die de mate van ontwikkeling voorbereidende rekenvaardigheid aangeven. Een hoge score wijst dan op een hoge mate van beheersing. De vaardigheidsscore kan worden omgezet in niveau-aanduidingen: niveau A is goed tot zeer goed; niveau B is ruim voldoende tot goed; niveau C is matig tot ruim voldoende; niveau D is zwak tot matig; en niveau E is zeer zwak tot zwak.

Er is aandacht voor individuele verschillen en adaptief onderwijs, maar een gerichte interventie vindt voornamelijk pas plaats vanaf groep 3. Er blijken enkele programma’s te zijn voor jongere kinderen, maar slechts een beperkt aantal leraren maakt hier systematisch gebruik van. Een voorbeeld van een programma is Rekenhulp Kleuters om de onderlinge relaties van vaardigheden kunnen ontdekken en toepassen. Dit programma heeft een positief effect op de ontwikkeling van voorbereidende rekenvaardigheid zowel direct als zeven maanden later in vergelijking met kinderen die een reguliere methode hebben gehad. Een hoge score op de UGT is in samenhang met een relatief hoge score op de CITO.

Van Parreren noemt een aantal voor en nadelen van banende en sturende instructie. Sturende instructie biedt meer garantie voor het bereiken van leerresultaten. Bij banende instructie is er het risico dat leerlingen lang met verkeerde of onvolledige ideeën over de oplossingsstrategie van de opdracht blijven zitten. Een voordeel van banende instructie is dat kinderen een meer open instelling krijgen en meer creatieve oplossingen bedenken. Daarnaast laat deze vorm van instructie meer ruimte voor eigen stijl en eigen inbreng van werken. Als laatste kan deze instructie zorgen voor het opdoen van ervaringen die niet gelijk formuleerbaar zijn. Kinderen die zwakker zijn in het leren raken ontmoedigd door banend instructie. Er is nog geen eenduidige opvatting over de voor en nadelen, het hangt af van meerdere factoren welke instructie beter is. Bij kinderen met rekenproblemen geeft een sturende instructie door de compleetheid van de instructie houvast en mogelijkheden om zelf dingen te doen.

7. Rekenvaardigheden en rekenproblemen in de basisschoolperiode

Procedurele of declaratieve kennis of een combinatie van beide is nodig om sommen op te lossen. Als de informatie in het langetermijngeheugen zit als rekenfeit dan kan het snel worden opgehaald. Een telprocedure kost meer tijd, er kan sneller een procedurefout worden gemaakt en er is een belasting van het werkgeheugen. Als de informatie uit het langetermijngeheugen wordt gehaald (retrieval), dan is hier geen sprake van. Wanneer er moeilijke problemen moeten worden opgelost dan kost dit veel werkgeheugen capaciteit bij de uitvoering en dan is het belangrijk dat er geen extra capaciteit wordt gebruikt. Bij kinderen met rekenproblemen en dyscalculie zijn er vaak problemen met het automatiseren (memoriseren) van rekenfeiten.

Bekend over automatisering?

De antwoordtijd bij optelsommen tot 20 neemt toe wanneer de grootte van de getallen toeneemt. Het gaat dan vooral om de grootte van het bijtelgetal (addend) dat wordt opgeteld bij het andere getal (augend). Dit heet het som-grootte effect, oftewel problem size effect. Elke stap in een optelprocedure kost vier- tot vijfhonderd bij volwassenen en vijf- tot zevenhonderd milliseconden bij kinderen. In de totale antwoordtijd zit ook nog een vaste tijd van één tot twee seconden die niet afhankelijk zijn van de telstappen, bijvoorbeeld voor het lezen van de som. Het som-grootte effect vindt ook plaats bij geoefende rekenaars, waarbij het effect dan echter veel kleiner is (20 tot 30 milliseconden per eenheid). Uit onderzoek blijkt dat er toch sprake is van een verkort telmechanisme in het geautomatiseerde systeem, waardoor er een somgrootte effect is. Een andere veronderstelling is dat voor rekenfeiten hetzelfde geldt als voor de herkenningssnelheid bij woorden. Dat heet het frequentie-effect. Dit houdt in dat frequent voorkomende woorden of rekenfeiten sneller worden herkend dan weinig voorkomende woorden of rekenfeiten. Het blijkt dat er in de didactische opvatting eerst veel met kleine getallen moet worden geoefend om de principes te leren, waardoor kleine getallen sneller worden herkend en verwerkt. De vraag blijft of er sprake is van een causale relatie tussen som-grootte effect en frequentieverklaring. Het som-grootte effect kan zowel worden verklaard door de frequentie als het gebruik van telprocedures.

Over automaticiteit kan gezegd worden dat rekenfeiten associatief zijn opgeslagen. Als opgaven vaker zijn opgelost dan hebben ze een hoge associatieve sterkte, wat zich uit in een korte antwoordtijd. Herhaling moet dus een groot deel zijn in het rekenprogramma. Siegler heeft een model wat voortbouwt op de associationistische zienswijze, het Distributions of Associations model. De eerste formulering bestaat uit twee componenten. De eerste is een kennisrepresentatie in termen van associatiesterkte van som en antwoord. Dit houdt in dat een som een aantal antwoorden als associatie heeft. De associatieve sterkte bepaalt of het antwoord uit het langetermijn geheugen wordt opgehaald. De informatie die uit het geheugen wordt opgehaald hoeft niet perse het antwoord te zijn dat gegeven wordt. Het Distribution of Associations model heeft een zekerheidscriterium. Alleen als de sterkte van het antwoord (de associatieve sterkte) het criterium overschrijdt, dan wordt dit antwoord gegeven. Als het criterium niet wordt overschat, dan wordt er een nieuw antwoord uit het geheugen gehaald. Als er dan niet wordt voldaan aan het criterium dan kan er terug worden gevallen op een bufferstrategie (backup strategy) door hulpbronnen te gebruiken of een vorm van tellen. Het is een lerend model, waarbij bij een fout antwoord helaas een sterkere associatie tussen de som en het foute antwoord zal ontstaan. Siegler en Jenkins (1989) hebben computersimulaties gedaan met het model, wat de fouten, oplossingstijden en strategiekeuze van kinderen goed nadoet. Deze simulatie verklaart de instabiliteit en de strategiekeuze wat in de praktijk en in onderzoek wordt gevonden. De instabiliteit wordt veroorzaakt door variaties in de ingestelde waarde van het zekerheidscriterium en het maximum aantal zoekpogingen. Door het leerproces wordt het juiste antwoord qua associatie sterker en neemt de invloed van de twee ingestelde parameters af. Siegler en Shipley (1995) hebben hun model aangepast in het Adaptive Strategy Choice Model (ASCM), omdat in het vorige model het leerproces niet voldoende werd meegenomen. Het nieuwe model slaat ook informatie op over hoe effectief de strategie in het algemeen is en voor opgaven met dezelfde kenmerken als de gemaakte opgave. Ook wordt er rekening gehouden met toename van snelheid en correctheid van strategieën. Het beschikbaar hebben van verschillende strategieën lijkt een positief verband te houden met latere leerprestaties. Dit model heeft als didactische implicatie dat fouten zoveel mogelijk moeten worden vermeden. Het stimuleren van snel uit het hoofd rekenen maakt de kans groter dat er een verkeerde koppeling wordt gemaakt.

Baroody (1999) laat in zijn onderzoek naar voren komen dat Sieglers theorie niet klopt, wat blijkt uit andere foute antwoorden die kinderen geven na de training. Dit zou volgens het Distributions of Associations model niet kunnen gebeuren. Volgens Baroody schatten kinderen eerst het antwoord op basis van inzicht in getalrelaties. Door een groeiend inzicht en niet door het automatisch ophalen van het antwoord.

Priming onderzoeken hebben aangetoond dat rekenfeiten automatisch uit het langetermijngeheugen worden gehaald. Er wordt dan nagegaan wanneer een prime (in dit geval een getal of opgave) automatisch en onbewust invloed heeft op een volgende rekenopgave. Dit lijkt erop te wijzen dat rekenfeiten zijn opgeslagen in neurale netwerken van knopen. De knopen staan voor getallen, operaties en antwoorden. Als een knoop wordt geactiveerd dan volgt er een spreiding van activatie door het netwerk. Campbell (1987) heeft onderzoek gedaan naar priming. Hij noemt het error-priming effect, wat inhoudt dat de gemaakte fout en de antwoordtijd bij een vermenigvuldigopgave beïnvloedt worden door een voorafgaande opgave van dezelfde tafel. Als er geen fout wordt gemaakt dan wordt de antwoordtijd vertraagd, doordat het juiste en foute antwoord worden vergeleken. Ook ander onderzoeken hebben aanwijzingen voor een associatief netwerk gevonden.

Ander onderzoek kijkt naar de verschillen tussen optel en vermenigvuldigopgaven. Bij dit onderzoek wordt er kort voor of na de som het operatieteken (+ of x) kort getoond. Alleen als het optelteken voor de som wordt getoond, dan is de reactietijd korter. Het plusteken heeft een priming effect voor telprocedures. Bij vermenigvuldigen wordt de kennis uit het geheugen gehaald. Hierbij is het werken met het associatieve netwerk efficiënter dan het gebruiken van een procedure. Ook neuropsychologisch onderzoek lijkt dit uit te wijzen. Hieruit blijkt dat vermenigvuldigen net als verbale verwerking plaatsvindt in het langetermijngeheugen en dat aftrekopgaven door procedures worden uitgerekend. Optelsommen worden gemaakt door het ophalen van rekenfeiten uit het associatieve netwerk.

Zowel bij jonge als oude rekenaars komen geautomatiseerde telprocedures bij optellen voor. Dit staaft de kritiek van Baroody op het model van Distributions of Associations, maar de spreiding van activatie naar de som of het product kan er niet goed mee worden verklaard. Priming-experimenten tonen aan dat bij het vermenigvuldigen het mest een associatief netwerk aanwezig is wat zorgt voor een automatisch antwoord. Voor de automaticiteit is oefening nodig.

Problemen bij automatiseren

Er is door Geary en collega’s (1992) onderzoek gedaan naar automatiseringsproblemen bij kinderen met rekenproblemen. Dit onderzoek bevestigd dat zelfs bij langdurige hulp aan deze kinderen het beantwoorden van eenvoudige optelopgaven tot 20 moeilijk te automatiseren is. In het onderzoek krijgen de kinderen met rekenproblemen in groep 3 en 4 een jaar lang remediele ondersteuning van 20 minuten per dag en vijf dagen per week. De miniprocedure of minstrategie wordt gebruikt, wat een doortelprocedure is waar de kleinste van de twee getallen van een optelsom bij de grootste wordt opgeteld. Dit is makkelijker dan het grootste getal bij de kleinere te tellen (maxprocedure) of alles op te tellen (somprocedure). Ongeveer de helft van de kinderen ging beter rekenen op een algemene rekenprestatietest. Opvallend is dat kinderen zonder rekenproblemen een strenger zekerheidscriterium kiezen en bij opgaven met een lagere associatieve waarde vallen ze terug op tellen als bufferstategie. Bij kinderen met problemen is deze relatie tussen somgrootte en strategiekeuzen niet of minder terug te zien, ze lijken meer te gokken waarbij ze een minder streng zekerheidscriterium hebben en geen veilige bufferstrategie.

