HC17. Kansrekenen

Algemene informatie

• Welke onderwerpen worden behandeld in het hoorcollege?
  • In dit college wordt de basis voor kansrekenen en statistiek gelegd
• Welke onderwerpen worden besproken die niet worden behandeld in de literatuur?
  • Alle onderwerpen in dit college worden ook behandeld in de literatuur
• Welke recente ontwikkelingen in het vakgebied worden besproken?
  • Er zijn geen recente ontwikkelingen besproken
• Welke opmerkingen worden er tijdens het college gedaan door de docent met betrekking tot het tentamen?
  • Er zijn geen opmerkingen met betrekking tot het tentamen gedaan
• Welke vragen worden behandeld die gesteld kunnen worden op het tentamen?
  • Er zijn geen mogelijke vragen behandeld

Wat is een kans?

Kansrekening speelt een rol in de:

• Klinische genetica: hoe waarschijnlijk is het dat een patiënt drager is?
• Diagnostiek: hoe waarschijnlijk is het dat een patiënt met een positieve test de ziekte heeft?
• Prognostiek: hoe waarschijnlijk is het dat een patiënt over 5 jaar nog leeft?

Een kans (P, probability) is een proportie in een populatie. Het begrip populatie kan heel divers zijn (de hele samenleving, kinderen van 5 jaar, 65+-ers, etc.). Het is daarom belangrijk dat de relevante populatie duidelijk in de context is. 

Omdat het meestal onmogelijk is een hele populatie te bestuderen, moet er gebruik worden gemaakt van een steekproef: een willekeurige trekking uit de populatie. Bij een steekproef geldt de “Wet van grote aantallen” → een grote steekproef geeft een reëler beeld van de werkelijke populatie dan een kleinere steekproef. De uitslag van een steekproef wordt m.b.v. statistiek vergeleken met de populatie.

Soms mogen kansen bij elkaar opgeteld worden. Dit mag als gebeurtenissen elkaar uitsluiten:

• P(A of B) = P(A) + P(B) 
• Voorbeeld: P(rode vrouw of zwarte man) = P(rode vrouw) + P(zwarte man) 
  • Want een rode vrouw kan geen zwarte man zijn

Voorwaardelijke kansen

Een voorwaardelijke kans is de proportie in een deelpopulatie. Er wordt bijvoorbeeld gekeken naar tuberculosepatiënten gegeven een positieve testuitslag. De deelpopulatie bestaat dan uit de mensen met een positieve testuitslag:

De voorwaardelijke kans wordt berekend d.m.v. de volgende formule:

• P(A|B) = aantal(A&B)/aantal(B)

Een andere notatie voor deze formule is:

• P(A|B) = P(A&B)/P(B)

Het is belangrijk dat A en B niet per ongeluk omgewisseld worden: dan ontstaat er een hele andere uitslag.

Voorbeeld: PPT

• A = rood
• B = vrouw
• P(A&B) = de kans op een rode vrouw = 0,4
• P(B) = de kans op een vrouw = 0,5
• P(A|B) = 0,4/0,5 = 0,8

Afhankelijkheid en onafhankelijkheid

Als het voorkomen van A niet leidt tot een ander voorkomen van B zijn A en B onafhankelijk van elkaar. A en B zijn statistisch onafhankelijk als de voorwaardelijke kans hetzelfde is als de onvoorwaardelijke kans:

• P(A|B) = P(A)

Het optreden van B is dus niet informatief over de kans op het optreden van A. Een voorbeeld hiervan is het rollen van een dobbelsteen.

