HC13: Beslisbomen

3 deuren probleem

Een beslisboom bestaat uit takken met beslisknopen en eindknopen. Een voorbeeld is het drie deuren probleem, waarbij achter 1 deur een auto staat. Vervolgens wordt van 1 deur bekend wordt dat deze fout is waardoor de kans 50% is dat achter 1 van de overgebleven deuren het goede zit. Vervolgens kan de persoon die voor 1 van de overgebleven 2 deuren staat besluiten om wel of niet te wisselen. Voor beide opties zijn 2 mogelijkheden:

• Niet wisselen
  • Eerst goede deur → kans van 1/3 → de auto wordt gewonnen
  • Eerst foute deur → kans van 2/3 → niks wordt gewonnen
• Wel wisselen
  • Eerst goede deur → kans van 1/3 → niks wordt gewonnen
  • Eerst foute deur → kans van 2/3 → de auto wordt gewonnen

Dit zijn de kansen vóór het wisselen. Deze analyse laat zien dat in het geval dat er niet gewisseld wordt, de kans op het winnen van de auto 1/3 is, terwijl als er wel gewisseld wordt, de kans 2/3 is.

Spijt:

Spijt ontstaat als de persoon eerst goed stond, en daarna wisselde waardoor de auto alsnog niet is gewonnen.

Opmerkingen:

Een aantal opmerkingen bij het 3-deuren probleem zijn:

• De goede beslissing geeft niet steeds de beste uitkomst
  • Proces- versus uitkomstkwaliteit
  • Effectiviteit versus bijwerkingen
• Het beslissingscriterium bepaalt de optimale beslissing
  • Wat is het doel?
    • Vooral de auto willen hebben of geen spijt willen hebben?
  • Geanticipeerde spijt → achteraf geen spijt willen hebben

Beslisbomen

Met beslisbomen kunnen problemen geanalyseerd worden:

• Structuur
  • Keuzeknopen, kansknopen en eindknopen
  • Van links naar rechts
• Getallen
  • Getallen bij de kansknopen
  • De kans op een hele “tak” is p1x p2x …
  • Uitkomsten staan bij de eindknopen
• Analyseren en optimaliseren
  • Bereken de verwachtingswaarde voor elke beslissing
  • Kies d ebeste verwachte waarde

Verwachtingswaarde:

Over het algemeen is de verwachtingswaarde ongeveer “het midden” → in een continue of normale verdeling is de verwachtingswaarde de mediaan. Echter is de uitkomst bij beslisbomen niet continu → er zijn meerdere mogelijkheden. Zo zijn er bij het gooien van een dobbelsteen 6 mogelijkheden, die allemaal een kans van 1/6 hebben. De verwachtingswaarde van een dobbelsteenworp is daarom:

• 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5

De verwachtingswaarde is niet hetzelfde als het gemiddelde → de verwachtingswaarde is een begrip uit de kansrekening en het gemiddelde is een begrip uit de statistiek:

• Kansrekening
  • Ontstaan in de 16^e eeuw, vanwege analyse van kansspelen
  • Het vooraf modelleren en doorrekenen van toeval
    • Bijv. het maken van een model met de dobbelsteen waarmee doorgerekend wordt
• Statistiek
  • Ontstaan in de 17^e eeuw, vanwege (levens)verzekeringen
  • Het achteraf beschrijven en analyseren van data
    • Bijv. het gemiddelde als er 8x is gegooid met een dobbelsteen

Centrale limietstelling:

De centrale limietstelling zegt dat als een experiment vaak genoeg wordt herhaald, op den duur het gemiddelde gelijk wordt aan de verwachtingswaarde:

• Als een dobbelsteen vaak genoeg gegooid wordt, komt het gemiddelde steeds dichterbij 3,5
• Als iemand vaak genoeg speelt in een spelshow en steeds niet wisselt van deur, wordt de auto ongeveer 1/3 van de keren gewonnen

Dit betekent dat de verwachtingswaarde een goed criterium zou kunnen zijn waar beslissingen op gebaseerd worden.