De verklaring voor het minder automatiseren lijkt te zijn dat kinderen met rekenproblemen een beperktere capaciteit van het werkgeheugen hebben, waardoor het telproces wordt vertraagd. Gevolg is dat als ze tellend de oplossing zoeken ze de opgave vergeten zijn en er geen associatie plaatsvindt tussen opgave en antwoord. De oorzaak van het automatiseringsprobleem wordt dan gezocht in het disfunctioneren van cognitieve processen die niet specifiek zijn voor het rekenen. Er is een verband tussen lees en rekenproblemen. Een tweede verband is dat het ophalen van informatie uit het langetermijngeheugen bij leerlingen met rekenproblemen langzamer gaat dan bij kinderen zonder problemen. Het kunnen benoemen van letters en cijfers is een indicatie voor het ophalen van informatie uit het langetermijngeheugen en het hangt samen met de mate van automaticiteit van de reproductie van rekenfeiten en woordherkenning. Er wordt ook over gesproken als de alfanumerieke benoemsnelheid. Kortom is te zeggen dat kinderen met rekenproblemen met vertraging wel automaticiteit behalen door veel herhaling om het associatieve netwerk op te bouwen. Anderen zal dit niet lukken mogelijk door deficiënte cognitieve processen die ook bij leesproblemen een rol spelen.

Trainen van automatiseren

Om kinderen met rekenproblemen te leren automatiseren is er dan pure herhaling nodig? Bij optelsommen tot de tien zijn er 66 opgaven mogelijk. De sommen van X+0 hoeven niet uit het hoofd geleerd te worden omdat ze door inzicht te beantwoorden zijn. Voor de sommen X+1 volstaat kennis van de telrij. Naast deze oplossingsmethoden kunnen antwoorden ook afgeleid worden uit reeds geleerde rekenfeiten, ook wel afgeleide feiten genoemd. Op basis van het principe van commutativiteit (verwisselbaarheid) kunnen er twintig sommen worden opgelost (x+y=y+x). Dubbelen (bijv. 2+2) zijn vaak sterk geautomatiseerd, waardoor ook de sommen van dubbele +1 eenvoudig opgelost kunnen worden. Met een compensatie of gelijkmakingstrategie kunnen sommen met twee verschillende gegeven getallen (5+3) worden opgelost door de twee getallen gelijk te maken. Ook bij opgaven tussen de 10 en 20 reducties als deze mogelijk, waarbij bijvoorbeeld de vijf (eerst 5+5 oplossen en dan rest van som) of tienstructuur (eerst som tot 10 optellen en dan de rest) gebruikt kan worden.

Als rekenfeiten minder uit het hoofd worden geleerd, heeft dit als gevolg dat er meer rekenregels bekend moeten zijn, moet weten wanneer ze toepasbaar zijn en hoe ze toe te passen zijn. In een onderzoek van Steinberg naar het aanleren van strategieën voor afgeleide feiten (derived facts strategies) (dubbele+ x, dubbele-x en splitsen tot 10) blijkt dat kinderen zonder rekenproblemen soms de strategieën niet goed begrijpen en hierdoor fouten maken. Kinderen met afgeleide rekenfeiten presteerden beter in het onderzoek dan kinderen die de drill-en-practice groep (alleen maar oefenen). Bij leerlingen met rekenproblemen geeft het positieve resultaten om veelvuldig de minstrategie te gebruiken. Er zijn verder weinig aanwijzingen dat afgeleide rekenfeiten voor kinderen met leerproblemen helpen bij het automatiseren. Bij eenvoudige opgaven helpt het veel herhalen en de doortel(min)strategie hen wel.

Informele rekenkennis, redactierekenen en contexten

De relatie tussen rekenen, taal en lezen is het duidelijkst bij het oplossen van (school)vraagstukken, ook wel redactieopgaven. Deze opgaven kunnen problemen geven, maar ook informele oplossingswijzen bieden. Met het realistisch rekenonderwijs is de redactieopgave minder in gebruik. Er zijn meerdere redenen om aandacht aan redactierekenen te besteden. De eerste reden is dat het onderzoek naar het oplossen van redactieopgaven veel informatie heeft opgeleverd over de informele kennis van het oplossen van kwantitatieve problemen. De tweede reden is dat ze met goed gekozen opgaven en speciale vormen van context in staat zijn om informele rekenhandelingen uit te lokken die helpen bij het rekenonderwijs. Als laatste reden wordt er aangevoerd dat de opgaven ook nog worden gebruikt in het CITO leerlingvolgsysteem.

De redactieopgave of het schoolvraagstuk is eigenlijk een ingeblikte werkelijkheid in verbale vorm. Er wordt een kwantitatief probleem beschreven of voorgesteld zoals deze in het dagelijks leven zich kan voordoen. Bij deze opgaven maakt de oplosser een probleemrepresentatie of een opgave of situatiemodel (volgens Kintsch). Kintsch ziet het oplossen van rekenvragen als het verwerken en begrijpen van tekst waarbij er eerst een logische tekststructuur wordt gevormd. De Corte, Verschaffel en De Win hebben een model gemaakt waarbij het antwoord wordt bereikt door een tekstverwerkingsproces dat tot een ex of interne representatie leidt. De representatie is dan de basis voor het kiezen van een formele rekenstrategie of informele telstrategie. De controlehandelingen geven de mogelijkheid om de juistheid te controleren. Er wordt volgens dit model pas gehandeld nadat er een representatie van het probleem is gemaakt.

Semantische opgavenstructuur en oplossingsstrategieën

De manier waarop een redactieopgave door kinderen wordt gerepresenteerd en opgelost wordt sterk beïnvloedt door de semantische structuur (betekenisstructuur). De drie meest gebruikte semantische categorieën waar redactieopgaven in worden verdeeld zijn: oorzaak-veranderingsopgaven (ov), combinatieopgaven (c), en vergelijkingsopgaven (vg). De oorzaak-veranderingsopgaven gaat het om een beginhoeveelheid, een verandering daarvan en een eindhoeveelheid. De verandering kan een toe of een afname zijn en elke hoeveelheid (begin, verandering en eind) kan de onbekende zijn. Dit betekent dat er zes mogelijke oorzaak-veranderingsopgaven zijn. Kinderen in groep 3 en 4 lossen dit soort sommen door materiaal te tellen op aan de hand van de trial and error methode. De combinatieopgaven zijn sommen die een deel-geheel situatie beschrijven. Het deel of het geheel kan de onbekende zijn. Deze sommen kunnen op dezelfde manier worden opgelost als de oorzaak-veranderingsopgaven met als verschil dat er rekening gehouden moet worden met de chronologie van gebeurtenissen in de opgaven. De vergelijkingsopgaven zijn sommen met drie verzamelingen: een uitgangs- of referentieverzameling, een daarmee te vergelijken verzameling en een verzameling die het verschil tussen beide vormt. Elk van zojuist genoemde kan de onbekend zijn in de som, wat zorgt voor zes typen sommen. De sommen kunnen met materiaal worden opgelost net als de voorgaand beschreven opgaven, maar ook door de referentieverzameling en de vergelijkingsverzameling samen af te beelden. Hierdoor is het verschil gelijk te zien of worden er paren gevormd. Soms wordt als vierde opgaventype de gelijkmakingsopgave onderscheiden (x heeft er 4 en y heeft er 7, hoe kan x er evenveel krijgen als y). Dit is een som die opgelost kan worden door aan te vullen.

De relatie tussen redactieopgave en realiteit is belangrijk door het belang wat deze opgaven in het rekenonderwijs kunnen spelen. Ze hebben een rol als toepassingssituatie en hebben als tweede functie dat het uitlokkers zijn van informele oplossingen die in het basisrekenonderwijs kunnen worden gebruikt. Het opgaventype en de context bepalen welke oplossingsstrategie wordt gebruikt. Een oorbeeld is het busmodel, wat een som is waarbij mensen in en uit een bus stappen, waarbij de situaties concreet worden neergezet en in hokjes de operatietekens staan. Dit wordt progressief schematiseren genoemd.

Problemen bij het oplossen van redactieopgaven

Er kunnen problemen zijn op verschillende momenten in het oplossingsproces, waarbij het reeds begint bij het maken van een representatie van het probleem. De talige vorm van de opgave kan problemen opleveren die niets te maken hebben met andere aspecten van het oplossingsproces. Als woorden of woordcombinaties (samen, ieder, meer dan) niet worden begrepen, dan leidt dit tot een verkeerde probleempresentatie. Als kinderen de som navertellen voordat ze deze oplossen dan is er een grotere kans om weinig fouten te maken. Als ze de som navertellen nadat ze de som hebben gemaakt, dan kan er een verkeerde representatie van de opgave zijn waarbij het foute antwoord past. Problemen kunnen ook ontstaan door een onjuiste symbolische representatie in de vorm van een somnotatie. Dit kan vooral bij moeilijkere sommen een rol gaan spelen, omdat makkelijkere opgaven kunnen worde opgelost door te tellen.

Strategietrainingen

Training van metacognitie en specifieke strategieën

De vaardigheid van het oplossen van redactieopgaven is te trainen en op die manier te verbeteren. Dit kan gericht zijn op het verbeteren van metacognitie of op het leren van een specifieke strategie. Meestal zijn de strategieën een mengvorm met de nadruk op een van beiden. Metacognitie omvat kennis van factoren die het eigen cognitieve presteren beïnvloeden en inzicht in de cognitieve verrichtingen bij het maken van een opdracht en het sturen van de specifieke strategie. Om de metacognitie te versterken worden er voornamelijk algemene vuistregels (heuristiek) aangeleerd om de problemen op te lossen. Deze bevatten vaak de volgende stappen: probleemidentificatie of –omschrijving (wat is het probleem, wat moet ik doen); plannen (hoe pak ik het aan); uitvoering (uitvoeren van strategiestappen); controle of zelfevaluatie (kijken of antwoord past bij de vraag); omgaan met fouten (anders proberen als gedacht wordt dat niet goed is); en zelfbekrachtiging (ik heb het goed aangepakt).

Het tweede soort trainingen gaat om het aanleren van een specifieke strategie bij een bepaalde taak, zoals een probleempresentatie. Vaak worden elementen van beide trainingen in dezelfde training gebruikt. Het aanleren gebeurt door directe instructie en zelfinstructie. Bij het aanleren van een strategie kan er gebruik worden gemaakt van de principes van cognitieve gedragsmodificatie met de nadruk op zelfinstructie en zelfregulatie.

Training van concreet representeren

Er wordt kinderen geleerd om opgaven uit te beelden met concrete objecten en daarbij consistent rekening te houden met de semantische structuur van de opgave. Bij OV-opgaven kan er gebruik worden gemaakt van een toevoegstrategie, waarbij de beginhoeveelheid wordt aangevuld tot de eindhoeveelheid. Bij vergelijkingsopgaven kan er een matchingstrategie worden gebruikt, waarbij er eerst eenzelfde hoeveelheid wordt gemaakt en er vervolgens meer aan wordt toegevoegd. Uit onderzoek blijkt dat het generaliseren van wat met een representatietraining is geleerd naar een situatie zonder materiaal toch moeilijk is.