Als twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn mogen de kansen vermenigvuldigd worden:

• P(A&B) = P(A) x P(B)

Hardy-Weinberg:

Dit is terug te zien in het Hardy-Weinberg evenwicht: de genen zijn onafhankelijk van elkaar en in families zijn de allelen onafhankelijk:

• Iedere ouder geeft een maternaal of paternaal allel door met een kans van 50%
• Wat de ene ouder doorgeeft is onafhankelijk van wat de andere ouder doorgeeft
• Wat aan het ene kind wordt doorgegeven is onafhankelijk van wat aan het andere kind wordt doorgegeven
• Gen met allelen A en a, frequentie p en q=1-p

De regel van Bayes

Aan de hand van de regel van Bayes kan uit P(A|B) P(B|A) berekend worden. Voor het uitrekenen van P(A|B) kan gebruik gemaakt worden van P(B|A) en P(A). Hierbij hoort de volgende formule:

• P(A|B) = (P(B|A) P(A))/(P(B|A) P(A) + P(B|niet A)P(niet A))

Voorbeeld:

Welk percentage van de borstkanker-patiënten heeft een BRCA-mutatie?

• P(BRCA mutatie|borstkanker) = ?
• P(borstkanker|BRCA mutatie) = 87%
  • Dit is de penetrantie
• P(borstkanker|niet BRCA mutatie) = 12%
  • Dit is de prevalentie als de mutatie zeldzaam is
• P(BRCA mutatie) = 0,1%
  • Dit is ongeveer 2x de allelfrequentie als de mutatie zeldzaam is
• P(A) = de a priori kans: inschatting van de kans als B niet bekend is
• P(A|B) = de a posteriori kans
  • De inschatting van de kans is veranderd omdat bekend is dat B gebeurd is

Methode 1 in tabelvorm:

1. A priori: P(A) = 0,001 → P(niet A) = 1 – P(A) = 0,999
2. Voorwaardelijke kans: P(B|A) = 0,87 → P(B|niet A) = 0,13
3. Gezamenlijke kans:
   • P(B en A) = P(A) x P(B|A) = 0,001 x 0,87 = 0,00087
   • P(B en niet A) = P(niet A) x P(B|niet A) = 0,11988
4. Totaal: P(B) = P(B en A) + P(B en niet A) = 0,12075
5. A posteriori: P(A|B) = P(B en A)/P(B) = 0,007

Methode 2: met een 2x2 tabel:

1. P(BRCA mutatie) = 0,001
2. P(borstkanker | BRCA mutatie) = 0,87
3. P(borstkanker | niet BRCA mutatie) = 0,12
4. P(BRCA mutatie|borstkanker) = 0,87/120,75 = 0,007

De regel van Bayes in de diagnostiek:

Wanneer met een diagnostische test gewerkt wordt, kunnen er twee soorten fouten voorkomen worden:

• De fout positieve: de test geeft aan dat de patiënt ziek is terwijl dit niet zo is
• De fout negatieve: de test geeft aan dat de patiënt niet ziek is terwijl dat wel zo is

De kans op dit soort fouten hangt af van:

• De specificiteit en de sensitiviteit
  • Specificiteit kijkt naar de terecht negatieven (P(test -|echt -)) en sensitiviteit naar de terecht positieven (P(test +| echt +))
  • De test is betrouwbaar als zowel de sensitiviteit als specificiteit hoog zijn 
• De positief en negatief voorspellende waarde
  • De kans dat er bij een positieve uitslag ziekte is (P(echt + |test +) en de kans dat er bij een negatieve uitslag geen ziekte is P(echt -|test -))
  • De positief en negatief voorspellende waarde zijn niet test-gebonden, maar verschillen per populatie → een test met een hoge specificiteit en sensitiviteit kan een lage positief voorspellende waarde hebben

1. Sensitiviteit = 47/(47 +3) = 94%
2. Specifiteit = 738/(738 + 212) = 78%
3. Positief voorspellende waarde = 47/(47+212) = 18%
4. Negatief voorspellende waarde = 738/(738+3) = 100%

Hierdoor ontstaat de volgende formule:

• Positief voorspellende waarde = (sensitiviteit x prevalentie)/(sensitiviteit x prevalentie + (1 – specificiteit) x (1 – prevalentie))