Loterij

In een bepaalde loterij kost 1 lot $25 en er worden 1.000 loten verkocht. Er is alleen 1 hoofdprijs van $10.000. De bijbehorende beslisboom ziet er zo uit:

• Koopt lot
  • Wint hoofdprijs → 1/1000 kans → -25 + 10.000
  • Wint niets → 999/1000 kans → -25
• Koopt geen lot → 0 winst
  • Er verandert niets, dus dit zou beschouwd kunnen worden als een uitkomst van 0
  • Kan ook beschouwd worden als 25 euro bespaard

De verwachtingswaarde zijn:

• Voor het kopen van een lot → 0,001 x (-25 + 10.000) + 0,999 x (-25) = -15

• Voor het niet kopen van een lot → 1 x 0 = 0

De verwachtingswaarde laat dus zien dat als er wel een lot gekocht wordt, de winst $-15 is, en als er geen lot gekocht wordt, de winst $0 is. De centrale limietstelling zegt dat als iemand vaak genoeg meedoet, het gemiddelde uiteindelijk $-15 wordt. Echter kan niet heel lang duren. Als de kans om te winnen groter zou zijn, en het bedrag kleiner, dat wordt dit gemiddelde eerder bereikt.

Opmerkingen:

Opmerkingen over het model van de loterij zijn:

• Inleg wordt wellicht niet ervaren als verlies
• De opbrengst wordt besteed aan een goed doel
• De hoop op de hoofdprijs is ook wat waard
• Anderen die iemand vragen om mee te doen

Diagnostiek

Er bestaan ook beslisbomen voor diagnostiek. In de diagnostiek worden er testen gedaan bij mensen die ziek zijn, maar ook bij mensen die niet ziek zijn. Afhankelijk hiervan is de test met een bepaalde kans positief (sensiviteit) of negatief (specificiteit). Er zijn dus 4 uitkomsten:

• Ziek
  • Positieve test → terecht positief
  • Negatieve test → fout negatief
• Niet ziek
  • Positieve test → fout positief
  • Negatieve test → terecht negatief

Dit kan ook omgekeerd worden, waarbij de positief en negatief voorspellende waarde naar boven komen:

• Positieve test
  • Ziek → terecht positief
  • Niet ziek → fout positief
• Negatieve test
  • Ziek → fout negatief
  • Niet ziek → terecht negatief

Dit model kan verder uitgebreid worden door een beslissing toe te voegen → er kan wel of niet voor een behandeling gekozen worden zonder dat de test wordt gedaan:

• Wel behandelen: wordt vooral gedaan als de prevalentie hoog is
  • Ziek → terecht positief
    • Kans = a priori kans
  • Niet ziek → fout positief
    • Kans = 1 – a priori kans
• Testen
  • Positieve test
    • Ziek → terecht positief
    • Niet ziek → fout positief
  • Negatieve test
    • Ziek → fout negatief
    • Niet ziek → terecht negatief
• Niet behandelen: wordt vooral gedaan als de prevalentie laag is
  • Ziek → fout negatief
    • Kans = a priori kans
  • Niet ziek → terecht negatief
    • Kans = 1 – a priori kans

Over het algemeen wordt aan de hand van de prevalentie bepaald wat er wordt gedaan:

• Lage prevalentie → niet behandelen
• Gemiddelde prevalentie → testen
• Hoge prevalentie → wel behandelen

Acute aneurysma aortae abdominalis:

Een 76-jarige man in slechte conditie wordt verdacht van een acute aneurysma aortae abdominalis (AAAA). De situatie is als volgt:

• Bij niet behandelde AAAA is de overlevingskans 0%
• Met operatie is de overlevingskans ongeveer 40%
• Bij negatieve laparotomie is de sterftekans 5%
  • Operatie in het geval dat AAAA de onjuiste diagnose is

Of de operatie wel of niet wordt uitgevoerd hangt dus van de kans af dat de patiënt daadwerkelijk AAAA heeft. Hier kan een beslisboom van gemaakt worden:

• Opereren
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 40%
    • De kans hierop is pAAAA
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 95%
• Afwachten
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 0%
    • De kans hierop is pAAAA
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 100%

In het geval dat de kans dat de patiënt AAAA heeft 10% is, dan gaat de beslisboom er als volgt uit zien:

• Opereren → de verwachte overleving is 0,1 x 0,4 + 0,9 x 0,95 = 0,895 → de overlevingskans is 89,5%
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 40%
    • De kans hierop is 0,1
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 95%
    • De kans hierop is 0,9
• Afwachten → de verwachte overleving is 0,10 x 0,0 + 0,90 x 1,0 = 0,9 → de overlevingskans is 90%
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 0%
    • De kans hierop is 0,1
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 100%
    • De kans hierop is 0,9 

In dit geval heeft niet opereren dus een iets hogere overlevingskans → het is beter om af te wachten.