Training van het schematisch of symbolisch representeren

Er kan ook abstracter worden gewerkt dan met concreet materiaal. Een overgangsvorm van concreet naar abstract is dat er puntjes op papier worden gezet. Door de puntjes die weg moeten of die het antwoord vormen wordt de structuur van de opgave gerepresenteerd. Er zijn vier hoofdtypen van opgaven te onderscheiden: het combinatietype, het vergelijkingstype, toename in het oorzaak-veranderingstype en afname in het oorzaak-veranderingstype. Van deze vier zijn visuele schema’s te maken die gebruikt kunnen worden om de relatie tussen de bekende en onbekende verzamelingen te bepalen en op grond daarvan de operatie te kiezen. Nog abstracter dan een visueel schema is de symbolisch-mathematische representatie. Dit zijn de bekende somvormen a+/-b=c, waarbij een van de letters de onbekende kan zijn. Indirecte sommen worden ook wel punt of vleksommen genoemd (2+.=6) en er is bekend dat deze voor veel kinderen moeilijk zijn omdat de betekenis van de notatie niet wordt begrepen. Deze vorm van sommen kan ook in een redactieopgave worden geplaatst waardoor er een representatie kan worden gemaakt met een betekenis die bij de somnotatie past. Er kan dan informele kennis worden gebruikt om formele somnotaties duidelijk te maken. Dit is een overeenkomst met het realistisch rekenen. Het verschil is dat er bij het realistisch rekenonderwijs een sterke nadruk ligt op het vinden van een oplossingsmethode, terwijl er bij de genoemde trainingen de nadruk ligt op het voorschrijven en inoefenen van een bepaalde oplossingsmethode. Kinderen die zwak presteren op rekengebied profiteren meer van een directe instructie en aangeboden oplossingsstrategieën dan dat ze deze zelf moeten bedenken. Een directe strategietraining in combinatie met principes van zelfinstructie lijken belangrijk voor kinderen met rekenproblemen, waarbij metacognitief bewustzijn en zelfregulatie wordt versterkt. Er zijn in het ‘spel der schoolvraagstukken’ stilzwijgende regels, waarbij bedoeld wordt dat als een leraar een redactieopgave voorlegt dat er een operatie wordt uitgevoerd met de twee gegeven getallen. Kinderen kunnen bijvoorbeeld moeite hebben met de tekst.

Rekenen tot 100

Er wordt nu aandacht besteed aan het rekenen met getallen boven de twintig, en voornamelijk het optellen en aftrekken tot 100. Er zijn twee methoden om deze sommen op te lossen: cijferen (met pen en papier) en hoofdrekenen. De sommen zijn sterk procedureel van aard en komen tot stand met rekenprocedures. Het langetermijngeheugen speelt wel een rol door de declaratieve kennis die eruit gebruikt wordt. Cijferen is het opschrijven van de som in verticale vorm en kolomsgewijs op te lossen aan de hand van bijvoorbeeld een standaardalgoritme. De tussenresultaten kunnen hierbij worden opgeschreven. Het traditionele algoritme is het boven elkaar schrijven van de eenheden onder de eenheden, de tientallen onder de tientallen. Vervolgens wordt er met de eenheden begonnen en vervolgens worden de tientallen opgeteld. Bij het realistisch cijferen worden HTE-tabellen gebruikt (H=honderdtallen, T=tientallen, E=eenheden). Eerst wordt er per kolom uitgerekend wat eruit komt, en dan worden de tientallen en honderdtallen op de juiste plek gezet. Voor zwakke rekenaars heeft Van Luit (1987) het Speciaal Onderwijs Rekenhulp Programma (SORP) ontwikkeld, wat later is uitgegeven als Speciaal rekenhulpprogramma optellen en aftrekken tot 1000. Dit programma laat kinderen door zelfinstructie een strategie te leren om eerst met blokkenmateriaal en later alleen met cijfers met de traditionele cijferende manier de sommen op te lossen. De strategie is gebaseerd op een taakanalyse van het cijferen als een proces van stap voor stap handelingen uitvoeren en beslissingen nemen. De instructie wordt in eerste instantie voorgedaan en elke stap wordt hardop geverbaliseerd als evaluatie. Daarna voeren de leraar en kind de opdracht samen uit en moet het kind zelf de verbalisering doen. Als het goed gaat, wordt het fluisterend gedaan en ten slotte in stilte (verinnerlijkt). Het effectiefst van het programma blijkt de zelfinstructiecomponent. Het blijkt dat MLK-leerlingen beter presteren bij een sterk gestructureerde training. Bij LOM-leerlingen zijn zowel de een terughoudende versie waarbij de stappen geen feedback kregen als op de gestructureerde versie.

Er is bij kinderen met rekenproblemen weinig onderzoek naar schattend rekenen gedaan, maar er zijn aanwijzingen dat er andere vaardigheden nodig zijn dan bij hoofdrekenen en cijferen. In plaats van een beroep op taalvaardigheden doet schattend rekenen een beroep op visuo-spatiële informatieverwerking doordat er snel een voorstelling moet worden gevormd. Cijferen kan worden vervangen door een rekenmachine. Voor het hoofdrekenen wordt het werkgeheugen sterk belast door het gebruik van opgavenkenmerken en van oplossingswijzen.

Bij het hoofdrekenen worden vaak zelf bedachte strategieën gebruikt om de som zonder pen en papier op te lossen. Bieshuizen heeft de meerdere strategieën geïnventariseerd. De meest voorkomende zijn: splitsstrategie, rijgstrategie, splits-rijgstrategie, rond af eerste getal en rond af tweede getal. De variëteit hangt af van de voorkeur en capaciteiten van de individuele rekenaar, van opgave kenmerken, de aan of afwezigheid van tientalpassering, de context en de getalkenmerken. Hoog presterende kinderen gebruiken vaker de rond af tweede getal-strategie bij optelopgaven. Er wordt vaak aangeleerd om vanaf een van de getallen langs een denkbeeldige getallenrij te springen, wat de rijg of sprongstrategie heet. Vaak wordt er ook spontaan gebruik gemaakt van de kardinale eigenschappen door te splitsen in tientallen en eenheden. Hierbij zijn ze sterk georiënteerd op de plaatswaarde van de getallen. Uit onderzoeken blijkt dat de splitsstrategie, ook wel 1010-procedure, door laag presterende kinderen veel wordt gebruikt en voor het maken van fouten zorgt. De rijgstrategie lijkt een succesvollere strategie ook bij kinderen met leerproblemen. De rijg, rond af op eerste getal-strategie en rond af op tweede getalstrategie zijn meer van ordinale aard (de oplossingsmethode start bij een van de getallen en gaat dan langs de getallenlijn naar de oplossing). De splits-rijgstrategie begint als een splitsstrategie maar gedraagt zich meer als een rijgstrategie. Het verschil in effectiviteit van de rijg en splitsstrategie ontstaat door het resultaat van het omgaan met de beperkte capaciteit van het geheugen. Hoe langer informatie over tussenstappen in het werkgeheugen moeten worden vastgehouden, des te meer informatie vergeten wordt. Er is tussen de twee strategieën een verschil tussen het aantal stappen. Bij de splitsstrategie zijn er meer stappen nodig dan bij de rijgstrategie. Bij het hoofdrekenen is het visueel ruimtelijke schetsboek minder belangrijk dan de klanklus. De klanklus slaat tijdelijke informatie op tijdens het rekenen (subvocaal= onhoorbaar). Het centraal uitvoerende orgaan is betrokken bij deze onthoud operaties.

Waarom wordt de lastige splitsstrategie gebruikt? De kennis die is opgedaan over optellen en aftrekken onder de tien wordt gegeneraliseerd naar sommen met grotere getallen. Dit hoeft niet altijd een nadeel te zijn, maar minder goede leerlingen kunnen hun oplossingsstrategieën overgeneraliseren naar moeilijkere sommen met tientalpassering. Een fout die dan kan optreden is de groter van kleiner-fout (5-8=3). Er kan dan ook een dubbele fout worden gemaakt (eerst groter dan kleiner fout en dan aftrekken in plaats van optellen) waardoor ze toch een goed antwoord hebben. De context beïnvloedt ook de keuze van de strategie. Als er al een rijgstrategie wordt gebruikt dan kan er als aanvulstrategie ook de rond af eerste getal-strategie worden gebruikt. Zwakkere rekenaars zijn minder flexibel en blijven de splitsmethode gebruiken, waardoor ondersteuning noodzakelijk zou kunnen zijn. Ook materiaal kan van invloed zijn op de strategiekeuze. Bij het gebruik van blokjes blijkt er gebruik te worden gemaakt van de splitsstrategie. Een honderdveld en een (lege) getallenlijn zijn beter geschikt om de rijgstrategie uit te lokken. De andere besproken strategieën behalve de splitsstrategie zijn goed af te beelden op de getallenlijn. Kinderen in het MLK en LOM onderwijs hebben meer baat bij een directe instructie op een getallenlijn dan met een splitsmethode met een getalpositieschema. Deze resultaten waren ook beter dan de eigen inbreng van de kinderen.

8. Rekenen/wiskunde bij de start in het voortgezet onderwijs en de problemen daarbij

Rekenen heeft in de opbouw een logische structuur. In de voorschool en de kleuterperiode wordt er begonnen met ervaringen in ordenen, hoeveelheidbegrippen, tellen en getalkennis. Vanaf groep 3 begint het meer formele rekenen, waarbij construeren van eenvoudige relaties tussen getallen en gebeurtenissen in realistische contexten aan de orde komen. Dit wordt vervolgens uitgebreid in complexiteit, contexten, grotere getallen, meer samengestelde operaties en onderlinge relaties. In het voortgezet onderwijs is er een diversiteit in schooltypen waardoor er op veel verschillende niveaus wordt onderwezen. In Nederland is het rekenonderwijs tussen het SVO (speciaal voortgezet onderwijs), VMBO en VWO erg verschillend. Probleemgebieden in de brugklas van het voortgezet onderwijs zijn breuken, decimalen, percentages en breuken. Ook kan het zijn dat er problemen zijn met meer basale rekenvaardigheden als kennis van het positiestelsel, de directe beschikbaarheid van eenvoudige rekenfeiten of de toepassing van hoofdbewerkingen. Kinderen met laatstgenoemde problemen hebben specifieke hulp nodig, die remediërend of compenserend (bijvoorbeeld gebruik van tafelkaarten of rekenmachine) van aard is. De gemiddelde ontwikkeling bij rekenproblemen is in twee jaar tijd ongeveer één jaar vooruitgang. In het voortgezet onderwijs laat zich geen versnelling van de leerrendement zien in vergelijking met de basisschool.

Rekenen in het voortgezet onderwijs

In het voortgezet onderwijs is er enige aandacht voor risicoleerlingen en voornamelijk op het gebied van taal. Op het gebied van tal zijn een aantal diagnostische instrumenten aanwezig en ook remediëringssuggesties en speciale programma’s. Bij rekenproblemen is er alleen de mogelijkheid om basisvaardigheden te herhalen. Kinderen die achterblijven met rekenen hebben vaak onderwijs gehad met de realistische rekenmethode. Deze methoden zijn gebaseerd op vijf uitgangspunten: construeren en concretiseren van rekenkennis aan de hand van betekenisvolle contexten; ontwikkelen van modellen die geleidelijk abstracter worden; reflectie en eigen productie aan de hand van de eigen inbreng van leerlingen; interactief onderwijs in een sociale context; en recht doen aan de samenhang tussen leerstofgebieden door middel van structureren en verstrengelen. Het verschil met meer traditionele methoden is dat die meer ruimte hebben om specifieke vaardigheden in te oefenen en aan te leren. Dit kan zorgen voor problemen in de declaratieve kennis wat doorwerkt in het uitvoeren van rekenprocedures (zie hoofdstuk 3).

Om goed te rekenen is het nodig om de volgende kennis en vaardigheden te hebben: algemene, niet-taakspecifieke kennis en vaardigheden (declaratief en procedureel); domein en taakspecifieke kennis en vaardigheden (declaratief en procedureel); en metacognitieve kennis en vaardigheden (niet-taakspecifiek en taakspecifiek).

Algemene, conceptuele kennis en vaardigheden is kennis van begrippen in de wereld om ons heen en algemene oplossingen of procedures die breder kunnen worden toegepast. De probleempresentatie kan worden gemaakt als er inzicht is in de betekenis van de gegevens, als het te bereiken doel wordt begrepen en er wordt beschikt over procedures om problemen te analyseren en om te zetten in een beheersbare vorm. Kinderen met een beperkte woordenschat en taalproblemen zullen problemen ondervinden als zij de gebruikte woorden in de opgave niet begrijpen.

Domeinspecifieke kennis en vaardigheden zijn de kennis van feiten en begrippen, procedures en strategieën die specifiek nodig zijn voor rekenen. Zoals kennis van getallen en het positiestelsel. Het gaat vaak om niet eenduidige (ambigue) kennis. Als deze kennis er niet is dan loopt het kind vast of geeft systematisch onjuiste antwoorden.

Metacognitieve kennis is de kennis over het samenspel van taak-, persoons- en strategiekenmerken. Dit hoeft niet te kloppen. De metacognitieve vaardigheden zijn het oriënteren op een taak, het planmatig en systematisch werken, het controleren en evalueren van het eigen gedrag en het bij elkaar brengen en evalueren van de belangrijkste resultaten (elaboreren). Het probleemoplossinggedrag wordt zo in goede banen geleid en controleert het hele proces. Veel fouten komen door het niet goed gebruiken van de metacognitieve vaardigheden. Kennis en vaardigheden zijn nog specifieker te karakteriseren met een aantal kwalitatieve kenmerken, als de flexibiliteit en de automatisering.

Leerstofdomeinen

De lesstof in de eerste twee jaar van het voortgezet onderwijs is opgedeeld in aantal onderwerpen: basisvaardigheden; cijferen; verhoudingen en procenten; breuken en decimale getallen; meten; meetkunde; algebra, verbanden, grafieken en functies; en statistiek. Deze domeinen bevatten hun eigen subdomeinen zoals bij basisvaardigheden het voor en achteruit tellen, de opteltafels tot 10 en tafels van vermenigvuldigen tot 10. Bij elk deeldomein zijn er problemen na te gaan en te inventariseren ofwel signalering, waarna er extra instructie kan worden gegeven of nadere diagnostiek kan plaatsvinden. Kinderen met rekenproblemen hebben de volgende kenmerken: moeite met leren van willekeurige associaties, afspraken en feiten; weinig profiteren van impliciete en incomplete instructie; niet of weinig automatisering van basiskennis en vaardigheden; moeilijk herkennen wat ze eerder hebben geleerd; moeilijk flexibel wisselen tussen verschillende kennisniveaus (concreet-verbaal-abstract); snelle overbelasting van kortetermijngeheugen en werkgeheugen; en onvoorspelbare resultaten die tot twijfel leiden over het eigen kunnen of competentie (self efficacy). Deze kenmerken vragen om een heldere structurering in stappen bij het aanleren van de vaardigheden voor de uitvoering en toepassing. Bij rekenzwakke kinderen zal het accent moeten liggen op het expliciet aanleren van kennis en vaardigheden en vervolgens een fase van leren toepassen. Bij het remediërend onderwijs is het nodig om doel te stellen per persoon die afhankelijk zijn van het ingeschatte bereikbare kennisniveau.

Leerbaarheid

Kinderen met rekenproblemen profiteren minder van incomplete instructie en lijken daardoor minder leerbaar dan andere kinderen. Dit moet echter met diagnostiek worden uitgezocht en bij bevestiging moet er aanpassing komen van de instructies. Zwakke rekenaars kunnen niet goed de juiste strategie kiezen, de achterstand lijkt voort te komen uit een strategiezwakte. De oriëntatie op de taak is vaak onvolledig of verkeerd wat zorgt voor verkeerde keuzes in aanpak en uitvoering en controle. Er moet rekening gehouden worden met de leerbaarheid. Dit kan individueel maar ook met groepsgericht onderwijs, waarbij het gaat om zo optimaal mogelijke leergroepjes.

Opslag van informatie

Een groot probleem van zwakke rekenaars is hun gebrekkige opslag van informatie. Inefficiënte strategieën kosten veel opslagruimte in het geheugen en veel tijd. Hierdoor zien ze niet snel een relatie tussen aanverwante kennisgebieden en er ontstaat nauwelijks een koppeling tussen de inhoud en de in een nieuwe opgave gebruikte strategie met al gekende taken. Er is een tekort aan transfers. Er ontstaat ook geen automatismen en er moet telkens opnieuw berekend worden. Een gebrek aan geautomatiseerde voorkennis beperkt het gebruik en een verdere inoefening. Bij leerlingen met rekenproblemen, ook met redelijke tot normale cognitieve vaardigheden en leerbaarheid, zijn herhaling en het verschillende keren uitvoeren van dezelfde taken geen garantie voor automatisering en generalisatie.

Self efficacy

Individuele kenmerken zoals cognitieve ontwikkeling spelen een rol in leerproblemen. Echter voornamelijk ineffectieve instructie is een oorzaak van mislukking. Een aanhoudende ervaring met instructie die leidt tot mislukking geeft de verwachting bij het kind dat het zal mislukken, wat zorgt voor een remmende angst. Volgens Chapman (988) hebben kinderen die aan zichzelf twijfelen: de neiging om hun academische falen hieraan toeschrijven; dat ze de (veronderstelde) lage capaciteiten als onveranderbaar beschouwen; dat ze verwachten in de toekomst te falen; en dat ze snel opgeven als ze geconfronteerd met moeilijke taken. Uit onderzoek blijkt dat kinderen, ook met leerproblemen, redelijk goed weten wat ze wel en niet kunnen (self efficacy) en hoe een taak is gegaan. Er lijkt een redelijk direct relatie tussen effectieve instructie, succes en de inschatting van het eigen kunnen. Bij een positieve instructie neemt de prestatie toe en leidt dit tot een positievere perceptie van wat ze zelf kunnen. Een ineffectieve instructie zorgt voor zwakke prestaties en een negatieve zelfinschatting.

Hulp bij rekenwiskunde problemen

Volgens onderzoek helpt het om bij zwakke rekenaars te herhalen en bewust actualiseren van al eerder aangeleerde en verworden leerstof, inslijpen van nieuwe en pas verworven kennis, relaties leggen met verworven kennis en controleren van de gebruikte oplossingsstrategieën. Rekenproblemen ontstaan niet door onderwijs, maar wel in het onderwijs. De beste aanpak van onderwijs bestaat niet, maar gaat over de wijze waarop een kind omgaat met het onderwijs. Er zijn wel belangrijke orthodidactische principes die belangrijk zijn als er wordt gefaald. De bronnen van deze principes liggen in een aantal theoretische oriëntaties. Uit de cognitieve theorieën zijn getalbeelden, trapsgewijze procedure, zelfinstructie, en empirische taakanalyse principes die goed gebruikt kunnen worden bij een leerachterstand.

In het voortgezet onderwijs moet men zich houden aan de minimum- en aanvullende streefdoelstellingen die er zijn in het rekenwiskundeonderwijs aan het einde van het basisonderwijs. De hulp die zwakke rekenaars krijgen moet gebaseerd zijn op voorwaardelijke kennis voor het onderwijs. Remediërende hulp zal dan gebaseerd moeten zijn op doelstellingen die zijn gebaseerd op Advies kerndoelen voor de basisvorming in basisonderwijs en voortgezet onderwijs, op Kerndoelen basisonderwijs 1998, op de Leerstofbeschrijving wiskunde 12-16, op het Advies over de voorlopige eindtermen basisonderwijs rekenen en wiskunde, en Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Er zijn algemeen aanvaarde doelstellingen waaruit handvatten af te leiden zijn om te signaleren, onderkennen van rekenproblemen en de manier waarop hulp geboden kan worden.

Instructie voor zwakke rekenaars is op te delen in vijf stadia: bepalen van de begrippen en vaardigheden die geleerd moeten worden; identificeren van de belangrijkste relaties tussen begrippen en vaardigheden; onderbrengen van feiten, begrippen en vaardigheden in logische hiërarchieën; ontwikkelen van instructie voorbeelden die eenduidig de reikwijdte illustreren van concepten en vaardigheden die beheerst moeten worden; en het presenteren van instructieve voorbeelden aan de leerling. Carnine (1989) benadrukt dat oefenen een essentiële component moet zijn in instructieprogramma’s. Er zijn een zestal factoren van invloed voor effectieve instructie: de eerdere prestaties van de kinderen (aansluiten bij hun kennisbasis); de perceptie van de self-efficacy door kinderen (beroep doen op hun gevoel van competentie); de inhoud van de instructie (gebruikmaken van herkenbare contexten); management van de instructie (doseren van de stappen in het leerproces); de inspanning van de leraren om instructie te evalueren en te verbeteren (weten wat de effecten van de instructie zijn en bijstellingen kunnen maken); en de overtuiging van leraren over de aard van effectieve instructie (achter de uitgangspunten van de instructie staan en geloven in de leermogelijkheden van de kinderen).

9. Diagnostiek van rekenproblemen en dyscalculie

De betekenis van het Griekse woord voor diagnostiek is taxeren, onderscheiden, beslissen. In het onderwijs is er steeds diagnostiek nodig, namelijk het door de leerkracht bekijken of de instructie duidelijk is, welke problemen er zijn en bedenken waarom een opdracht niet lukt en hoe dit te veranderen is. Het diagnostische proces is meer dan alleen het stellen van een diagnose. Het signaleren van problemen is de eerste stap, waarna informatie wordt verzameld, informatie wordt geordend, testen worden afgenomen, resultaten worden geïnterpreteerd, fouten worden geclassificeerd en geanalyseerd en het bijhouden van de mate waarin instructie en hulp aanslaan. Dit kan een leerkracht in veel gevallen aanpakken en oplossen. Als de problemen blijven dan kan er advies worden gevraagd aan een (intern of extern) begeleider. Er is dan meer individueel maatwerk en specialistische kennis nodig, waarbij gebruik wordt gemaakt van verschillende theorieën. Er zijn dan meer mensen bij betrokken die samenwerken en elkaars deskundigheid aanvullen, er is sprake van een doorgaande lijn (continuüm).

Aanknopingspunten voor diagnostiek

Rekenproblemen kunnen voortkomen uit een tekort aan inzicht en of tekort aan automatisering. Bij dyscalculie is er vaak sprake van moeite met leren en snel/accuraat beschikken over rekenfeiten en afspraken (fact retrieval). Diagnostiek bestaat uit meerdere stappen, als signalering, onderkenning, verklaring, indicatie en advisering. Signalering en onderkenning zorgen voor een onderkennende diagnose (wat). Hierbij wordt het liefst gebruik gemaakt van goed ontwikkelde instrumenten. Een verklarende diagnose (waarom) kan soms worden bepaald om in de beste aanpak te voorzien. Er wordt dan gebruik gemaakt van verschillende theorieën, die aandacht besteden aan factoren in het onderwijs als individugebonden factoren.

Het continuüm van zorg en deskundigheid kan uitgebeeld worden op een getallenlijn. Met het cijfer 1 wordt aangegeven dat de gangbare didactiek voldoet en dat er in het onderwijs geen grote problemen zijn. Soms is er extra uitleg of ondersteuning nodig bij wijze van eerste hulp bij onderwijsleerproblemen, wat wordt aangegeven met 1a,1b,1c enzovoort. Als dit onvoldoende is dan volgt meer planmatige en systematische hulp op maat als remedial teaching. Bij punt 2 wordt de probleemsituatie uitgebreider diagnostisch geanalyseerd. Na deze gerichte diagnostiek kan er specifieke hulp volgen in de klas, bijstelling van de remedial teaching, specialistische behandeling of een combinatie hiervan. Bij punt 3 wordt de behandeling geëvalueerd en indien nodig bijgesteld. Er vindt dan ook nazorg en follow-up plaats. Het is belangrijk dat er in de analyse en de volgende aanpak gebruik wordt gemaakt van alle bekende informatie en dat de bevindingen worden teruggekoppeld naar alle betrokkenen. De diagnostische cyclus kan slaan op de stappen die een diagnosticus zet als professioneel antwoord op problemen, maar het kan ook in bredere zin de diagnostische stappen van bijvoorbeeld de leerkracht omvatten. Bij het nemen van beslissingen op het continuüm spelen observaties en toetsen een rol.