Sensitiviteitsanalyse:

Sensitiviteitsanalyse bekijkt hoe de output van het model (de kans op overleven) veranderd als de input van het model (de a priori kans op AAAA) verandert. In dit geval geldt:

• Bij een hoge prevalentie is afwachten een slechte strategie, bij een lage prevalentie is afwachten een goede strategie
• Bij een hoge prevalentie is opereren een goede strategie, bij een lage prevalentie is opereren een goede strategie

In dit geval is bij een a priori kans op AAAA van 11% de overlevingskans na opereren en afwachten hetzelfde → de behandeldrempel ia 11%. Dit is het punt waar behandelen even goed is als niet behandelen → opereren geeft een betere overlevingskans als de a priori kans groter is dan 11%:

• De kosten van de operatie zijn 5%
• De baat van de operatie is 40%

AAAA met diagnostiek:

De patiënt krijgt steeds meer pijn en zijn bloeddruk begint te dalen. De voorafkans op AAAA is nu ongeveer 50%. De CT-scan die normaal gebruikt wordt is in revisie en in plaats hiervan kan een echo gemaakt worden. Deze echo is echter door de aanwezigheid van lucht in de darmen minder betrouwbaar voor een aneurysma:

• Sensitiviteit: 80%
• Specificiteit: 90%

Of de echo gebruikt kan worden, hangt af van of hij de achterafkans kan verlagen tot onder de behandeldrempel (D) van 11%. Dit kan beredeneerd worden met de LR, de kans bij zieken/de kans bij gezonden:

• LR+ = Se/(1 – Sp) = 0,80/0,10 = 8,0
• LR- = (1 – Se)/Sp = 0,20/0,90 = 0,22

De odds benadering zegt dat de acherafkans gelijk is aan de voorafkans x de LR → 0,50 x 0,22 = 11%. Dit is echter alleen een benadering die vooral geldt bij hele kleine kansen. De formule van Bayes wordt gebruikt voor een nauwkeurig resultaat:

• pZ+ = 0,89
• pZ- = 0,18

De achterafkans na een positieve test is dus 89% en na een negatieve test 18% → het heeft dus geen nut om deze echo aan te vragen, de achterafkans blijft altijd boven de behandeldrempel. Bij een vooraf kansschatting van 50% is een negatieve testuitslag dus niet “krachtig” genoeg om de kans onder de behandeldrempel te krijgen.

Ook deze informatie kan toegevoegd worden aan de beslisboom:

• Opereren
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 40%
    • De kans hierop is pAAAA
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 95%
• Echo
  • AAAA (kans van pAAAA)
    • Positieve echo → overlevingskans van 40%
    • Negatieve echo → overlevingskans van 0%
  • Iets anders
    • Positieve echo → overlevingskans van 95%
    • Negatieve echo → overlevingskans van 1%
• Afwachten
  • De patiënt heeft AAAA → overlevingskans van 0%
    • De kans hierop is pAAAA
  • De patiënt heeft iets anders → overlevingskans van 100%

Vervolgens kan hiermee weer sensitiviteitsanalyse gedaan worden. Er komt dan een nieuwe strategie bij die aangeeft hoe goed het is om de echo te gebruiken. Vaak zijn testen bij een hoge en lage a priori kans niet handig, omdat dit de kans verhoogd op fout negatieven en fout positieven.

Therapie en diagnostiek bij onzekerheid:

In conclusie kan het volgende gesteld worden:

• Therapie zonder diagnostiek
  • Bij lage kans afwachten
  • Bij hoge kans behandelen
  • De drempel is afhankelijk van “kosten en baten”
• Therapie met diagnostiek
  • Vergelijk de achterafkans op de ziekte met de behandeling
  • Test alleen bij een intermediaire range
    • Bij een lagere kans is testen schadelijk door fout positieven
    • Bij een hogere kans is testen schadelijk voor fout negatieven
  • De intermediaire range wordt bepaald door
    • Kosten en baten van de behandeling en test
    • Accuratesse van de test