Groepsgewijs en individueel onderzoek

Er zijn meerdere factoren die bepalen welke vorm van onderzoek wordt gebruikt, afhankelijk van het doel van de toetsing. Om een eerste globale indruk te krijgen van prestaties en eventuele problemen, kan er groepsgewijs worden getoetst. Dit wijst dan op de nog niet beheerste stof en waar extra instructie nodig is. Een voorwaarde is dat de toets niet te grofmazig van opbouw is en aansluit bij wat er in de rekenlessen is behandeld. Dit is de eerste stap in signalering en onderkenning. Als er opvallende afwijkingen zijn van de norm-, vergelijkings- of klassengroep dan volgt een individuele toetsing. Er kan dan worden gekozen voor een toets die het specifieke prestatieniveau in kaart brengt (als de Toets rekenenen-wiskunde 1,2,3; Utrechtse Getalbegrip Toets; de Rekenproeven van Dudal) of een instrument wat gericht is op het rekenproces (als de Kwantiwijzer voor Leerkrachten). Als er meer stappen op het continuüm worden gezet zal de zorg in de diagnostische cyclus zich uitbreiden. De groepsgewijze toetsing is dus te gebruiken als informatiebron over prestatieniveau, als signalering/onderkenning en evaluatie van de groepsgerichte aanpak. Individuele toetsing is te gebruiken voor informatie over het prestatieniveau of het rekenproces, voor onderkenning ten opzichte van een statische of theoretische norm, voor een verklaring op taak en procesniveau, voor indicatieonderzoek voor de best passende aanpak en voor een evaluatie van individuele hulp.

Niveautoetsen en criteriumtoetsen

Niveautoetsen geven aan hoever een kind is gevorderd ten opzichte van de gemiddelde vooruitgang. Deze toetsen worden redelijk onafhankelijk van een rekenmethode ontwikkeld en zijn daarom algemeen bruikbaar. Er is een indruk van het totale prestatieniveau en van de omvang van eventuele achterstand en van specifieke hiaten. Het geeft echter slechts een globale beoordeling omdat er niet duidelijk wordt hoe oplossingen tot stand komen. Niveautoetsen geven meer informatie wanneer er achteraf wordt geprobeerd te analyseren wat er precies fout en goed is gegaan en door de niveautoetsen longitudinaal meerdere keren met ruime tussenpozen af te nemen en te gebruiken als een indicatie voor het leerrendement.

Met criteriumtoetsen worden instrumenten bedoeld die zijn ontwikkeld binnen een methode om bij afsluiting van een leerstofonderdeel na te gaan of en in welke mate het specifieke doel is bereikt. Bij een gedetailleerde opbouw zijn criteriumtoetsen gevoeliger voor kwalitatieve veranderingen in het leerproces dan niveautoetsen. Ook criteriumtoetsen zijn aan te vullen met een foutenanalyse en ze zijn bruikbaar in longitudinale diagnostiek.

Foutenclassificatie en foutenanalyse

Bij goede antwoorden op niveau en criteriumtoetsen wordt verondersteld dat het oplossingsproces goed is verlopen en dat er bij fouten een verkeerd oplossingsproces is. Er zijn dan twee mogelijkheden: fouten worden geordend (classificatie) en er worden specifieke verwachtingen opgesteld over het proces dat tot deze antwoorden heeft geleid (fouten analyse) en dit wordt bij het kind getoetst; of de lage prestatie wordt opgevat als een signaal dat er meer algemeen diagnostisch onderzoek naar schools rekenen nodig is.

Voor elke toets geldt dat deze goed moet passen bij wat een leerling nog wel en wat net niet kan. Bij een te hoge moeilijkheidsgraad worden er zo veel fouten gemaakt dat ze geen informatie meer geven. Als afzonderlijke antwoorden niet stabiel zijn dan is het wel mogelijk om na te gaan of ze te beschrijven en te ordenen zijn in een beperkt aantal categorieën (foutenclassificatie). Analyse van de fouten is de stap die daarop volgt.

Longitudinale diagnostiek

Om leerprestaties over een langere periode te volgen en te vergelijken zijn er longitudinale toetsgegevens nodig van een voldoende grote groep vergelijkbare kinderen. De vergelijkbaarheid zit hem dan in de duur van het gevolgde onderwijs, en in de cognitieve en zintuiglijke mogelijkheden en beperkingen. Op deze manier kan de relatieve positie van een individuele leerling worden bepaald in vergelijking met de groep. Dit kan door een omzetting in een didactische leeftijdsequivalent. Een kanttekening hierbij is dat kinderen met een verstandelijke beperking vaak worden vergeleken met de gemiddelde prestaties van normaal begaafde kinderen of er wordt geen rekening gehouden met andere ontwikkelingsstoornissen. Herhaalde metingen geven inzicht in het leerrendement. Uitschieters of toevallige storingsbronnen worden dan gecorrigeerd in de leercurve die over een langere tijd is op te stellen. Als de rekenstof onvoldoende wordt beheerst ook na extra inspanning van de leerkracht of remedial teacher gedurende een redelijk tijdsbestek en er geen toenemend prestatieniveau is, dan is er sprake van hardnekkigheid/resistentie van het rekenprobleem. Dit is een kenmerk dat de ernst aangeeft en bijdraagt aan de onderkenning van dyscalculie.

Didactische leeftijd, didactische leeftijdsequivalent en leerrendement

Niveautoetsen geven aan hoever een kind in het leerstofdomein is gekomen. Er wordt vanuit gegaan dat de start van het onderwijsleerproces gelijk staat aan de score van nul. Het resultaat op een later moment geeft de leerwinst aan vanaf de aanvang van het onderwijs in groep 3. Zo is het mogelijk om een score op de niveautoets op te vatten als maat voor de vlotheid van de verwerving van een vaardigheid.

Het didactisch leeftijdsequivalent (DLE) is de prestatie die het kind haalt overeenkomend met een gemiddelde prestatie van de normgroep na een bepaalde periode schoolervaring. Omdat een schooljaar bestaat uit ongeveer 10 lesmaanden wordt de DLE bijvoorbeeld uitgedrukt als equivalent aan de gemiddelde prestatie na 10 maanden onderwijs, equivalent aan een didactische leeftijd van 10 maanden, oftewel DLE=10. Het zittenblijven wordt niet meegerekend in het bepalen van het aantal didactische maanden. DLE’s worden bepaald op basis van gemiddelde prestaties van grote groepen kinderen. De kritiek ligt bij het feit dat er hierdoor een grote spreiding kan zijn in resultaten. Er wordt vanuit gegaan dat de spreiding van de scores op alle momenten in de ontwikkeling vergelijkbaar blijft en dat het om een ontwikkeling in gelijkmatige stappen gaat. Als dit echter niet het geval is (wat meestal zo is) dan is er over een individuele score in vergelijking met het gemiddelde weinig te zeggen en kan er moeilijk een interpretatie worden gegeven of er sprake is van een voor of achteruitgang. Er wordt daarom steeds meer gebruik gemaakt van de itemresponstheorie, waarbij de aandacht verschuift van de prestatie van het groepsgemiddelde naar de ontwikkeling van de individuele leerling in vergelijking met zichzelf. Het gebruik van DLE’s is niet wenselijk.

De stappen in de diagnostische cyclus

De diagnostische cyclus bestaat uit een aantal stappen die als doel hebben om tot een zo goed mogelijk en onderbouwd antwoord te komen op een hulpvraag. In hoofdstuk 10 wordt de aanpak als een cyclus met verschillende stappen beschreven, namelijk de behandelings- of interventiecyclus. De combinatie van de diagnostische en behandelingscyclus wordt de hulpverlenings of klinische cyclus genoemd.

In de diagnostische cyclus worden de volgende stappen doorlopen: klachtanalyse, probleemanalyse, verklaringsanalyse en indicatieanalyse. Het herhalen van stappen of het teruggaan of door te gaan hangt af van de mate van zekerheid van de verkregen informatie. Er wordt gestart bij de aanmelding en het eindigt bij het advies. Elke stap levert een conclusie op, wat als uitgangspunt van de volgende stap geldt. De klachtanalyse is een verhelderende diagnose, waarbij uitspraken naar voren komen die aangeven dat de situatie of het gedrag van het kind of de gevolgen ervan als negatief worden ervaren. Klachten weerspiegelen ervaringen en belevingen die worden verzameld en er wordt nagegaan welke hulpvragen er zijn. De klachten worden geordend. In de probleemanalyse wordt er een verband gelegd tussen problemen en klachten, er wordt een groepering aangebracht en de problemen worden benoemd en de ernst wordt getaxeerd. Er is sprake van een onderkennende diagnose. De verklaringsanalyse worden er hypothesen (verklarende uitspraken die nog niet zijn getoetst), er worden empirisch toetsbare voorspellingen uit afgeleid, deze worden geformuleerd en getoetst en er wordt een integratief beeld gemaakt. Er komt een verklarende diagnose uit. In de indicatieanalyse worden er in samenspraak met de betrokkenen een globaal interventiedoel geformuleerd, er wordt geïnventariseerd wat de in aanmerking komende typen interventies zijn, het nut van de mogelijke alternatieven wordt in overleg bepaald, er wordt onderzocht of de indicatiecriteria voor de verschillende interventies van toepassing zijn, de kans van slagen van de mogelijke keuzes wordt ingeschat en een uiteindelijke aanbeveling wordt geformuleerd. Er komt een indicerende analyse uit.

Er zijn meerdere redenen waarom het belangrijk is om het diagnostisch probleemoplossingproces in stappen te ontleden: een kenmerk van een probleemsituatie is meestal dat je het niet meer overziet en behoefte hebt aan een goede analyse; er kunnen soms meer dingen aan de hand zijn dan je tegelijkertijd kunt aanpakken, wat het nodig maakt om voorafgaand aan de aanpak eerst de deelproblemen van elkaar te onderscheiden; soms is er al van alles geprobeerd om tot een oplossing te komen, maar blijkt het probleem hardnekkiger en ernstiger dan op het eerste gezicht leek; het kan nodig zijn om te beslissen welke aanpak uit verschillende alternatieven het meest verantwoord, het meest efficiënt en het minst risicovol is. In deze situaties is het nodig om meer bewuste beslissingen te nemen. Het nadenken over de verschillende stappen voorkomt fouten en kan bij de reflectie achteraf aanwijzingen geven waar het misging.

De indeling van de cyclus maakt het mogelijk om voorwaarden te formuleren waaraan elke stap moet voldoen: professionele voorwaarden, methodologische voorwaarden en psychometrische voorwaarden. Professionele voorwaarden hebben betrekking op attitude, kennis en vaardigheden van de diagnosticus als hulpverlener. Methodologische voorwaarden geven aan wat de kwaliteit moet zijn van de stappen die in diagnostiek worden gezet. En psychometrische voorwaarden slaan op technische eisen waaraan diagnostische middelen moeten voldoen.

Signalering, klachtanalyse en formulering van de hulpvraag

Het signaleren kan informeel en formeel gebeuren. Informeel gebeurt vaak aan de hand van voortdurende observatie en door na te vragen hoe kinderen taken aanpakken. De leraar zoekt naar niet begrepen instructie en naar kennishiaten als aanknopingspunten van adaptieve instructie. Een professionele voorwaarde is dat de leraar inzicht heeft in instructieprincipes en in het rekenleerproces. Ze moeten de volgende vragen kunnen stellen: om wat voor type kennis gaat het?; wat is de kwaliteit van de rekenkennis?; welk type instructie is nodig?

Een formele werkwijze is het inzetten van toetsen om te vergelijken met een norm of een vooraf opgesteld criterium. Het voordeel is dat toetsen efficiënt en objectief vergelijkend informatie geven. Toetsen moeten zoveel mogelijk voldoen aan psychometrische voorwaarden. Door Resing en collega’s (2002) is een beschrijving en beoordeling van toetsen gemaakt. Er zijn weinig beschikbare rekentoetsen voor jonge kinderen dat aan de eisen voldoet. Er zijn een aantal toetsen die voorlopig aanvaardbaar zijn, als de Utrechtse Getakbegrip Toets, ordenen (Cito), begrippentoets (Cito), DLE-Test Hoofdrekenen en rekenen. In de COTAN wordt de kwaliteit van tests aan de hand van criteria met betrekking tot uitgangspunten van de testconstructie, kwaliteit van het testmateriaal, kwaliteit van de handleiding, normen, betrouwbaarheid, begripsvaliditeit, en criteriumvaliditeit beoordeeld. Er is een beoordeling in vier niveaus: A is een beoordeling van goed op minimaal de eerste zes criteria, voldoende; B is een beoordeling van voldoende of goed op de eerste vijf criteria; C is een beoordeling van voorlopig aanvaardbaar omdat ze nog niet voldoen aan de criteria en er geen alternatief instrument is; D is een beoordeling van onvoldoende als er bij minimaal een criteria onvoldoende wordt gescoord of als er nog geen COTAN beoordeling is en er wel een alternatief instrument is. Het is belangrijk om de juiste vragen te formuleren en te voorkomen dat er antwoorden worden gegeven op niet gestelde vragen of dat vragen onbeantwoord blijven. Essentieel is dat iedereen hetzelfde verstaat onder gehanteerde begrippen en concretiseert wat er wordt bedoeld. In de werkwijze van de Consultatieve Leerling Begeleiding is het vaste startpunt dat de begeleider de leraar helpt bij het nauwkeurig omschrijven van de beleving van diens probleem en vragen. In de handelingsgerichte diagnostiek gebeurt dit in de intakefase.

Probleemanalyse

De probleemanalyse is de onderkenning en benoeming van een probleem. Bij genoeg concrete voorbeelden krijgt men zicht op de stabiele elementen in het rekenprobleem. Het in kaart brengen van de stabiele aspecten is zinvol omdat fouten niet consequent op dezelfde manier blijken voor te komen. Het oplossingsgedrag kan wisselen. De tweede reden om naar stabiele factoren te zoeken heeft te maken met de te geven hulp. Stabiele problemen zijn met een systematische hulp makkelijker aan te pakken dan onvoorspelbare reacties. Het ordenen en beschrijven van probleemgedrag kan door middel van foutenclassificatie en beschrijvende categorie. Een beschrijvende categorie geeft niet aan waarom een fout zich voordoet. In literatuur wordt beschrijving en verklaring vaak aan elkaar gekoppeld. Het lijkt weinig zinvol om een zuiver en theorieloos beschrijvend systeem te maken, omdat er een onafzienbaar aantal mogelijkheden in het rekenwiskunde domein mogelijk zijn. Het is logischer om uit te gaan van een aantal op maat gekozen representatieve opgaven, deze op te lossen en vervolgens bij opvallende hiaten of fouten na te gaan welke redenen hieraan ten grondslag liggen (analyse). De werkwijze gaat van foutenclassificatie naar foutenanalyse naar isoleren en aanbieden van type vragen, naar het geven van hulp en uiteg, dan het isoleren en nagaan van taakspecifieke procedurele voorkennis en dan het isoleren en nagaan van taakspecifieke declaratieve voorkennis.

In de vorm van een diagnostisch gesprek zijn er vier technieken te zien: observeren (manier van aanpakken van de taak, het gebruikmaken van materiaal of vingers), vragen stellen (hardop laten denken, na het oplossen de manier van werken laten uitleggen en doorvragen), variëren van opgaven (alternatieve opgaven die steeds makkelijker zijn geven, na succesvol oplossen teruggaan naar de opgave en het niveau waarop het misging), en het bieden van hulp geleidelijk uitbreiden. Bij het geven van hulp zijn er vier hulpniveaus te zien: aanbieden van qua vraagstelling en moeilijkheid vergelijkbare opgaven; structureren van de opgave; het expliciteren van een oplossingsstrategie; en het modelleren (voordoen van de opdracht).

De probleemanalyse kan naast het ordenen en beschrijven slaan op de classificatie en benoeming van de totale rekenproblematiek, waarbij de stoornis wordt onderkend en er een onderkennende diagnose plaatsvindt. Er kan dan een stoornis worden vastgesteld. De definiëring van stoornis, beperking (belemmering) en handicap wordt gegeven door de Wereld Gezondheid Organisatie (WHO). Er is een internationaal erkend afsprakensysteem (International Classification of Impairments, Disabilities and Handicaps, ICIDH). De ICIDH is een hiërarchisch systeem, waarbij oorzaken leiden tot stoornissen, die vaak beperkingen of belemmeringen meebrengen en kunnen leiden tot handicaps. Er is geen één op één relatie tussen oorzaak en stoornis of tussen stoornis en beperking of handicap, dit betekent onder meer dat verschillende oorzaken tot dezelfde stoornis leiden. Bij dyscalculie is de uitvallende psychologische functie het niet geautomatiseerd raken van declaratieve kennis. Dyscalculie is een stoornis. Hoe hardnekkiger een stoornis is, des te ernstiger de stoornis wordt beschouwd. Er wordt later dieper ingegaan op de taxatie van ernst.

De onderkenning van ontwikkelingsstoornissen gebeurt aan de hand van beschrijvende criteria waaraan de problemen dienen te voldoen. Vaak wordt hiervoor de Diagnostic Statistical Manual of mental disorders (DSM) gebruikt. De meest recente versie is de DSM-IV-TRTM. Bij rekenproblemen is een van de criteria dat de problemen ernstiger zijn dan op grond van de intellectuele mogelijkheden te verwachten is. De kenmerken van een rekenstoornis zijn: er is een verlies of afwijking van een neurofysiologische of psychologische structuur of functie; het rekenniveau ligt betekenisvol beneden het te verwachten niveau op grond van het aangeboden onderwijs, type en niveau van het gevolgde onderwijs, de dagelijkse activiteiten die gewoonlijk worden uitgevoerd, de intellectuele mogelijkheden en de zintuiglijke mogelijkheden; er is een opvallende hardnekkigheid en resistentie voor beïnvloeding in het leerproces waarin de automatisering niet of onvoldoende tot stand komt. Het prestatieniveau van automatisering wordt afgezet tegen een relevante vergelijkingsgroep. Er wordt vanuit gegaan dat het onderwijs minimaal 6 maanden heeft geduurd.

Om probleemgedrag als stoornis te classificeren is een minimale ernst nodig. Er zijn meerdere gradaties van ernst, zoals de mate van resistentie bij remediërende hulp. Genormeerde vragenlijsten en testen zijn een belangrijk middel, als het Cito-leerlingvolgsysteem. Een andere manier is kijken wat er goed gaat en wat niet en wat de verhouding hiertussen is. Ook de langdurigheid van het probleem, het aantal situaties waarin een negatieve ervaring zich voordoet, de mate waarin het tot beperkingen leidt en de hoeveelheid ervaren stress.

Verklaringsanalyse

Het begrip verklaring staat voor de veroorzakende of oproepende conditie, de in stand houdende, versterkende of met een probleem samenhangende conditie. De kennis voor een verklarende conditie komt van wetenschappelijke theorievorming en onderzoek. Er wordt daarin ook wel gesproken over risicofactoren, welke soms wel te beïnvloeden zijn en soms niet. De verklarende conditie is dus waardevol door de theoretische onderbouwing en de praktische relevantie. De empirische onderbouwing heeft over het algemeen betrekking op een vastgestelde relatie tussen problemen en condities wat wordt uitgedrukt als maximaal (percentage) van de variantie in (probleem) wordt verklaard door (verklaring). Er zijn twee zoekrichtingen in de literatuur om diagnostisch bruikbare condities te vinden: van probleem naar conditie en van conditie naar probleem.

Er zijn mogelijke individugebonden (alternatieve) functionele cognitieve condities voor het in stand houden van ernstige problemen bij rekenen: niveau en kwaliteit van de cognitieve ontwikkeling/intelligentie; processen van informatieverwerking; relevante aspecten van taalontwikkeling; en neuropsychologische functies. Voor een beknopte uitleg hierover zie box 9.6, pagina 283-285).

Indicatieanalyse

In de indicatieanalyse wordt de best passende aanpak van de onderkende en verklaarde problemen gekozen. Een belangrijke voorwaarde hierbij is de empirisch gebleken effectiviteit. Effecten zijn weer te geven op verschillende manieren, bijvoorbeeld als hoeveelheid leerwinst of als de verhouding tussen de kosten en baten. De baten geven aan in hoeverre de gestelde doelen worden bereikt en wat eventueel positieve bijeffecten kunnen zijn. De kosten staan bijvoorbeeld voor de tijdsperiode die het gaat duren, de financiële bijdrage van de ouders en de gevraagde inzet van de leraar. Met de kosten-batenanalyse wordt het nut van de aanpak bekeken. Als er meer kosten zijn dan is er een negatief nut en in andere gevallen is er een positief of neutraal nut.

Diagnostiek van dyscalculie en de dyscalculieverklaring

Dyscalculie is een beschrijvend begrip, waarbij er geen verschil is met de onderkenning van dyslexie. In beide gevallen staat het automatiseren van feitenkennis centraal, dij dyscalculie van basale rekenfeiten en bij dyslexie van (sub)woorden. Voor de onderkenning van dyscalculie is het van belang om te achterhalen of de problemen op te heffen zijn wanneer ontbrekende declaratieve kennis wordt gecompenseerd of dat het inzicht erin ontbreekt. De problemen mogen geen gevolg zijn van een te beperkt onderwijsaanbod. Om dyscalculie te onderkennen aan de hand van de DSM is meer nodig dan uitval op een automatiseringstest (zie voor de DSM diagnose box 9.8, pagina 290-293). In de brochure van Diagnose en Dyslexie liggen afspraken over de definitie, over de onderkennende, verklarende en indicerende diagnose en ook de diagnostische verklaring. Er is op deze manier consensus en er is meer overeenstemming in bijvoorbeeld de selectie van subjecten in het wetenschappelijk onderzoek. Daarnaast zijn er verwachtingen voor wat betreft het beleid. Ten eerste is er de verantwoordelijkheid voor het schoolbeleid, omdat de afgegeven dyscalculieverklaring door de school wordt onderschreven en het voor alle betrokkenen duidelijk is waar men zich mee akkoord verklaart en wie aanspreekbaar is voor het verdere verloop. In de tweede plaats is er de verantwoordelijkheid voor het beleid op bovenschools niveau. De overheid heeft de taak om de voorzieningen te verzorgen die het onterecht ontstaan van achterstand voorkomen en tegengaan.

10. Behandeling van rekenproblemen en dyscalculie

Behandelen heeft als betekenis als arts een patiënt van een ziekte proberen te genezen. Daarnaast wordt het woord behandeling ook gebruikt voor het proces, waarmee op basis van wetenschappelijk verantwoorde kennis direct of indirect leerhulp wordt gegeven bij leerproblemen of leerstoornissen. De behandelcyclus is het vervolg op de diagnostische cyclus. De stappen zijn niet heel expliciet, maar er specifiekere hulp nodig is als het leerprobleem resistenter blijkt.

Enkele aanknopingspunten voor behandeling zijn door de leerkracht met adaptieve instructie en differentiatie. Als er meer hulp nodig is, dan kan er intensieve instructie of RT worden gegeven. Als er dan nog niet voldoende hulp is, dan is er verdere diagnostiek nodig. Behandeling is systematisch en planmatig afgestemd op individu en contextgebonden factoren die een positieve of negatieve invloed hebben op de interventie. Bij expliciete instructie past de eigen inbreng van de leerling in een helder gestructureerd leerproces. Aanknopingspunten vanuit de verschillende theorieën komen nu aan bod. De leertheorie legt de nadruk op systematische stimulatie vanuit de omgeving, waarbij er wordt begonnen bij een taakanalyse en functionele gedragsanalyse. Leren is het tot stand brengen van de juiste stimulus-responsverbindingen. Bij de handelingsleerpsychologie gaat de aandacht naar het inhoudelijke leerproces waarmee kinderen tot nieuwe kennis en vaardigheden komen. Door een trapsgewijze aanpak wordt er gewerkt aan meer verinnerlijking van kennis en tot het verminderen van het aantal tussenstappen. Als kinderen minder uit zichzelf oriënteren is er meer complete en sturende didactiek nodig.

Probleemoplossingstheorieën zijn gericht op processen van analyse, herstructurering en representatie van probleemsituaties. De informatieverwerkingsbenadering heeft ook aandacht aan niet-inzichtelijke kennis, aan strategieën van geheugenopslag en automatisering. Verwerkingsstrategieën zijn te leren, ontlasten het cognitieve systeem en verminderen de kans op fouten. Bij de neuropsychologie wordt er aandacht geschonken aan de samenhang tussen het cognitieve systeem en het functioneren van het brein.

Behandeling op het continuüm van zorg en deskundigheid

Alle vormen van interventie of behandeling zijn te plaatsen op het continuüm van zorg. Adaptieve instructie door de leraar en interne begeleiding gaan vooraf aan Remedial Teaching (RT). RT gaat vooraf aan beslissing tot meer gespecialiseerde hulp en behandeling. Elk geval staat in samenwerking en is wederzijdse afstemming essentieel.

Remedial teaching en behandeling

Er wordt een onderscheid gemaakt tussen behandeling en remedial teaching, hoewel beiden als overeenkomsten hebben dat ze taakgericht zijn, bij voorkeur steunen op empirisch onderzoek over effectiviteit en een goed omschreven deskundigheid vereisen. De beroepsgroepen van remedial teachers (LBRT) en academisch geschoolde orthopedagogen en psychologen (NVO, NIP) de deskundigheid door een systeem van beroepsbekwaamheidsregistratie. De verschillen tussen remedial teaching en behandeling gaan over de gebleken ernst of hardnekkigheid van de problemen. Bij behandeling, wat pas wordt ingezet na RT is er bij uitzondering geen sprake van complexe problematiek. RT is een vorm van leerlingbegeleiding met als doel om een gesignaleerd, niet op gang komend of gestagneerd schools leerproces zo goed mogelijk te laten verlopen. RT is afgestemd op het groepsleerplan en bevat een planmatig gebruik van programma’s en methoden die individueel of in groepen door een gespecialiseerde leerkracht wordt gegeven. Het didactische handelen is hierbij afgestemd op de sociaal-emotionele conditie van het kind. Behandeling is het totale en zich steeds veranderende proces van hulpverlening met als doel de belemmeringen die voortkomen uit een te verwachten leerstoornis te voorkomen of de onderkende leerstoornis en de beperkingen daarvan te reduceren of te compenseren. Behandeling is altijd mede gebaseerd op een deskundig uitgevoerde onderkennende, verklarende en handelingsgerichte diagnose, waarbij er gebruik is gemaakt van controleerbare en wetenschappelijke kennis.

De term training wordt ook wel gebruikt in wetenschappelijk onderzoek. Men heeft het dan meestal over korte standaardprocedures voor een vooraf gedefinieerd probleemtype, gecontroleerd op storende invloeden en zo standaard mogelijk uitgevoerd.

Beslissingen bij het inzetten van een RT methode/programma

Een RT maakt idealiter gebruik van deugdelijk ontwikkelde methodes of programma’s. Effectiviteitsonderzoek vergelijkt verschillende aanpakken met elkaar en geeft aan waarin het ene programma sterker is dan het andere. De klinische toepassing van onderzoeksgegevens van kleine en korte trainingsexperimenten vereist kennis met betrekking tot empirisch onderzoek, methodologie en statistiek. Vaak is er geen effectiviteit van een programma bekend. Het is daarom belangrijk om de resultaten van de eigen hulp bij te houden en er een overzicht van te maken, zodat statistische controle mogelijk is. Het gebruik van betrouwbare toetsen en een goed ontwikkeld leerlingvolgsysteem is daarbij voorwaarde.

De voorkeursvolgorde bij het inzetten van RT-programma’s is als volgt: eerst de programma’s die uit onderzoek bij gelijksoortige problematiek herhaaldelijk effectief zijn gebleken; dan programma’s waarvan de resultaten nog niet voldoende vaststaan of waarmee in eigen systematische en goed gedocumenteerde ervaring positieve resultaten zijn bereikt zonder een wetenschappelijke toetsing, waarbij de voorkeur uitgaat naar het gebruik van een bestaand programma wat theoretisch doordacht is en voorziet in instructie die door verschillende betrokkenen te gebruiken is; en als laatste is het geven van hulp zonder bestaand programma (niet wenselijk), zonder systematische ervaringskennis en zonder gerichte toetsing op effectiviteit.

Criteria bij het kiezen van RT-programma’s

Een effectief gebleken RT programma is verstandig om te gebruiken. Dit is echter niet altijd voor handen. Er moet dan op basis van andere gegevens een beslissing worden gemaakt. Bij een rekenprogramma moet er in elk geval worden aangesloten op de diagnostische gegevens van genormeerde rekentoetsen, het moet binnen school toe te passen zijn en afgestemd zijn op het groepsleerplan. De herkenbaarheid voor het kind is dan groter en de kans op toepassing van het geleerde wordt groter. Voordeel van het geven buiten de klas is dat het kind niet gefrustreerd wordt door instructie en discussies op te hoog niveau, dat de essentie van de taak explicieter aan bod komt en de hulp is beter af te stemmen op kindkenmerken. Noodzakelijke voorwaarden/criteria waaraan moet worden voldaan door het programma zijn: taakgerichtheid; aansluiting bij de taakgerichte didactische probleemanalyse; praktische uitvoerbaarheid; concrete toetsen voor evaluatie; en alle betrokkenen staan erachter. Zeer gewenste voorwaarden zijn: gebleken effectiviteit; theoretisch onderbouwd; toepasbaarheid in groep; afstembaar op groepsplan; rechtstreekse instructie en goede structurering van het leerproces; concrete (tussen)doelen; passende doelen in het leerlingvolgsysteem; ondersteuning in collegiaal overleg/interne begeleiding; en mogelijk af te stemmen op gespecialiseerde behandeling. Bij de praktische uitvoering moet er gekozen worden tussen: binnen of buiten de klas; individueel of in groep; door of onder begeleiding van RT; met of zonder extra oefening thuis; wel of geen pc-programma om extra te oefenen. Praktische aandacht verdienen de volgende punten: eventueel financiële implicaties; snelheid om te kunnen beginnen; contra-indicaties of oorzaken van mislukking; verantwoordelijkheid van tussentijdse beslissingen en rapportage; en wie is voor ouders aanspreekbaar.

Van diagnostiek naar behandeling

Er heeft in het diagnostische proces onderkenning plaatsgevonden en er zijn gegevens toegevoegd welke factoren het probleem in stand houden. Er volgt in de indicatieanalyse een uitspraak over de best passende interventie, echter niet de behandeling maar het type interventie wordt aangegeven. De behandelaar zelf geeft de concrete invulling en vult de specifieke tussendoelen in.

De behandelingscyclus heeft vier hoofdstappen die aansluiten op de diagnostische cyclus: (advies) verkennende behandelanalyse; voorspellen van reacties; toetsende behandeling; en evaluatie ten opzichte van het globale doel. De verkennende behandelingsanalyse is het in kaart brengen van factoren die een rol kunnen spelen, waarbij er in positieve en negatieve invloeden wordt gedacht (faciliterende of belemmerende factoren). Op basis van deze factoren wordt het werken aangepast. Het voorspellen van reacties gaat over het inschatten van de effecten van concrete interventies op korte en lange termijn. Een belangrijke bron hierbij is literatuur over effectiviteitsonderzoek. Toetsende behandeling is het voortdurend reflecteren over alternatieven en over de bruikbaarheid van empirisch-wetenschappelijke kennis. Er moeten heldere criteria worden geformuleerd waarmee kan worden nagegaan in hoeverre de behandelingsuitkomst eraan voldoet. De evaluatie van het globale doel is het voortdurend afwegen van de verandering op korte termijn ten opzichte van het uiteindelijke doel. Na afsluiting van de behandeling dient er follow up plaats te vinden over het verdere verloop van het leerproces. De diagnostische cyclus en de behandelcyclus vormen samen de klinische cyclus. Er moeten bij beide cycli bewuste beslissingen worden genomen, zodat er wordt nagedacht over de verschillende stappen en zodat er achteraf reflectie is. Het is ook mogelijk om voorwaarden te formuleren waaraan iedere stap moet voldoen. Een methodologische voorwaarde is dat de effecten van hulp toetsbaar moeten zijn aan de hand van vooraf opgestelde criteria, betrouwbaar en valide vast te stellen. Aan het begin moet er al duidelijk zijn wanneer en hoe de evaluatie gaat plaatsvinden. Een professionele voorwaarde is dat de behandelaar weet dat er mogelijk beoordelingsfouten zijn. Er moeten gegevens worden verzameld die de voorspelling ondersteunen en die hem weerleggen. Als het weerleggen niet wordt gedaan dan kan de eigen werkwijze worden overschat (confirmation bias). Fouten en systematische vertekeningen in de klinische oordeelsvorming vormen een bedreiging: vasthouden aan de eigen mening en overinterpreteren van resultaten; alleen zoeken naar positieve informatie; uitsluiten dan gunstige resultaten een andere oorzaak hebben dan de zelf uitgevoerde ingreep; overwaarderen van exotische oplossingen (als neurolinguïstisch programmeren); en overschatten van het eigen voorspellend vermogen. Naast methodologische en professionele voorwaarden zijn er organisatorische (is er continuïteit van de behandeling) en ethische voorwaarden (is er genoeg expertise aanwezig).

Verkennende behandelingsanalyse

De verkennende behandelingsanalyse is zowel behandelingsgericht als diagnostisch van aard. In deze stap wordt ingeschat welke faciliterende en belemmerende factoren een rol spelen. De informatie is niet altijd expliciet hierover en de behandelaar zal zelf informatie moeten zoeken uit onderzoeksartikelen. Ook uit de diagnostische cyclus kan infomatie worden gehaald.

Voorspellen van reacties

Het voorspellen van reacties op leerhulp doet een beroep op kennis door wetenschappelijk onderzoek of aan gesystematiseerde ervaring. Voorspellen staat impliciet voor het kiezen van een interventie die het meeste kans heeft. Er zijn vier thema’s waarbinnen inhoudelijke keuzes gemaakt kunnen worden: typen kennis en kwaliteit; instructieprincipes; variaties in stimuli, responsen en processen; en typen feedback.

Er zijn verschillende indelingen in typen kennis. Een eerste onderscheid is dat tussen taakspecifieke (of domeinspecifieke) kennis (bijvoorbeeld uitkomsten van tafels) en niet-taakspecifieke kennis (begrippen als verdelen, overhouden of splitsen). Een tweede indeling is die in (declaratieve) feitenkennis (het begrip quotiënt kennen), procedurele kennis (bijvoorbeeld een deling toepassen) en metacognitieve kennis (bijvoorbeeld zelf weten dat een uitkomst goed is). Leren is een proces van kwalitatieve verandering in de verschillende typen kennis. De kwaliteit van kennis is te observeren aan de hand van een aantal kenmerken: abstractieniveau waarop kennis kan worden gebruikt; mate waarin kennis in dezelfde situatie flexibel wordt gebruikt; mate waarin kennis in een andere situatie inzetbaar is; mate waarin tussenstappen in het gebruik van kennis nodig zijn; en mate waarin kennis geautomatiseerd wordt toegepast.

Het type instructie is een belangrijke keuze bij het bieden van leerhulp. Instructie kan impliciet uitlokkend zijn tot expliciet voorschrijven, van het stimuleren van eigen inbreng tot directe instructie. Bij hardnekkige problemen wordt bepleit om uit te gaan van een zekere mate van sturende instructie en bij leerproblemen een directe instructie. De expliciete uitleg, uitgebreide inoefening, sturende opmerkingen over het strategiegebruik en het segmenteren van vaardigheden zijn de instructiecomponenten die een sterke bijdrage leveren aan de positieve effecten. Een minderheid van rekenzwakke kinderen profiteert wel van een impliciete uitlokkende instructie. Er zijn twee hoofdrubrieken die de keuze illustreren tussen hulp die direct op het probleem zelf gericht wordt of hulp die compenserend van aard is en probeert via een ‘prothese’ de beperkingen van de leerstoornis op te vangen. Onder het optimaliseren van een verstoord leerproces vallen het isoleren en afbakenen van een leerinhoud (oriënteren op een taak, inhoud en de eigen inbreng met eventueel een voorbeeldmodel; voldoende oefening en herhaling; verkorten van procedures en door tussenstappen weg te laten; leren zichzelf te controleren; versnellen door reduceren van stimulus of responstijd; en leren onderkennen op welk moment kennis of een vaardigheid van toepassing is), het integreren van kennis door een koppeling te maken met bestaande voorkennis of vaardigheid; en generaliseren van kennis door aanbieding in nieuwe taken en door zelf verbanden te laten zoeken. Onder het compenseren van onvoldoende geautomatiseerde kennis door middelen aan te bieden of zelf te laten zoeken die de uitvoering van de taak mogelijk maken.

Type stimulus, respons en gevraagd proces

Bij het leren van kennis en vaardigheden worden stimuli aangeboden en bepaalde typen respons gevraagd. Als er bij responsen duurzame kwalitatieve veranderingen zijn die leiden tot nieuwe mogelijkheden dan is er sprake van leren. Tussen aanbieding en respons vinden complexe processen plaats. Naast het kiezen van de vorm of modaliteit van de stimulus en respons is er nog de keuze in tijdsduur te maken. De stimulustijd en de responstijd zijn te manipuleren. De stimulus kan visueel, auditief of mentaal (eigen voorstelling) worden aangeboden. Het type proces dat wordt gevraagd kan verschillen van imiteren, naar bewerken 9uit te splitsen in onderkennen en analyseren, en transformeren), en direct identificeren. Over het algemeen is er een opbouw in keuzes: van meer concreet naar meer symbolisch/abstract; van geïsoleerde aanbieding naar simultane presentatie; van een relatief onbeperkte naar een beperkte stimulus en responstijd; en van nadoen naar actief laten bewerken en automatisch toepassen.

Type feedback

Een belangrijk onderdeel van het instructieproces is het geven van feedback op observeerbare responsen in het leerproces. Het is een van de krachtigste instrumenten in het bevorderen van gedragsverandering en leren. In de leerpsychologie wordt er veel onderzoek gedaan naar de effectiviteit van operante bekrachtigingschema’s. Thorndike’s wet van effect houdt in dat feedback de kans groter maakt dat het gedrag waaraan het is gekoppeld de volgende keer weer optreedt. De bekendste principes zijn bekrachtiging (positief/negatief), straffen en negeren. Feedback kan intern (ik deed dat goed) en extern zijn (dat heb je goed gedaan). Een aspect van metacognitie is dat het kind zichzelf uiteindelijk feedback gaat geven, waarbij er door sommigen een verband wordt gelegd met motivatietheorieën en de locus of control. Kinderen met leerproblemen leren niet van fouten en falen, negeren is dan de beste reactie. Er kan feedback worden gegeven over de lerende zelf (persoonsgericht of inspanningsgericht) of over wat of hoe er geleerd wordt (procesgericht of resultaatgericht) of over een externe factor. De feedback kan gegeven worden door de lerende zelf, door degene die instructie geeft of door een neutrale derde (materiaal of computerprogramma). Er kan direct feedback worden gegeven of uitgesteld. Er kan altijd of beperkt feedback worden gegeven. Er kan feedback worden gegeven met een sociale reactie, met informatie, met materiaal of met een gunst.

Toetsende behandeling

Op basis van wetenschappelijke kennis worden er concrete verwachtingen geformuleerd en deze worden in de behandeling getoetst. Er zijn twee typen toetsen: voortdurende toetsing of de aanpak zowel op korte als op lange termijn aan de evaluatiecriteria voldoet, waarbij er toetsing van het prestatieniveau en de kwaliteit van kennis door middel van kortdurende leerproeven met als opzet voormeting, instructie, nameting en follow up of toetsing met een N=1 designs (door het gebruik van basislijn metingen ontstaat experimentele controle); en ook toetsing van de geldigheid ban de conclusies uit de stappen in de diagnostische cyclus.

Evaluatie ten opzichte van het globale doel

Een behandeling gericht op een bepaald doel kan worden uiteengelegd in specifieke tussendoelen voor zover dit passend is bij het gestelde einddoel. Steeds wordt de vraag gesteld of bereikte effecten niet in de weg staan voor het globale doel.

De analyse van effectstudies

Bij het geven van leerhulp worden er keuzes gemaakt uit verschillende handelingsalternatieven. De behandelaar dient te beschikken over relevante en actuele wetenschappelijke kennis. De kennis bestrijkt verschillende niveaus van theorievorming: algemene kennis, empirische effectstudies bij relevante probleem of vergelijkingsgroepen en casuïstiek. Van Strien (1986) noemt deze niveaus als nomothetisch, probleemgericht en ideografisch (of A, B en C niveau). Het zoeken van probleemgerichte kennis wordt bekeken vanuit twee invalshoeken: vanuit het model van behandelingscyclus en vanuit specifieke probleemdomeinen.

De analyse van effectstudie vanuit het model van de behandelingscyclus

De instructieprincipes, typen stimulus, respons, gevraagd proces en feedback zijn onafhankelijke variabelen. De voornaamste te beïnvloeden variabelen in een behandeling zijn: duur van trainingstijd, gebruikte instructieprincipes, type stimulus en stimulustijd, type gevraagde output en toegepaste feedback. De afhankelijke variabelen zijn responstijd en kwaliteit van respons. Als hulpmiddel is er een model voor de analyse van effectstudies in de empirische onderzoeksliteratuur. De interventiestudies bij rekenproblemen hebben voornamelijk de cognitieve psychologie als theoretisch kader en zijn gericht op automatisering. Een directe vertaling van trainingstudie naar directe behandeling is niet vanzelfsprekend. Zie voor een analyse model box 10.7 op pagina 326 en verder.

De analyse van effectstudie vanuit specifieke probleemdomeinen

Voorbeelden van inhoudelijke probleemdomeinen zijn problemen met: voorbereidende deelvaardigheden; het leren van de telrij; het automatiseren van keer en deeltafels; het overschrijden van het tiental bij optellen en aftrekken enzovoort. Er worden enkele onderzoekspublicaties besproken die als voorbeeld dienen voor effectstudies binnen de verschillende probleemdomeinen.

Onderzoek naar rekenproblemen in het leren optellen en aftrekken. In dit onderzoek wordt er gebruik gemaakt van twee dominante strategieën: de rijgstrategie en de splitsstrategie. In de rijgstrategie wordt uitgegaan van het eerste getal, waarbij de tienen en lossen van het tweede getal worden opgeteld of afgetrokken. Bij de splitsstrategie worden het eerste en tweede getal gescheiden in tientallen en lossen en deze worden apart opgeteld of afgetrokken, waarna de uitkomsten worden samengenomen. In het onderzoek is bij 70 kinderen in het speciaal basisonderwijs nagegaan wat het effect is van eigen inbreng en twee meer expliciete instructies. Bevindingen zijn dat zwakke rekenaars vaker de riskante en inefficiënte splitsstrategie; dat hoogbegaafde leerlingen vaker handige en efficiënte strategieën gebruiken; en dat er kwalitatieve verschillen lijken te bestaan tussen de twee groepen in het patroon van oplossingsstrategieën waarbij het niet duidelijk is of dit komt door verschillen in aanleg of door verschil in aantal jaren onderwijs.

Onderzoek naar rekenproblemen in het leren vermenigvuldigen bij kinderen in het speciaal basisonderwijs heeft als belangrijkste resultaten: dat kinderen die oefenen met klassieke tafelsommen de meeste leerwinst halen op de getrainde opgaven, maar op de niet getrainde opgaven niet beter scoren; dat kinderen die oefenen met puntopgaven achteruit gaan op klassieke natoetsen met klassieke tafelsommen en zij doen het slechts licht beter op een posttest die aansluit bij eigen oefenboeken; en dat kinderen die alleen maar het goede antwoord hoeven te herkennen doen het op alle nametingen beter dan de kinderen met de puntopgaven.

Individuele behandeling

Individuele behandeling wordt omschreven als het totale en zich continu wijzigende proces van directe of indirecte hulpverlening dat als doel heeft om de belemmeringen die voortkomen uit een met voldoende zekerheid te verwachten leerstoornis zoveel mogelijk te voorkomen of reduceren of te compenseren. De behandeling is geen rechtlijnig doorlopen van een programma, maar heeft steeds een afstemming op de persoon aan de hand van wetenschappelijke kennis. Bij het formuleren van doelstellingen is het handig om de volgende richtlijnen te gebruiken: vaststellen om welke kennis het gaat; vaststellen wat de huidige kwaliteit van kennis is; de beoogde kwaliteit bepalen; een optimaliserende of compenserende aanpak kiezen; het instructieprincipe kiezen; beslissen of een aanpassing in stimulus, respons of type gevraagd proces nodig is of een ander type feedback; en controleren van de afstemming op mogelijke contra-indicaties. De invulling van deze beslissingen vragen om empirische kennis. Een praktijkmiddel hierbij is de volgende procedure: bedenk voor een taak drie manieren om de instructie vorm te geven; formuleer waarom er tot deze variaties wordt gekomen; kies het alternatief wat het beste te verantwoorden is; en kies ook als er geen beste keuze is. In figuur 10.6 staat het basismodel van behandeling (pagina 338). De opbouw in rubrieken is als volgt: een globale aanduiding van het inhoudelijke deeldomein van de leerstof waarop de behandeling betrekking heeft gegeven de vastgestelde beginsituatie; het globale doel van de reeks sessies, zowel het inhoudelijke domein als het te observeren gedrag; drie rubrieken waarin de inhoud nader gespecificeerd wordt, namelijk tussendoel, typen kennis en het gevraagde proces; variabelen die gemanipuleerd worden (onafhankelijke variabelen) zijn trainingstijd, instructieprincipes, type stimulus, stimulustijd en respons en type feedback; de beoogde kwaliteit van de kennis en vaardigheid (afhankelijke variabele) als snelheid en accuratesse; en geobserveerde kwaliteit.

De combinatie van de methodologie van behandelen en specifieke inhoudelijke kennis vormt de essentiële onderbouwing van de individuele toetsende behandeling. Systematisch toetsen en bijstellen maken onlosmakelijk deel uit van deze werkwijze, waardoor de behandelingen empirisch-wetenschappelijk te evalueren zijn.

Bron

• Deze samenvatting is gebaseerd op de druk uit 2006.